在《點算的奧秘：普通母函數》中，筆者介紹了形如
的「母函數」。這種「母函數」主要用來解決「組合」問題，為了解決「排列」問題，我們需要引入另一種「母函數」，即使用另一種函數來代替上式中的xr。事實上，如果我們用xr / r!取代上式中的xr，便可得到一種新的「母函數」，稱為「指數母函數」(Exponential Generating Function)。由於這種「母函數」主要用來解決「排列」問題，故又稱「排列母函數」(Generating Function for Permutation)。
「指數母函數」的有用之處在於，我們可以使用與「普通母函數」完全對應的方法來解決「排列」問題。在介紹「普通母函數」時，筆者曾指出我們可以把「普通母函數」中的xr看成代表從某類物件中抽取k個出來。現在我們同樣可以把「指數母函數」中的xr / r!看成代表從某類物件中抽k個出來排列。舉例說，(1 + x + x2/2! + x3/3!)(註1)便代表可從某類物件中抽0至3個(即最多3個)出來排列；(x2/2! + x3/3! + ...)則代表可從某類物件中抽2個、3個以至無限個(即最少2個)出來排列；而(x3/3! + x4/4!)則代表可從某類物件中抽3個或4個(即上限為4個、下限為3個)出來排列。
以下筆者將使用「指數母函數」重新推導各種「排列」問題的計算公式，從而顯示「指數母函數」對「排列」問題的適用性。首先考慮「不可重覆的排列」問題：從n件物件中不可重覆地抽r個出來排列，問有多少種不同排法？由於共有n件物件，故本問題的「母函數」應包含n個「括弧」。由於每件物件最多只可抽1個，因此每個「括弧」的形式均為(1 + x)，即本問題的「母函數」為
上式右端是用「二項式定理」展開(x + 1)n的結果。由於現在我們要求的是「指數母函數」，我們要設法把xr變為xr / r!。利用在《點算的奧秘：排列和組合基本公式》介紹的關係式P(n, r) = r! × C(n, r)，我們可以把上式變為
根據「母函數」的定義，我們所求的答案就是上式中xr / r!項的「系數」，即P(n, r)。可是P(n, r) = n! / (n − r)!不正就是我們在《點算的奧秘：排列和組合基本公式》中推導的「(不可重覆)排列」問題的公式嗎？由此可見，利用「指數母函數」，我們獲得應有的結果。
接著讓我們考慮「有限重覆全排列」問題：設有n類物件，第1類物件共有r1個...第n類物件共有rn個，並且r = r1 + ... rn。現要將全部r個物件排序，問有多少種排法？由於共有n類物件，故本問題的「母函數」應包含n個「括弧」。由於第i類(1 ≤ i ≤ n)物件共有ri個，所以第i個「括弧」應是(1 + x + x2/2! + x3/3! + ... xri/ri!)。因此本問題的「指數母函數」為
上式的展開式不易求得，因為各個「括弧」的內容不一。但是由於我們要「將全部r個物件排序」，我們只需求上式展開式中xr / r!項的「系數」。由於xr是上式中的最高次項，只有一個可能途徑得到這個項，就是把各個「括弧」的最高次項相乘。把這些最高次項相乘後，便得到
| (xr1/r1!) × (xr2/r2!) × ... (xrn/rn!) | |
| = | xr / (r1! × r2! × ... rn!) |
為了把上式轉化為我們希望的xr / r!形式，我們對上式的分子和分母同時乘以r!，得到
由此得到「有限重覆全排列」問題的計算公式為
上式跟《點算的奧秘：有限重覆的排列組合問題》中的相關公式完全一致。
除了推導出以上公式外，我們還可利用上面的「指數母函數」(公式(1))來解答某些「有限重覆排列」問題。試看以下例題。
例題1：利用3個A、2個B和1個C可以排成多少個含4個字母的字符串(String)？
答1：在《點算的奧秘：有限重覆的排列組合問題》中，筆者曾介紹與本題類似的「密西西比」問題。不過，「密西西比」問題是把MISSISSIPPI中的11個字母進行「全排列」，而本題則只是從AAABBC中抽取4個字母出來進行「部分排列」，因此本題可稱為「廣義密西西比」問題。根據上述網頁，「密西西比」問題相當於「有限重覆全排列」問題，因此本題相當於「有限重覆部分排列」問題，即「上、下限皆為有限整數的排列」問題，其中n = 3、r1 = 3、r2 = 2、r3 = 1、r = 6。把以上參數代入公式(1)，便得到本題的「指數母函數」：
本題答案就是上式展開式中x4/4!項的「系數」。為了求得這個「系數」，我們可以使用合適的電腦軟件展開以上算式，或者憑觀察找出以上4個「括弧」中哪些項相乘會得到x4，然後把所有情況加起來。根據觀察，第1至第3個「括弧」應分別取以下的項：x, x2/2!, x; x2/2!, x, x; x2/2!, x2/2!, 1; x3/3!, 1, x; x3/3!, x, 1。
把以上5個組合相乘然後相加，便得到
以上結果顯示本題答案為38。□
在以上計算中，我們必須憑觀察找出哪些項相乘會得到x4，而不能直接計算x4/4!項的「系數」，這是因為對於「指數母函數」而言，我們沒有一條類似《點算的奧秘：普通母函數》中公式(6)那樣的公式可以用來把1 + x + x2/2! + ... xk/k!化為「封閉形式」。因此我們可以說，「有限重覆排列」問題比「有限重覆組合」問題較難解。
以上討論的「排列」問題只限於不可重覆或重覆次數為有限整數的「排列」問題，接下來我們要討論重覆次數不是有限數的「排列」問題。對於這類「排列」問題，我們可以應用「母函數」的「封閉形式」進行運算。我們首先考慮「無限重覆部分排列」問題：從n類物件中可重覆地抽r個出來排列，問有多少種不同排法？由於共有n類物件，故本問題的「母函數」應包含n個「括弧」。由於每件物件的重覆次數不限，因此每個「括弧」的形式均為(1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...)。學過「微積分」的讀者應知道以上這個「無窮級數」就是「指數函數」(Exponential Function) ex的「馬克勞林展開式」(Maclaurin's Expansion)(註2)，即
請注意，ex亦可寫作exp(x)，其中e = 2.71828...是高等數學上經常要用到的無理數。利用公式(2)，便可以把「無限重覆部分排列」問題的「指數母函數」寫成
現在再次運用公式(2)把上式改寫為
| enx | = Σ0 ≤ r < ∞ (nx)r / r! |
| = Σ0 ≤ r < ∞ nr xr / r! |
根據「母函數」的定義，我們所求的答案就是上式中xr / r!項的「系數」，即「無限重覆部分排列」問題的公式為
上式跟《點算的奧秘：無限重覆的排列組合問題》中的相關公式完全一致。
在以上計算中，我們使用了一個「封閉形式」(即公式(2))。跟「普通母函數」一樣，「封閉形式」將有助簡化對「母函數」的運算。從公式(2)，我們可以推導出以下這些「封閉形式」：
此外，我們還可以利用以下兩個運算：
| (ex + e−x) / 2 | |
| = | (1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ... 1 − x + x2/2! − x3/3! + x4/4! + ...) / 2 |
| = | (2 + 2x2/2! + 2x4/4! + ...) / 2 |
| = | 1 + x2/2! + x4/4! + ... |
| (ex − e−x) / 2 | |
| = | (1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ... − 1 + x − x2/2! + x3/3! − x4/4! + ...) / 2 |
| = | (2x + 2x3/3! + 2x5/5! + ...) / 2 |
| = | 1 + x3/3! + x5/5! + ... |
從而得到兩個有用的「封閉形式」(註3)：
利用以上的公式(2)－(6)，我們便可以用「母函數」方法解決一系列「有限重覆排列」問題。
例題2：利用A、B和C可以排成多少個含4個字母的字符串，使得該字符串含有奇數個B和偶數個C？
答2：由於有3類物件，本題的「母函數」由3個「括弧」組成。根據題意，這3個「括弧」應分別為(1 + x + x2/2! + ...)、(x + x3/3! + x5/5! + ...)和(1 + x2/2! + x4/4! + ...)。把這3個「括弧」相乘，並應用公式(2)、(5)和(6)，我們得到
| ex × (ex − e−x) / 2 × (ex + e−x) / 2 | |
| = | (e3x − e−x) / 4 |
| = | [Σ0 ≤ r < ∞ (3x)r / r! − Σ0 ≤ r < ∞ (−x)r / r!] / 4 |
| = | Σ0 ≤ r < ∞ [(3r − (−1)r) / 4] xr / r! |
本題答案就是上式中x4/4!項的「系數」，即(34 − (−1)4) / 4 = 20。□
例題3：現從A、B、C這3個字母中可重覆地抽4個出來排序。若其中規定包含最多3個A和最少1個B，問有多少種排法？
答3：本題其實就是《點算的奧秘：帶上、下限的排列組合問題》中的例題3，現在我們用「母函數」方法來重新解本題。由於有3類物件，本題的「母函數」由3個「括弧」組成。根據題意，這3個「括弧」應分別為(1 + x + x2/2! + x3/3!)、(x + x2/2! + x3/3! + ...)和(1 + x + x2/2! + ...)。對於第二和第三個「括弧」，我們可以應用公式(2)和(3)把它們化為「封閉形式」，但對於第一個「括弧」，卻沒有現成的公式把它化簡。因此我們只能得到以下乘積：
| (1 + x + x2/2! + x3/3!) × (ex − 1) × ex | |
| = | (1 + x + x2/2! + x3/3!) × (e2x − ex) |
| = | (1 + x + x2/2! + x3/3!) × [Σ0 ≤ r < ∞ (2x)r / r! − Σ0 ≤ r < ∞ xr / r!] |
| = | (1 + x + x2/2! + x3/3!) × Σ0 ≤ r < ∞ (2r − 1) xr / r! |
本題答案就是上式中x4/4!項的「系數」。可是由於上式包含了(1 + x + x2/2! + x3/3!)，我們必須逐一考慮這個「括弧」中各項與後面的乘積。因此上式中的x4/4!項為
| 1 × (24 − 1) x4/4! + x × (23 − 1) x3/3! + x2/2! × (22 − 1) x2/2! + x3/3! × (21 − 1) x | |
| = | 15x4/4! + 7x4/3! + 3x4/(2!2!) + x4/3! |
| = | 15x4/4! + 28x4/4! + 18x4/4! + 4x4/4! |
| = | 65x4/4! |
由此得知本題答案為65，即前述網頁例題3的同一答案。□
最後，我們用「母函數」方法推導以下「排列」問題的公式：從n類物件中可重覆地抽r個出來排序，其中每類物件都必須至少抽一個出來，問有多少種不同排法？由於共有n類物件，故應有n個「括弧」。由於每類物件至少有一個被抽出來排序，所以這n個「括弧」是(x + x2/2! + ...)。因此本問題的「母函數」是
| (x + x2/2! + ...)n | ||
| = | (ex − 1)n | (應用公式(3)) |
| = | Σ0 ≤ k ≤ n C(n, k) (−1)k ex(n−k) | (應用「二項式定理」) |
| = | Σ0 ≤ k ≤ n C(n, k) (−1)k Σ0 ≤ r < ∞ (n − k)r xr / r! | (應用公式(2)) |
| = | Σ0 ≤ r < ∞ [Σ0 ≤ k ≤ n (−1)k C(n, k) (n − k)r] xr / r! |
我們所求的答案就是上式中xr / r!項的「系數」，即
上述結果跟《點算的奧秘：分配問題》中的公式(1)完全一致。請注意如把上式除以n!，便得到「點算組合學」上所稱的「第二類斯特林數」(Stirling Number of the Second Kind)。在「點算組合學」上，有這麼一條定理(證明從略)，當r < n時，「第二類斯特林數」等於0。這即是說，當r < n時，上式等於0。這是合理的，因為若要從n類物件中抽r個出來排序，並使得其中每類物件都至少抽一個出來，那麼r必須至少等於n才行。
註1：請不要忘記x0 = 1，x1 = x，0! = 1，1! = 1。