在上節筆者介紹了兩條「排列」和「組合」的基本公式，這兩條公式有一個共同點，即它們都只適用於不可重覆抽取同一物件的情況(從另一個角度理解，就是不可把抽取出來的物件再放回原處)。在本節中，筆者將介紹可重覆抽取的點算問題。重覆可分為兩種：「無限重覆」和「有限重覆」，本節將集中介紹「無限重覆」的排列組合問題。讀者將發現，新的排列組合公式其實只是上兩節公式的特例，這告訴我們，只要從不同的角度思考問題，便可得到新問題的答案。
首先從較簡單的「排列」問題談起。我們的問題是，如果容許無限重覆抽取同一類的物件，那麼從n類(註1)物件中抽取r個出來進行排列，共有多少種排法？我們可以把抽取過程分解為r個程序，第一個程序就是從n類物件中抽取一個出來放在第一個位置，共有n種選擇；第二個程序是從n類物件中抽取一個出來放在第二個位置，同樣有n種選擇。按此類推下去，所有r個程序的每一個都各有n種選擇。根據「乘法原理」，整個過程應共有n × n × ... n = nr種排法，這就是「無限重覆部分排列」問題的公式。請注意，有些人用U(n, r)來代表從n類物件中可重覆抽取r件物件出來排列的方法總數。由此我們得到以下公式：
此外，由於我們假定每類物件的個數無限，我們不考慮「無限重覆全排列」問題，因為把無限件物件全部抽出來進行排列，這是一個無限的過程，超出本網頁討論的範圍。
接著我們「無限重覆組合」問題。這類問題是，如果容許無限重覆抽取同一類的物件，那麼從n類物件中抽取r個出來而不管其先後次序，問共有多少種抽法？為了較容易理解這個問題，現以一個具體的問題為例看看如何解這類問題。
例題1：貨架上有三類罐頭湯：忌廉湯、雜菜湯和羅宋湯，每類罐頭都有至少5個(註2)，現某甲從貨架上任意抽取5罐罐頭湯，問有多少種抽法？
答1：我們可以用一種形像化的方法來解答本題。首先我們用*****來代表5罐罐頭湯，我們的任務是把這5顆*分為3堆，其中某些堆可以是空的。我們還假定最左、中間和最右的一堆分別代表忌廉湯、雜菜湯和羅宋湯。如何表示分堆的結果？我們可以用兩個|來代表堆的「邊界」。舉例說，**|*|**便代表2罐忌廉湯、1罐雜菜湯和2罐羅宋湯。假如|處於最左、最右或兩個|放在一起，那便代表其中某些堆是空的，例如|*|****便代表0罐忌廉湯、1罐雜菜湯和4罐羅宋湯。***||**則代表3罐忌廉湯、0罐雜菜湯和2罐羅宋湯。容易看到，兩個|的分佈與罐頭湯的分堆結果形成了一一對應關係。因此本題的答案相等於兩個|在*****中的各種可能分佈的總數，這相當於在7個位置中抽取2個出來安置兩個|的數目，這顯然是一個「組合」問題，因此答案是C(7, 2) = 7! / (5! × 2!) = (7 × 6) / 2 = 21。
我們也可循另一途徑解答本題，就是設法把這個「無限重覆組合」問題轉化為「不可重覆組合」問題。如何轉化？我們首先假設這三類罐頭湯各有一個編號：1、2、3，並假設把抽出來的5罐罐頭湯按其編號的順序排列，例如2罐忌廉湯、1罐雜菜湯和2罐羅宋湯可以用序列1,1,2,3,3來代表，請注意上述序列包含重覆的數字。為了把上述序列轉化為不含重覆的數字，我們可以對序列的第2個數字加1，第3個數字加2 ... 第5個數字加4，從而得到一個新的序列：1,2,4,6,7。反過來，給定一個形如A1,A2,A3,A4,A5的序列，其中A1至A5為1至7之間的數字，而且這個序列不含重覆的數字，且按遞增序排列，如果對該序列的第2個數字減1，第3個數字減2 ... 第5個數字減4，我們便能得到一個新的序列，該序列的每一個數字為1至3之間的數字，而且數字有重覆。這樣我們便在上述兩種序列之間建立了一一對應關係，而後一種序列相當於從1至7這七個數字中抽5個各不相同的數字出來的「組合」問題，根據「組合」公式，應有C(7, 5) = C(7, 2) = 21種抽法，跟前面的答案完全一致。□
現在把上述推理推廣到一般情況。首先我們用r顆*來代表被抽出來的r件物件，我們的任務是把這r顆*分為n堆，我們可以用n − 1個|來代表堆的「邊界」，這n − 1個|的分佈與r件物件的分堆結果存在一一對應關係，因此我們要求的答案相等於n − 1個|在r顆*中的各種可能分佈的總數，這相當於在n + r − 1個位置中抽取n − 1個出來的數目，這是一個「組合」問題，因此答案是C(n + r − 1, n − 1) = C(n + r − 1, r)。
同樣，我們也可循另一途徑推導上述公式。設我們用1、2 ... n來代表該n類物件，並把抽出來的r件物件按其編號的順序排列，從而得到一個包含r個數字的序列，這個序列可能包含重覆的數字。接著我們對上述序列的第2個數字加1，第3個數字加2 ... 第r個數字加r − 1，從而得到一個新的序列。這個新序列的數字最小為1，最大為n + r − 1，而且不含重覆的數字。(假設原來序列包含兩個數字，分別為a和b，其中a ≤ b。分別對a和b加上c和d後，將得到兩個新數字：a + c和b + d。由於c < d，a + c和b + d不可能是相同的數字。)容易看到，原來的序列與新序列之間存在一一對應關係，而新序列相當於從1至n + r − 1這n + r − 1個數字中抽r個各不相同的數字出來的「組合」問題，根據「組合」公式，應有C(n + r − 1, r)種抽法，跟上段的結果完全一致。
請注意，有些人用E(n, r)來代表從n類物件中可重覆抽取r件物件出來的組合數。由此我們得到以下公式：
例題2：設有5個可區別的木星人和3個可區別的火星人，現在要安排他們坐在一排共8個座位上，但不容許任何兩個火星人坐在相鄰的位置，問有多少種不同坐法？
答2：本題初看起來頗為複雜，如果把本題單純處理為「排列」問題，可能要考慮很多不同情況，但我們可以換一個角度思考問題，把分派座位的過程分解為三個程序。在第一個程序中，我們暫把5個木星人看成相同的個體，同時把3個火星人也看成相同的個體，並確定這兩類人的座位分佈。由於不容許任何兩個火星人坐在相鄰的位置，我們可以把這些外星人的座位分佈形像化地表示為_J_J_J_J_J_的形式，其中J代表木星人，_則代表可供一名火星人坐的位置。請注意上述形像化表達符合題意，因為既然每個_最多只可填入一個火星人(用M代表)，那麼任何兩個M之間必被至少一個J隔開。因此我們的問題變成了把3個M填入上述6個_的問題，這顯然是一個「組合」問題，所以第一個程序共有C(6, 3) = 6! / (3! × 3!) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2) = 20種選擇。
確定了兩種人的座位分佈後，在第二和第三個程序中，我們分別為5個木星人和3個火星人排次序，這是兩個「全排列」問題，分別有5!和3!種選擇。最後，運用「乘法原理」，求得共有20 × 5! × 3! = 14400種不同坐法。
在上面討論第一個程序的解法中，我們用_代表火星人的座位。讀者可能會問，如果我們用_代表木星人的座位，情況將有何不同？現在就讓我們再從另一個角度求這個問題的答案。如果我們把兩種外星人的座位分佈表示為_M_M_M_，那麼情況會較為複雜。首先，這裡的_必須可供填入不只一個木星人，否則4個空位將不夠填入5名木星人。其次，由於規定了任何兩個火星人不得坐在相鄰的位置，中間兩個_必不能空著，因此我們可以先把兩個J填入這兩個_，然後再決定其餘3名木星人的位置。由於對木星人的坐法沒有任何限制，因此現在問題變成了從4個位置(分別對應著4個_)中抽取3個出來，其中每個位置都可無限重覆抽取的「組合」問題。根據上面的公式，應有C(4 + 3 − 1, 3) = C(6, 3) = 20種選擇。這跟前面的結果完全相同。
本題清楚顯示，對於同一個問題，假如我們按不同思路解題，我們便可把該問題分析為不同的排列組合問題。由此可見，解答排列組合問題不能總是採取一成不變的解題模式。□
至此筆者介紹了解答排列組合問題的四條常用公式。現將這些公式整理成下表：
| 不可重覆 | 無限重覆 | |
|---|---|---|
| 部分排列 | P(n, r) = n! / (n − r)! | U(n, r) = nr |
| 組合 | C(n, r) = n! / ((n − r)! × r!) | E(n, r) = C(n + r − 1, r) = (n + r − 1)! / ((n − 1)! × r!) |
在《點算的奧秘：排列和組合基本公式》中，筆者指出可以把「部分排列」分解為「組合」和「全排列」兩個程序，並據此推導出「不可重覆」的組合公式與排列公式存在以下關係：P(n, r) = C(n, r) × r!。學習完本節介紹的兩條新公式後，讀者不禁要問，對於「無限重覆」的排列組合公式而言，是否也存在類似關係？筆者將透過以下例題解答這一問題。
例題3：設有兩類物件(不妨稱之為A和B)，其數目均為無限，現要從這兩類物件中抽3件出來排列，問有少種不同排法？試列出所有排法。
答3：這是一個很簡單的「無限重覆部分排列」問題，套用本節的定義，我們有n = 2，r = 3，故得答案為23 = 8種排法，這8種排法為：A-A-A；A-A-B；A-B-A；A-B-B；B-A-A；B-A-B；B-B-A；B-B-B。
現在我們嘗試循另一途徑解答本題，把這個排列過程分解為「組合」和「全排列」兩個程序。首先考慮第一個程序，這是前面介紹過的「無限重覆組合」問題，應用前面的公式，我們知道共有C(2 + 3 − 1, 3) = 4! / (1! × 3!) = 4種組合。這4種組合是：A,A,A；A,A,B；A,B,B；B,B,B。接著讓我們進行第二個程序，即對上述4種組合進行「全排列」。雖然我們尚未介紹這種「全排列」的公式(這是一種「有限重覆全排列」問題，將是下一節的課題)，但比較一下上段8種排列和本段4種組合，我們容易發現在這裡各種組合與排列的分佈並不均勻。例如若對A,A,A此一組合進行「全排列」，只能得到一種排列A-A-A；但若對A,A,B此一組合進行「全排列」，卻能得到三種排列A-A-B；A-B-A和B-A-A。
由此我們得到一個結論，本題的第一和第二個程序不是「各自獨立」的，第一個程序的結果會影響第二個程序的結果，即第二個程序的「全排列」數目會因應第一個程序的「組合」結果而變化，因此本題並不符合「乘法原理」的適用條件。換可話說，對「無限重覆」的排列組合公式而言，並不存在類似「不可重覆」的排列組合公式之間的關係。□