「母函數」(亦作「生成函數」Generating Function)是在「點算組合學」上有廣泛應用的工具，「點算組合學」的幾乎每個領域都有相應的「母函數」，本文只擬介紹與前面介紹過的幾種點算問題(排列組合問題、集合劃分問題、整數分割問題、分配問題)密切相關的「母函數」。
在開始介紹「母函數」前，我們先回顧一下以前介紹過的「不可重覆的組合」問題公式。我們知道，若要從3件物件中抽r個出來，共有C(3, r)種不同抽法。當r分別取0、1、2、3等值時，C(3, r)便給出相應的答案：C(3, 0) = 1，C(3, 1) = 3，C(3, 2) = 3，C(3, 3) = 1。我們可以把上述結果寫成下列形式：
請注意上式記載了C(3, r) (0 ≤ r ≤ 3)的信息，其中xr的「系數」(Coefficient)就是C(3, r)的值。假設我們想知道C(3, 2)的值，只需看看上式中x2項的「系數」便知C(3, 2) = 3了。一般地，當我們有n件物件時，C(n, r)的值可以記錄如下：
利用Σ求和符號，我們可以把上式濃縮為(請不要忘記x0 = 1、x1 = x)：
把上面算式(2)跟「二項式定理」(即點算的奧秘：二項式定理和多項式定理中的公式(1))比較一下，我們發現上面的算式(2)可以進一步濃縮為
以上的公式(3)看似很簡單，但其實記載了C(n, r) (0 ≤ r ≤ n)的信息，只要我們把它「展開」(Expand)(即計算乘積(1 + x)(1 + x)...(1 + x))，便可以根據展開式中xr的「系數」得到C(n, r)的值。由於上式像「母親」那樣可以「生出」C(n, r)的所有值，所以我們把上式稱為「不可重覆的組合」問題公式C(n, r)的「母函數」(或「生成函數」)(註1)。
在某些應用中，「母函數」所記載的還可能是無限多的信息。一般地，假設我們有一個由實數組成的序列(Sequence)(a0, a1, ...)，我們可以把這個序列中的數寫成
在以上的公式(4)中，每一項的形式為xr，在數學上稱為「冪函數」(Power Function)。「冪函數」不是唯一可應用於「母函數」的函數，在某些應用中，我們也會使用其他函數。不過由於「冪函數」是最簡單和最常應用於「母函數」的函數，因此在「點算組合學」上這類「母函數」稱為「普通母函數」(Ordinary Generating Function)。此外，由於「普通母函數」主要用來解決「組合」問題，故又稱「組合母函數」(Generating Function for Combination)。
接著讓我們仔細看看用公式(3)求C(3, 2)的過程。把n = 3代入公式(3)：
| (1 + x)3 | = (1 + x) × (1 + x) × (1 + x) |
| = 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × x + 1 × x × 1 + 1 × x × x + x × 1 × 1 + x × 1 × x + x × x × 1 + x × x × x | |
| = 1 + 3x + 3x2 + x3 |
從x2項的「系數」3可知C(3, 2) = 3。可是這個3是怎麼來的？這是因為在上述運算的第二行中，共有3個項是由1個1和2個x組成的：1 × x × x、x × 1 × x和x × x × 1。觀察上述運算的第二行，我們看到每一項都是從3個(1 + x)中各抽取1或x出來相乘的結果，例如1 × x × x就代表從第1個(1 + x)抽取1並從第2和第3個(1 + x)抽取x出來相乘的結果。由於共有3種方法從3個(1 + x)中抽取1個1和2個x出來相乘，因此x2項的「系數」就是3。
我們可以再從另一個角度看以上的運算過程。我們可以把3個(1 + x)看成3類物件，每個(1 + x)中的1和x分別代表是否選取該類物件(x = x1代表選取該物件，即從該類物件中選取1個；1 = x0則代表不選取該類物件，即從該類物件中選取0個)，例如1 × x × x便代表選取第2、3類物件但不選取第1類物件。這樣x2項的「系數」便代表從3類物件中抽取2個出來(每類最多只可抽取1個，即不可重覆地抽取)的不同方法的總數。
以上觀察啟發我們如何用「母函數」解決各種「組合」問題。既然x0和x1分別代表從某類物件中抽取0個和1個出來，那麼xr (r ≥ 0)便代表從某類物件中抽取k個出來。這樣(1 + x + x2 + x3)便代表可從某類物件中抽取0至3個，即最多3個；(x2 + x3 + ...)則代表可從某類物件中抽取2個、3個以至無限個，即最少2個；而(x3 + x4)則代表可從某類物件中抽取3個或4個，即上限為4、下限為3。利用以上這些「括弧」，我們便可以解決各種「有限重覆組合」問題，其中「括弧」的數目代表物件種類的數目，「括弧」的內容則代表對各類物件數目的限制條件，而把各個「括弧」相乘的乘積中的xr項的「系數」則代表從各類物件中抽取r個符合所有限制條件的物件的方法總數。試看以下例題。
例題1：現從A、B、C這3個字母中可重覆地抽7個出來。若其中規定包含最多1個A、最少1個B和1至2個C，問有多少種抽法？
答1：本題其實就是《點算的奧秘：帶上、下限的排列組合問題》中的例題1。在上述網頁中，我們用「容斥原理」解答本題，現在我們看看如何用「母函數」解決本題。
由於共有3類物件，因此本題的「母函數」應由3個「括弧」組成。根據對A、B、C上、下限的規定，我們知道代表A、B、C的3個「括弧」分別為(1 + x)、(x + ...)和(x + x2)。接著我們把這3個「括弧」相乘，乘積中x7項的「系數」就是所求的答案。雖然上述第二個「括弧」包含無限個項，但由於我們的目的只是求取x7項的「系數」，我們無需理會該「括弧」中x7以上的項。因此本題的乘積可化簡為
現在如果我們利用一個能進行代數運算的電腦軟件(或用人手)進行計算，便可求出以上乘積中x7項的「系數」為4，即本題答案為4，與上述網頁的結果相符。
在只能進行人手計算的情況，如要把以上乘積完全展開，將是費時失事的，因為以上乘積的展開式包含1、x、x2 ... x10共11個項，而我們只需要x7項的「系數」。換句話說，我們會進行很多不必要的計算。因此在實際計算時，我們不必把乘積中的所有項都寫出來，而只需把相乘後得到x7的項寫出來。舉例說，在嘗試展開以上乘積的過程中，如果我們把第1個「括弧」中的1、第2個「括弧」中的x和第3個「括弧」中的x相乘，所得結果為x2，不符合我們的要求，所以無需把這個結果寫出來。事實上，我們會發覺大部分相乘結果都無需寫出來，而只有以下4個結果符合我們的要求：1 × x5 × x2、1 × x6 × x、x × x4 × x2、x × x5 × x。由於上述4項相乘結果都是x7，因此以上乘積中x7項的「系數」為4。□
以上例題的解題方法是把「母函數」展開，並找出乘積中xr的「系數」。但由於在展開乘積的過程中，除了計算出xr項外，還會計算出其他很多項(或至少要考慮某幾項相乘是否等於xr)，我們不禁要問，能否不用展開乘積而直接計算xr的「系數」，從而減少不必要的運算？答案是肯定的，但要做到這一點，我們必須借助「母函數」的「封閉形式」(見註1)，並能靈活掌握「封閉形式」與「級數形式」的轉換關係。為此，以下介紹幾個常用的「封閉形式」以及相應的「級數形式」。
首先，我們將要經常用到以下兩個「幾何級數」(Geometric Series)公式(註3)：
其次，我們還要經常用到以下「二項式定理」的特殊形式，以「化解」某些帶冪次的「封閉形式」：
公式(7)只適用於冪次為正整數(即n > 0)的情況，以下推導冪次為負整數時的公式，即(1 ± x)−n (其中n > 0)的公式。運用「廣義二項式定理」(即《點算的奧秘：二項式定理和多項式定理》中的公式(4))，我們可以把(1 ± x)−n改寫為
接著我們要設法把上式中的C(−n, r)變換為正數的形式，以方便以後的計算。根據《點算的奧秘：二項式定理和多項式定理》中的註2，C(−n, r) = −n(−n − 1)(−n − 2) ... (−n − r + 1) / r!。由於上式的分子包含r個項，我們可以從上式抽出r個−1，從而把上式分子中的負數全部變為正數。由此我們得到
| C(−n, r) | = (−1)r n(n + 1)(n + 2) ... (n + r − 1) / r! |
| = (−1)r (n + r − 1)! / [(n − 1)! × r!] | |
| = (−1)r C(n + r − 1, r) |
把以上結果代入式(8)，便得
| (1 ± x)−n | = Σ 0 ≤ r < ∞(−1)r C(n + r − 1, r) (±x)r |
| = Σ 0 ≤ r < ∞ C(n + r − 1, r) (−1 × ±x)r (9) |
在大多數情況下，我們所需要的是(1 − x)−n的值，因此上式的較常用形式為
以下我們運用上述的公式來解決某些「組合」問題。
例題2：如規定6 ≤ a, b, c ≤ 10，則方程a + b + c = 28有多少個解？
答2：這是一個「整數有序分割」問題。在《點算的奧秘：分配問題》中，筆者已指出這類問題與「組合」問題存在對應關係，因此亦可用上面介紹的方法求解。我們首先把a、b和c分別看成三類物件，因此本題的「母函數」應有3個「括弧」。由於規定6 ≤ a, b, c ≤ 10，該3個「括弧」應為(x6 + x7 + x8 + x9 + x10)，因此本題的「母函數」是
| (x6 + x7 + x8 + x9 + x10)3 | |
| = | [x6(1 + x + x2 + x3 + x4)]3 |
| = | x18(1 + x + x2 + x3 + x4)3 |
現在利用公式(6)把上式轉換為
| x18[(1 − x5) / (1 − x)]3 | |
| = | x18(1 − x5)3(1 − x)−3 |
接著利用公式(7)和(10)把上式轉換為「級數形式」：
本題答案就是上式中x28項的「系數」。上式由三部分相乘而成，由於第一部分是x18，因此所求答案為第二和第三部分的乘積中x10項的「系數」。根據觀察，當第二部分的變項r和第三部分的變項s分別取以下的值：r = 0，s = 10；r = 1，s = 5；r = 2，s = 0時，所得的項相乘後便是x10。因此本題答案為
| C(3, 0) × (−1)0 × C(2 + 10, 10) + C(3, 1) × (−1)1 × C(2 + 5, 5) + C(3, 2) × (−1)2 × C(2 + 0, 0) | |
| = | 1 × 66 − 3 × 21 + 3 × 1 |
| = | 6 □ |
例題3：方程a + 4b + 5c = 20有多少個正整數解？
答3：我們首先把a、4b和5c分別看成三類物件，因此本題的「母函數」應有3個「括弧」。由於規定a、b、c必須是正整數(即不能為0)，對應於a的「括弧」應為(x + x2 + x3 + ...)；對應於4b和5c的「括弧」則略有不同。由於4b所取的值只能是4的倍數而非任何正整數，所以對應於4b的「括弧」應是(x4 + x8 + x12 + ...)。同理，對應於5c的「括弧」應是(x5 + x10 + x15 + ...)。本題的「母函數」為：
| (x + x2 + x3 + ...) (x4 + x8 + x12 + ...) (x5 + x10 + x15 + ...) | |
| = | x10 (1 + x + x2 + ...) (1 + x4 + (x4)2 + ...) (1 + x5 + (x5)2 + ...) |
由於上式中三個「括弧」內的項各不相同，而且三個「括弧」的冪次都是1，我們無法把上式化簡，只能運用公式(5)把上式寫成以下的「級數形式」：
本題答案就是上式中x20項的「系數」。上式由四部分相乘而成，由於第一部分是x10，因此所求答案為第二至第四部分的乘積中x10項的「系數」。現在我們只能憑觀察找出上式第二至第四部分中哪些項相乘後會得到x10。事實上，共有6個這樣的項，即當r、s、t取以下的值時：r = 0，s = 0，t = 2；r = 1，s = 1，t = 1；r = 2，s = 2，t = 0；r = 5，s = 0，t = 1；r = 6，s = 1，t = 0；r = 10，s = 0，t = 0。由於這6個項的「系數」都是1，所以本題答案為6。
請注意上式實質上是把原來的問題轉化為以下這個問題：方程r + 4s + 5t = 10有多少個非負整數解？由此可見，上述使用「封閉形式」的方法並非萬能，在某些情況下，只能把原來的問題轉化為一個另一個數字較小的問題。不過即使如此，本網頁介紹的「母函數」方法仍是有價值的，因為它可以把某些應用問題轉化為純粹數字上的問題，使我們得以集中精神處理這些問題。□
最後，我們用「母函數」方法推導以下「組合」問題的公式：從n類物件中抽取r個出來，其中每類物件都必須至少抽一個出來，問有多少種不同抽法？由於共有n類物件，故應有n個「括弧」。由於每類物件至少有一個被抽出來，所以這n個「括弧」是(x + x2 + ...)。因此本問題的「母函數」是
| (x + x2 + ...)n | ||
| = | xn (1 + x + ...)n | |
| = | xn (1 − x)−n | (應用公式(5)) |
| = | xn Σ 0 ≤ r < ∞ C(n + r − 1, r) xr | (應用公式(10)) |
| = | Σ 0 ≤ r < ∞ C(n + r − 1, r) xn + r |
接著對上式的求和變項r進行變換，利用關係式n + r = k，即r = k − n。因此當r = 0時，k = n。經過變換，上式變成
| Σ n ≤ k < ∞ C(k − 1, k − n) xk | |
| = | Σ n ≤ k < ∞ C(k − 1, n − 1) xk |
最後，我們把上式的求和變項變回r：
我們所求的答案就是上式中xr項的「系數」，即
這結果跟《點算的奧秘：分配問題》中的公式(2)完全一致。此外，上式還顯示當r < n時，所求答案等於0。這是合理的，因為若要從n類物件中抽取r個出來，並使得其中每類物件都至少抽一個出來，那麼r必須至少等於n才行。
註1：其實不只公式(3)，公式(1)和(2)也是C(n, r)的「母函數」，只不過公式(3)表現為一個「函數」(又稱「封閉形式」Closed Form)，而公式(1)和(2)則表現為「級數」(Series)。請注意，並非所有「母函數」都能化為「封閉形式」。而且在某些應用中，只需利用「母函數」的「級數」形式便可解決問題。