數學專題

本網頁提供的連結為本人對某些數學專題的學習筆記或研究心得。

數學軟件及遊戲

電腦的發明為數學學習及研究提供了廣闊的應用前景。以下是筆者以往學習過及研究過的數學專題，筆者曾就這些專題編寫電腦程式，現透過互聯網公諸於世，與廣大瀏覽者分享交流。

點算的奧秘

點算(Counting)是每個人在孩提時代便開始學習的技巧，有誰不懂得數1、2、3 ...？但我們有否想過，點算其實可以發展為一門學問，甚至成為「組合數學」(Combinatorics)的一個重要分支－「點算組合學」(Enumerative Combinatorics，亦作「計數組合學」)。一個個的去數固然是再容易不過的事，但也是最沒有效率的點算方法，它只能解決數目不大的問題。對於涉及較大數目的問題，我們就不能再這樣列出具體的事物然後一個個的去數，而必須訴諸抽象的數學推理，這就是「點算組合學」的價值所在。

「點算組合學」是本人喜愛的數學分支之一，本專題將以循序漸進，由淺入深的方式介紹「點算組合學」的基本知識和解題技巧。由於本人學識有限，本專題只擬介紹該學科最基礎的知識，包括「排列和組合」、「容斥原理」、「母函數」、「遞歸關係」等題目。

本專題旨在介紹筆者所認識的「點算組合學」的有趣知識，因此著重對該學科最基礎定理的直觀理解，而無意包羅該學科的所有定理，亦無意進行嚴謹的數學推導。讀者如欲對該學科有更深入的認識，可參閱相關的教科書。以下是本專題的目錄。

參考資料

C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, 2002
R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc., 2001
G.E. Martin, Counting: the Art of Enumerative Combinatorics, New York: Springer-Verlag New York, Inc. 2001
夏宗匯，《組合數學中的生成函數》，《數學傳播》第一卷第三期

群論與魔方

「魔方」(Rubik's Cube，有些人直譯作「魯比克立方體」，在香港又稱「扭計骰」)是筆者中學時代風靡一時的智力玩具，至今仍是十分暢銷的玩具。筆者當年沒有學懂如何破解(又稱還原)魔方，直至2009年在外遊時買了一個2 × 2 × 2魔方作為手信送給我當時未滿四歲的兒子，為了教他玩，才開始認真學習破解魔方的攻略。學懂破解之道後，便開始探尋這些攻略背後的原理，獲得了一些心得。

魔方與抽象代數學中的「群論」(Group Theory)存在密切關係。不過由於2 × 2 × 2魔方較為簡單，無需使用很多群論的知識。其後我又嘗試把以往學得的群論知識應用於3 × 3 × 3魔方，終於弄明白了3 × 3 × 3魔方攻略中每一步背後的數學原理，並發覺可以把原理推廣至其他魔方，魔方遂成為繼Mastermind之後我最感興趣的智力遊戲。本專題旨在介紹群論與魔方的密切關係，特別著重介紹如何用群論的知識解釋各種魔方技法，包括製造魔方花式、還原各種階的普通魔方和還原各種階的超級魔方等，以下是本專題的目錄。

**超級扭計骰還原攻略(粵語影片)**
超級扭計骰還原攻略(一)：基本概念和操作	超級扭計骰還原攻略(二)：還原首四個中心區
超級扭計骰還原攻略(三)：還原第五個中心區	超級扭計骰還原攻略(四)：還原第六個中心區
超級扭計骰還原攻略(五)：還原首十個邊區	超級扭計骰還原攻略(六)：還原其餘兩個邊區
超級扭計骰還原攻略(七)：使角塊和邊區歸位	超級扭計骰還原攻略(八)：使中心區朝向正確方向
超級扭計骰還原攻略(九)：偶數階超級扭計骰	超級扭計骰還原攻略(十)：其他類型的超級扭計骰

參考資料及網頁

The best links about the Rubik's cube
Rubik's Official Online Site
吳鶴齡，《魅力魔方》，北京：科學出版社，2009年9月
Fun with Rubik's Cube

珠算解難

珠算是中國的「國粹」。在沒有計數機和電腦的時代，算盤是非常了不起的計算工具。根據資料，算盤不僅可用來進行基本的整數四則運算，還可用來進行開方、分數四則運算、求最大公約數、求最小公倍數，乃至某些「數論」、「方程式論」和「線性代數」中的運算，例如求連分數、解不定方程、同餘式、綜合除法、因式分解、矩陣運算、解線性方程組等。

在今天這個「電腦時代」，這項「國粹」已日漸被遺忘。即使是學過珠算的人，大多也只懂得最基本的加、減和乘法，而不懂除法(尤其是傳統的「歸除法」)，更遑論開方等更複雜的運算了。本專題的目的是介紹珠算中一些較難也較少人認識的傳統運算方法，以除法為主，旁及開方。至於與「數論」、「方程式論」和「線性代數」有關的運算技巧，這些一般都是以珠算結合近現代數學知識的結果，已超出「傳統」的範疇，故不在本專題涵蓋範圍內。以下是本專題的目錄。

參考資料

余寧旺等，《中國珠算大全》，天津：天津科學技術出版社，1990年5月

感受伽羅瓦

「伽羅瓦理論」(Galois Theory)是當代「抽象代數學」(Abstract Algebra)的重要分支理論，它解決了多代數學家歷經數世紀致力求解的問題－多項式方程是否存在根式解？我們在唸中學時學習了如何求解二次方程，有些人可能知道存在求解三次和四次方程的方法，但五次或更高次方程的情況又如何？「伽羅瓦理論」為我們提供了圓滿解答。本專題的主旨是以淺顯的方式介紹「伽羅瓦理論」中的抽象概念和某些重要定理，讓讀者感受體現於這套理論的數學之美。對於所涉及的大多數定理，本專題只擬提供說明和示例，而略去其證明。因此之故，本專題取名為「感受伽羅瓦」(而非「理解伽羅瓦」)，讀者如欲透徹理解這套理論，請閱讀相關書籍。

「伽羅瓦理論」以法國數學家伽羅瓦(Evariste Galois)命名，他生於1811年10月25日，卒於1832年5月31日，其一生充滿傳奇和浪漫色彩。伽羅瓦是天才數學家，但因不善於表達其思想，因此曾多次提交論文而不被當時的數學家欣賞，甚至未能考入心儀的學府(「伽羅瓦理論」的價值是在他死後才被人發掘)。伽羅瓦不是埋首於象牙塔的學究，而是積極參加當時政治運動的熱血青年(主要是1830年法國「七月革命」後的政治運動)，並因此而曾入獄。出獄後據說伽羅瓦與一名女士發生戀愛，並為此與人決鬥而被槍殺，死時還未滿21歲。伽羅瓦的一生可以用英國哲學家兼數學家羅素(Betrand Russell)的名言來概括：「對愛情的渴望，對知識的追求，對人類苦難不可遏制的同情心，這三種純潔而無比強烈的激情支配著我的一生」。

以下是本專題的目錄。

參考資料

R.B.J.T. Allenby, Rings, Fields and Groups: An Introduction to Abstract Algebra (2nd Edition), London: Edward Arnold, 1991
P.J. Cameron, Introduction to Algebra (2nd Edition), Oxford: Oxford University Press, 2008
J.A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra (9th Edition), Boston: Cenage Learning, 2017
J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: Springer-Verlag London Limited, 2006
J. Rotman, Galois Theory (2nd Edition), New York: Springer-Verlag, 1998
I. Stewart, Galois Theory (4th Edition), Boca Raton: CRC Press, 2015

數學示例

數學概念是對具體數學現象進去抽象概括而得的結果，而且通常以高度簡潔但有嚴格定義的形式化語言表達出來。初次接觸陌生學科中的陌生概念的學習者在看完這些概念的定義後，常有如墮五里霧中的感覺。在這種情況下，這些概念的示例能令學習者減少迷惘感，提高學習興趣，並進而掌握這些概念。在進一步學習與這些概念相關的性質和定理時，學習者更常要回顧這些示例，以幫助理解這些性質和定理的內容及其證明，由此可見示例是學習數學的重要工具。本專題的主旨是介紹某些數學學科的基本概念，並為這些概念提供典型示例。

本專題只會提供與所介紹數學概念直接相關的事實或定理，並且著重直觀理解而非嚴格推導，因此只會對部分事實或定理提供證明。讀者如欲對相關學科有更深入的認識，請參閱相關書籍。以下是本專題的目錄。

參考資料

W. Appel (translated by E. Kowalski), Mathematics for Physics and Physicists, Princeton: Princeton University Press, 2007
G.B. Arfken & H.J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (6th Edition), Burlington: Elsevier Academic Press
T. Banchoff & S. Lovett, Differential Geometry of Curves and Surfaces (2nd Edition), Boca Raton: CRC Press Taylor & Francis Group, 2016
J. Bak & D.J. Newman, Complex Analysis (3rd Edition), New York: Springer-Verlag, 2010
E.D. Bloch, A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, Boston: Birjhauser, 1997
M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd Edition), Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2006
S.J. Colley, Vector Calculus (4th Edition), Boston: Pearson Education, Inc., 2012
M.D. Crossley, Essential Topology, London: Springer-Verlag London Limited, 2005
J.P. Fortney, A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds, Cham: Springer Nature Switzerland AG, 2018
T. Gowers et al, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton: Princeton University Press, 2008
S. Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2009
L.C. Kinsey, Topology of Surfaces, New York: Springer-Verlag New York, Inc., 1993
E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, New York: John Wiley & Sons. Inc., 1978
S. Lovett, Differential Geometry of Manifolds (2nd Edition), Boca Raton: CRC Press Taylor & Francis Group, 2020
A. McInerney, First Steps in Differential Geometry: Riemannian, Contact, Symplectic, New York: Springer Science+Business Media, 2013
R.E. Mickens, Mathematical Methods for the Natural and Engineering Sciences, Singapore: World Scientific Publishing Co. Re. Ltd., 2004
J.R. Munkres, Analysis on Manifolds, Redwood City: Addison-Wesley Publishing Company, 1991
J.R. Munkres, Topology (2nd Edition), Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2000
G.S. Nelson, A User-Friendly Introduction to Lebesgue Measure and Integration, Providence: American Mathematical Society, 2015
S. Ovchinnikov, Measure, Integral, Derivative: A Course on Lebesgue's Theory, New York: Springer, 2013
A. Pressley, Elementary Differential Geometry, London: Springer-Verlag, 2001
K.F. Riley & M.P. Hobson, Essential Mathematical Methods for the Physical Sciences, Cambridge: Cambridge University Press, 2011
K.F. Riley, M.P. Hobson & S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering (3rd Edition), Cambridge: Cambridge University Press, 2006
B.P. Rynne & M.A. Youngson, Linear Functional Analysis (2nd Edition), London: Springer-Verlag London Limited, 2008
K. Saxe, Beginning Functional Analysis, New York: Springer-Verlag New York, Inc., 2002
L.A. Steen & J.A. Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (2nd Edition), New York: Springer·Verlag New York Inc., 1978
S.H. Weintraub, Differential Forms: Theory and Practice (2nd Edition), Oxford: Elsevier Inc., 2014
L. Woodward & J. Bolton, A First Course in Differential Geometry: Surfaces in Euclidean Space, Cambridge: Cambridge University Press, 2019
A.L. Yandi & A. Bowers, Elementary Point-Set Topology: A Transition to Advanced Mathematics, Mineola: Dover Publications, Inc., 2016
D.G. Zill & P.D. Shanahan, A First Course in Complex Analysis with Applications, Sudbury: Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003
D. Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (33rd Edition), Boca Raton: CRC Press Taylor & Francis Group, 2018

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