本網頁提供的連結為本人對某些數學專題的學習筆記或研究心得。
電腦的發明為數學學習及研究提供了廣闊的應用前景。以下是筆者以往學習過及研究過的數學專題,筆者曾就這些專題編寫電腦程式,現透過互聯網公諸於世,與廣大瀏覽者分享交流。
點算(Counting)是每個人在孩提時代便開始學習的技巧,有誰不懂得數1、2、3 ...?但我們有否想過,點算其實可以發展為一門學問,甚至成為「組合數學」(Combinatorics)的一個重要分支-「點算組合學」(Enumerative Combinatorics,亦作「計數組合學」)。一個個的去數固然是再容易不過的事,但也是最沒有效率的點算方法,它只能解決數目不大的問題。對於涉及較大數目的問題,我們就不能再這樣列出具體的事物然後一個個的去數,而必須訴諸抽象的數學推理,這就是「點算組合學」的價值所在。
「點算組合學」是本人喜愛的數學分支之一,本專題將以循序漸進,由淺入深的方式介紹「點算組合學」的基本知識和解題技巧。由於本人學識有限,本專題只擬介紹該學科最基礎的知識,包括「排列和組合」、「容斥原理」、「母函數」、「遞歸關係」等題目。
本專題旨在介紹筆者所認識的「點算組合學」的有趣知識,因此著重對該學科最基礎定理的直觀理解,而無意包羅該學科的所有定理,亦無意進行嚴謹的數學推導。讀者如欲對該學科有更深入的認識,可參閱相關的教科書。以下是本專題的目錄。
「魔方」(Rubik's Cube,有些人直譯作「魯比克立方體」,在香港又稱「扭計骰」)是筆者中學時代風靡一時的智力玩具,至今仍是十分暢銷的玩具。筆者當年沒有學懂如何破解(又稱還原)魔方,直至2009年在外遊時買了一個2 × 2 × 2魔方作為手信送給我當時未滿四歲的兒子,為了教他玩,才開始認真學習破解魔方的攻略。學懂破解之道後,便開始探尋這些攻略背後的原理,獲得了一些心得。
魔方與抽象代數學中的「群論」(Group Theory)存在密切關係。不過由於2 × 2 × 2魔方較為簡單,無需使用很多群論的知識。其後我又嘗試把以往學得的群論知識應用於3 × 3 × 3魔方,終於弄明白了3 × 3 × 3魔方攻略中每一步背後的數學原理,並發覺可以把原理推廣至其他魔方,魔方遂成為繼Mastermind之後我最感興趣的智力遊戲。本專題旨在介紹群論與魔方的密切關係,特別著重介紹如何用群論的知識解釋各種魔方技法,包括製造魔方花式、還原各種階的普通魔方和還原各種階的超級魔方等,以下是本專題的目錄。
超級扭計骰還原攻略(一):基本概念和操作 |
超級扭計骰還原攻略(二):還原首四個中心區 |
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超級扭計骰還原攻略(三):還原第五個中心區 |
超級扭計骰還原攻略(四):還原第六個中心區 |
超級扭計骰還原攻略(五):還原首十個邊區 |
超級扭計骰還原攻略(六):還原其餘兩個邊區 |
超級扭計骰還原攻略(七):使角塊和邊區歸位 |
超級扭計骰還原攻略(八):使中心區朝向正確方向 |
超級扭計骰還原攻略(九):偶數階超級扭計骰 |
超級扭計骰還原攻略(十):其他類型的超級扭計骰 |
珠算是中國的「國粹」。在沒有計數機和電腦的時代,算盤是非常了不起的計算工具。根據資料,算盤不僅可用來進行基本的整數四則運算,還可用來進行開方、分數四則運算、求最大公約數、求最小公倍數,乃至某些「數論」、「方程式論」和「線性代數」中的運算,例如求連分數、解不定方程、同餘式、綜合除法、因式分解、矩陣運算、解線性方程組等。
在今天這個「電腦時代」,這項「國粹」已日漸被遺忘。即使是學過珠算的人,大多也只懂得最基本的加、減和乘法,而不懂除法(尤其是傳統的「歸除法」),更遑論開方等更複雜的運算了。本專題的目的是介紹珠算中一些較難也較少人認識的傳統運算方法,以除法為主,旁及開方。至於與「數論」、「方程式論」和「線性代數」有關的運算技巧,這些一般都是以珠算結合近現代數學知識的結果,已超出「傳統」的範疇,故不在本專題涵蓋範圍內。以下是本專題的目錄。
「伽羅瓦理論」(Galois Theory)是當代「抽象代數學」(Abstract Algebra)的重要分支理論,它解決了多代數學家歷經數世紀致力求解的問題-多項式方程是否存在根式解?我們在唸中學時學習了如何求解二次方程,有些人可能知道存在求解三次和四次方程的方法,但五次或更高次方程的情況又如何?「伽羅瓦理論」為我們提供了圓滿解答。本專題的主旨是以淺顯的方式介紹「伽羅瓦理論」中的抽象概念和某些重要定理,讓讀者感受體現於這套理論的數學之美。對於所涉及的大多數定理,本專題只擬提供說明和示例,而略去其證明。因此之故,本專題取名為「感受伽羅瓦」(而非「理解伽羅瓦」),讀者如欲透徹理解這套理論,請閱讀相關書籍。
「伽羅瓦理論」以法國數學家伽羅瓦(Evariste Galois)命名,他生於1811年10月25日,卒於1832年5月31日,其一生充滿傳奇和浪漫色彩。伽羅瓦是天才數學家,但因不善於表達其思想,因此曾多次提交論文而不被當時的數學家欣賞,甚至未能考入心儀的學府(「伽羅瓦理論」的價值是在他死後才被人發掘)。伽羅瓦不是埋首於象牙塔的學究,而是積極參加當時政治運動的熱血青年(主要是1830年法國「七月革命」後的政治運動),並因此而曾入獄。出獄後據說伽羅瓦與一名女士發生戀愛,並為此與人決鬥而被槍殺,死時還未滿21歲。伽羅瓦的一生可以用英國哲學家兼數學家羅素(Betrand Russell)的名言來概括:「對愛情的渴望,對知識的追求,對人類苦難不可遏制的同情心,這三種純潔而無比強烈的激情支配著我的一生」。
以下是本專題的目錄。
數學概念是對具體數學現象進去抽象概括而得的結果,而且通常以高度簡潔但有嚴格定義的形式化語言表達出來。初次接觸陌生學科中的陌生概念的學習者在看完這些概念的定義後,常有如墮五里霧中的感覺。在這種情況下,這些概念的示例是令學習者減少迷惘感,提高學習興趣,並進而掌握這些概念。在進一步學習與這些概念相關的性質和定理時,學習者更常要回顧這些示例,以幫助理解這些性質和定理的內容及其證明,由此可見示例是學習數學的重要工具。本專題的主旨是介紹某些數學學科的基本概念,並為這些概念提供典型示例。
本專題只會提供與所介紹數學概念直接相關的事實或定理,並且著重直觀理解而非嚴格推導,因此只會對部分事實或定理提供證明。讀者如欲對相關學科有更深入的認識,請參閱相關書籍。以下是本專題的目錄。