數學專題
本網頁提供的連結為本人對某些數學專題的學習筆記或研究心得。
數學軟件及遊戲
電腦的發明為數學學習及研究提供了廣闊的應用前景。以下是筆者以往學習過及研究過的數學專題,筆者曾就這些專題編寫電腦程式,現透過互聯網公諸於世,與廣大瀏覽者分享交流。
點算的奧秘
點算(Counting)是每個人在孩提時代便開始學習的技巧,有誰不懂得數1、2、3 ...?但我們有否想過,點算其實可以發展為一門學問,甚至成為「組合數學」(Combinatorics)的一個重要分支-「點算組合學」(Enumerative Combinatorics,亦作「計數組合學」)。一個個的去數固然是再容易不過的事,但也是最沒有效率的點算方法,它只能解決數目不大的問題。對於涉及較大數目的問題,我們就不能再這樣列出具體的事物然後一個個的去數,而必須訴諸抽象的數學推理,這就是「點算組合學」的價值所在。
「點算組合學」是本人喜愛的數學分支之一,本專題將以循序漸進,由淺入深的方式介紹「點算組合學」的基本知識和解題技巧。由於本人學識有限,本專題只擬介紹該學科最基礎的知識,包括「排列和組合」、「容斥原理」、「母函數」、「遞歸關係」等題目。
本專題旨在介紹筆者所認識的「點算組合學」的有趣知識,因此著重對該學科最基礎定理的直觀理解,而無意包羅該學科的所有定理,亦無意進行嚴謹的數學推導。讀者如欲對該學科有更深入的認識,可參閱相關的教科書。以下是本專題的目錄。
乘法原理和加法原理
排列和組合基本公式
無限重覆的排列組合問題
有限重覆的排列組合問題
二項式定理和多項式定理
容斥原理基本公式
帶上、下限的排列組合問題
廣義容斥原理
含不動點或繼續點的排列問題
集合劃分問題
分配問題
普通母函數
指數母函數
列舉型母函數
整數分割問題
費雷爾斯圖
二元母函數
集合劃分問題的母函數
帶複雜條件的集合劃分問題
著色問題的基礎知識
伯恩賽德-波利亞定理
著色方案的母函數
對稱群的循環式
著色問題的推廣應用
點算問題的遞歸關係
齊次遞歸關係的解
非齊次遞歸關係的解
含複數解的遞歸關係
遞歸關係的母函數解題法
參考資料
C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, 2002
R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics , Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc., 2001
G.E. Martin, Counting: the Art of Enumerative Combinatorics , New York: Springer-Verlag New York, Inc. 2001
夏宗匯,《組合數學中的生成函數》,《數學傳播》第一卷第三期
群論與魔方
「魔方」(Rubik's Cube,有些人直譯作「魯比克立方體」,在香港又稱「扭計骰」)是筆者中學時代風靡一時的智力玩具,至今仍是十分暢銷的玩具。筆者當年沒有學懂如何破解(又稱還原)魔方,直至2009年在外遊時買了一個2 × 2 × 2魔方作為手信送給我當時未滿四歲的兒子,為了教他玩,才開始認真學習破解魔方的攻略。學懂破解之道後,便開始探尋這些攻略背後的原理,獲得了一些心得。
魔方與抽象代數學中的「群論」(Group Theory)存在密切關係。不過由於2 × 2 × 2魔方較為簡單,無需使用很多群論的知識。其後我又嘗試把以往學得的群論知識應用於3 × 3 × 3魔方,終於弄明白了3 × 3 × 3魔方攻略中每一步背後的數學原理,並發覺可以把原理推廣至其他魔方,魔方遂成為繼Mastermind之後我最感興趣的智力遊戲。本專題旨在介紹群論與魔方的密切關係,特別著重介紹如何用群論的知識解釋各種魔方技法,包括製造魔方花式、還原各種階的普通魔方和還原各種階的超級魔方等,以下是本專題的目錄。
魔方的基本概念
群論基礎知識
排列的表示法與運算
魔方操作的表示與運算
Dan Knights攻略解析(上)
Dan Knights攻略解析(下)
魔方花式(上)
魔方花式(下)
二階魔方及其還原攻略
高階魔方的結構與操作
高階魔方的性質與公式
五階魔方及其還原攻略
四階魔方及其還原攻略
更高階魔方的還原攻略
超級魔方的性質與操作(上)
超級魔方的性質與操作(下)
奇數階超級魔方的還原攻略
偶數階超級魔方的還原攻略
超級魔方還原的補充說明(上)
超級魔方還原的補充說明(下)
Tutorial on Supercube Solving (1) (Basic Notions)
Tutorial on Supercube Solving (2) (Solving Odd-Order Supercubes)
Tutorial on Supercube Solving (3) (Solving Even-Order Supercubes)
Tutorial on Supercube Solving (4) (Some Additional Tricks)
超級扭計骰還原攻略(粵語影片)
超級扭計骰還原攻略(一):基本概念和操作
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超級扭計骰還原攻略(二):還原首四個中心區
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超級扭計骰還原攻略(三):還原第五個中心區
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超級扭計骰還原攻略(四):還原第六個中心區
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超級扭計骰還原攻略(五):還原首十個邊區
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超級扭計骰還原攻略(六):還原其餘兩個邊區
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超級扭計骰還原攻略(七):使角塊和邊區歸位
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超級扭計骰還原攻略(八):使中心區朝向正確方向
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超級扭計骰還原攻略(九):偶數階超級扭計骰
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超級扭計骰還原攻略(十):其他類型的超級扭計骰
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參考資料及網頁
珠算解難
珠算是中國的「國粹」。在沒有計數機和電腦的時代,算盤是非常了不起的計算工具。根據資料,算盤不僅可用來進行基本的整數四則運算,還可用來進行開方、分數四則運算、求最大公約數、求最小公倍數,乃至某些「數論」、「方程式論」和「線性代數」中的運算,例如求連分數、解不定方程、同餘式、綜合除法、因式分解、矩陣運算、解線性方程組等。
在今天這個「電腦時代」,這項「國粹」已日漸被遺忘。即使是學過珠算的人,大多也只懂得最基本的加、減和乘法,而不懂除法(尤其是傳統的「歸除法」),更遑論開方等更複雜的運算了。本專題的目的是介紹珠算中一些較難也較少人認識的傳統運算方法,以除法為主,旁及開方。至於與「數論」、「方程式論」和「線性代數」有關的運算技巧,這些一般都是以珠算結合近現代數學知識的結果,已超出「傳統」的範疇,故不在本專題涵蓋範圍內。以下是本專題的目錄。
珠算的加、減、乘法
九歸歌與單歸法
歸除法
退商法
撞歸法
商除法
珠算開平方
珠算開立方
珠算開高次方
參考資料
余寧旺等,《中國珠算大全》,天津:天津科學技術出版社,1990年5月
感受伽羅瓦
「伽羅瓦理論」(Galois Theory)是當代「抽象代數學」(Abstract Algebra)的重要分支理論,它解決了多代數學家歷經數世紀致力求解的問題-多項式方程是否存在根式解?我們在唸中學時學習了如何求解二次方程,有些人可能知道存在求解三次和四次方程的方法,但五次或更高次方程的情況又如何?「伽羅瓦理論」為我們提供了圓滿解答。本專題的主旨是以淺顯的方式介紹「伽羅瓦理論」中的抽象概念和某些重要定理,讓讀者感受體現於這套理論的數學之美。對於所涉及的大多數定理,本專題只擬提供說明和示例,而略去其證明。因此之故,本專題取名為「感受伽羅瓦」(而非「理解伽羅瓦」),讀者如欲透徹理解這套理論,請閱讀相關書籍。
「伽羅瓦理論」以法國數學家伽羅瓦(Evariste Galois)命名,他生於1811年10月25日,卒於1832年5月31日,其一生充滿傳奇和浪漫色彩。伽羅瓦是天才數學家,但因不善於表達其思想,因此曾多次提交論文而不被當時的數學家欣賞,甚至未能考入心儀的學府(「伽羅瓦理論」的價值是在他死後才被人發掘)。伽羅瓦不是埋首於象牙塔的學究,而是積極參加當時政治運動的熱血青年(主要是1830年法國「七月革命」後的政治運動),並因此而曾入獄。出獄後據說伽羅瓦與一名女士發生戀愛,並為此與人決鬥而被槍殺,死時還未滿21歲。伽羅瓦的一生可以用英國哲學家兼數學家羅素(Betrand Russell)的名言來概括:「對愛情的渴望,對知識的追求,對人類苦難不可遏制的同情心,這三種純潔而無比強烈的激情支配著我的一生」。
以下是本專題的目錄。
二次方程與複數
三次方程的根式解
四次方程的根式解
排列與對稱多項式
根與係數的關係
整數與多項式
因子分解
環及其子類
等價關係與分數域
子環與商環
質理想與極大理想
環的同態與同構
群的基本概念
子群與商群
群的同態與同構
向量空間與子域
擴張域
代數擴張與超越擴張
有限域
自同構
伽羅瓦擴張
伽羅瓦對應
伽羅瓦理論基本定理
可解群與單純群
根式擴張與根式解
低次多項式的伽羅瓦群
參考資料
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J. Rotman, Galois Theory (2nd Edition) , New York: Springer-Verlag, 1998
I. Stewart, Galois Theory (4th Edition) , Boca Raton: CRC Press, 2015
數學示例
數學概念是對具體數學現象進去抽象概括而得的結果,而且通常以高度簡潔但有嚴格定義的形式化語言表達出來。初次接觸陌生學科中的陌生概念的學習者在看完這些概念的定義後,常有如墮五里霧中的感覺。在這種情況下,這些概念的示例能令學習者減少迷惘感,提高學習興趣,並進而掌握這些概念。在進一步學習與這些概念相關的性質和定理時,學習者更常要回顧這些示例,以幫助理解這些性質和定理的內容及其證明,由此可見示例是學習數學的重要工具。本專題的主旨是介紹某些數學學科的基本概念,並為這些概念提供典型示例。
本專題只會提供與所介紹數學概念直接相關的事實或定理,並且著重直觀理解而非嚴格推導,因此只會對部分事實或定理提供證明。讀者如欲對相關學科有更深入的認識,請參閱相關書籍。以下是本專題的目錄。
參考資料
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