數學專題

本網頁提供的連結為本人對某些數學專題的學習筆記或研究心得。

數學軟件及遊戲

電腦的發明為數學學習及研究提供了廣闊的應用前景。以下是筆者以往學習過及研究過的數學專題，筆者曾就這些專題編寫電腦程式，現透過互聯網公諸於世，與廣大瀏覽者分享交流。

點算的奧秘

點算(Counting)是每個人在孩提時代便開始學習的技巧，有誰不懂得數1、2、3 ...？但我們有否想過，點算其實可以發展為一門學問，甚至成為「組合數學」(Combinatorics)的一個重要分支－「點算組合學」(Enumerative Combinatorics，亦作「計數組合學」)。一個個的去數固然是再容易不過的事，但也是最沒有效率的點算方法，它只能解決數目不大的問題。對於涉及較大數目的問題，我們就不能再這樣列出具體的事物然後一個個的去數，而必須訴諸抽象的數學推理，這就是「點算組合學」的價值所在。

「點算組合學」是本人喜愛的數學分支之一，本專題將以循序漸進，由淺入深的方式介紹「點算組合學」的基本知識和解題技巧。由於本人學識有限，本專題只擬介紹該學科最基礎的知識，包括「排列和組合」、「容斥原理」、「母函數」、「遞歸關係」等題目。

本專題旨在介紹筆者所認識的「點算組合學」的有趣知識，因此著重對該學科最基礎定理的直觀理解，而無意包羅該學科的所有定理，亦無意進行嚴謹的數學推導。讀者如欲對該學科有更深入的認識，可參閱相關的教科書。以下是本專題的目錄。

參考資料

C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, 2002
R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc., 2001
G.E. Martin, Counting: the Art of Enumerative Combinatorics, New York: Springer-Verlag New York, Inc. 2001
夏宗匯，《組合數學中的生成函數》，《數學傳播》第一卷第三期

群論與魔方

「魔方」(Rubik's Cube，有些人直譯作「魯比克立方體」，在香港又稱「扭計骰」)是筆者中學時代風靡一時的智力玩具，至今仍是十分暢銷的玩具。筆者當年沒有學懂如何破解(又稱還原)魔方，直至2009年在外遊時買了一個2 × 2 × 2魔方作為手信送給我當時未滿四歲的兒子，為了教他玩，才開始認真學習破解魔方的攻略。學懂破解之道後，便開始探尋這些攻略背後的原理，獲得了一些心得，這些心得(包括2 × 2 × 2魔方的攻略以及對其背後原理的解釋)現載於本人的網誌中(見《三步破解2×2×2扭計骰(魔方)》和《2×2×2扭計骰(魔方)攻略揭秘(上)、(中)、(下))。

魔方與抽象代數學中的「群論」(Group Theory)存在密切關係。不過由於2 × 2 × 2魔方較為簡單，無需使用很多群論的知識，所以上述網誌中的文章沒有闡述這種關係。完成上述網誌後，我便開始嘗試把以往學得的群論知識應用於3 × 3 × 3魔方，終於弄明白了3 × 3 × 3魔方攻略中每一步背後的數學原理，並發覺可以把原理推廣至其他魔方，魔方遂成為繼Mastermind之後我最感興趣的智力遊戲。本專題旨在介紹群論與魔方的密切關係，特別著重介紹如何用群論的知識解釋各種魔方技法，包括製造魔方花式、還原各種階的普通魔方和還原各種階的超級魔方等，以下是本專題的目錄。

參考資料及網頁

The best links about the Rubik's cube
Rubik's Official Online Site
吳鶴齡，《魅力魔方》，北京：科學出版社，2009年9月
Fun with Rubik's Cube

珠算解難

珠算是中國的「國粹」。在沒有計數機和電腦的時代，算盤是非常了不起的計算工具。根據資料，算盤不僅可用來進行基本的整數四則運算，還可用來進行開方、分數四則運算、求最大公約數、求最小公倍數，乃至某些「數論」、「方程式論」和「線性代數」中的運算，例如求連分數、解不定方程、同餘式、綜合除法、因式分解、矩陣運算、解線性方程組等。

在今天這個「電腦時代」，這項「國粹」已日漸被遺忘。即使是學過珠算的人，大多也只懂得最基本的加、減和乘法，而不懂除法(尤其是傳統的「歸除法」)，更遑論開方等更複雜的運算了。本專題的目的是介紹珠算中一些較難也較少人認識的傳統運算方法，以除法為主，旁及開方。至於與「數論」、「方程式論」和「線性代數」有關的運算技巧，這些一般都是以珠算結合近現代數學知識的結果，已超出「傳統」的範疇，故不在本專題涵蓋範圍內。以下是本專題的目錄。

參考資料

余寧旺等，《中國珠算大全》，天津：天津科學技術出版社，1990年5月

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