本網站至今已介紹了「點算組合學」的幾個主要問題：排列、組合和集合劃分問題。現在的問題是，能否把這些性質不同的問題統統納入一個統一的框架之下？答案是可以的。本節將指出，上述這些問題都可以看成「分配」問題的特例。「分配」(Distribution)問題是指以下這類問題：現要把r件物件(以下統統以「球」為例)分配入n個容器(以下統統以「盒子」為例)中，問有多少種不同的分配方法？這類問題中的球和盒子可以有多種變化形式(例如它們可以是「可區分」(Distinguishable)的或「不可區分」(Indistinguishable)的，盒子可容許或不容許空置，每個盒子的容量可以有限或無限等等)，因而產生多種類型的「分配」問題。本文將介紹幾種主要的「分配」問題，並討論它們與其他「點算組合學」問題的對應關係。
為方便舉例，以下用不同的數字1、2、3代表「可區分」的球，並用同一種數字(例如1)代表「不可區分」的球。至於盒子，則用方括號[]代表。對於「可區分」的盒子，我們可以把它們編號，分別命名為1號、2號 ... n號盒子，而對於「不可區分」的盒子，則無法進行排序。因此「可區分」的盒子實際等同於「有次序」的盒子，而「不可區分」的盒子則實際等同於「沒有次序」的盒子。本文用「-」表示盒子之間的次序，若盒子之間沒有次序，則用逗號(,)把盒子隔開。舉例說，設我們要把4個球分配入3個盒子中，那麼[1,1]-[]-[1,1]便表示把4個「不可區分」的球中的兩個放進1號盒子，把其餘兩個放進3號盒子，並使2號盒子空置；而[],[1,3],[2,4]則表示把1號和3號球放進3個「不可區分」的盒子中的一個，把2號和4號球放進另一個，並使餘下的一個盒子空置(註1)。
現在首先考慮「可區分的球」的分配問題。因應盒子是否可區分，這類問題又可分為兩個次類：「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題和「可區分的球-不可區分的盒子」的分配問題。根據註1，這類問題與「集合劃分」問題有著明顯的對應關係：各個「可區分的球」對應著不同的元素，各個盒子則對應著子集。根據前段，「可區分」的盒子等同於「有次序」的盒子，因此「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題便對應著「集合有序劃分」問題，而「可區分的球-不可區分的盒子」的分配問題則對應著「集合(無序)劃分」問題。
在《點算的奧秘：集合劃分問題》中，筆者討論了多種「集合劃分」問題。除了最基本的「集合劃分」問題(即對子集不加任何限制的「集合劃分」問題)外，其他「集合劃分」問題都可看成是對子集加上各種限制的「集合劃分」問題，而這些限制在分配問題上則反映為對盒子的限制。舉例說，「空集」對應著空置的盒子，因此「是否容許空集存在」便對應著「是否空許盒子空置」，而「規定各個子集的元素個數」則對應著「規定各個盒子所載球的數目」。由於這些限制在上述網頁中已作詳細討論，本文不再重覆，這裡只提供一個例題。
例題1：如要把210這個數分解為若干個大於1的正整數的乘積，其中各個正整數按遞增序排列，問有多少種不同分解法？試列出所有分解法。
答1：210可被分解為4個質數的連乘積：2 × 3 × 5 × 7。我們可以把這個問題看成一個「分配」問題。4個質數相當於4個「可區分的球」，各個正整數則相當於盒子，把4個質數組合成正整數就相當於把4個球放入盒子中。由於題目規定了正整數按遞增序排列，這實際等於說：在確定各種不同分解法時，無需考慮各個正整數的次序(註2)，因此可以把這些盒子看成沒有次序的盒子，即「不可區分的盒子」。由於本題沒有規定正整數的數目，而正整數的數目最多可以有4個，最少必須有1個，這相當於共有4個盒子，並容許某些盒子空置。根據「分配」問題與「集合劃分」問題的對應關係，本題相當於把4個元素劃歸4個(無序)子集的「容許空集的集合(無序)劃分」問題，因此可以應用《點算的奧秘：集合劃分問題》中的公式(5)求解。把n = 4，r = 4代入該公式，得
| P1(4, 4) | = Σ1 ≤ i ≤ 4 Σ0 ≤ k ≤ i(−1)k C(i, k) (i − k)4 / i! |
| = (1 × 1 − 1 × 0) / 1 + (1 × 16 − 2 × 1 + 1 × 0) / 2 +
(1 × 81 − 3 × 16 + 3 × 1 − 1 × 0) / 6 + (1 × 256 − 4 × 81 + 6 × 16 − 4 × 1 + 1 × 0) / 24 |
|
| = 1 + 7 + 6 + 1 | |
| = 15 |
不過，上述答案包括了一個我們不想要的情況，那就是把4個元素全部劃歸同一個子集，此一情況相當於把210「分解」成210。由於這不是一個乘積，我們要從上述答案撇除此一情況，所以本題的正確答案應為14。
這14種分解法是2 × 105、3 × 70、5 × 42、7 × 30、6 × 35、10 × 21、14 × 15、2 × 3 × 35、2 × 5 × 21、2 × 7 × 15、3 × 5 × 14、3 × 7 × 10、5 × 6 × 7、2 × 3 × 5 × 7。□
接著讓我們再從另一角度看「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題。在《點算的奧秘：集合劃分問題》中，筆者曾指出某些「集合有序劃分」問題與某些「排列」問題的對應關係，由於「集合有序劃分」問題與「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題存在明顯的對應關係，因此可以推斷，「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題與「排列」問題也應存在對應關係。事實上，這兩類問題的確存在以下的對應關係：把r個「可區分的球」分配入n個「可區分的盒子」對應於從n類物件(註3)中抽r個出來排列；球的編號1、2 ... r對應於排列的次序；盒子的次序對應於物件類別的編號；盒子的容量對應於各類物件的數目。舉例說，設n = 3，r = 4，那麼分配[3]-[1,4]-[2]便對應著排列O2-O3-O1-O2，這是因為根據上述對應關係，3號球放於第1個盒子應對應著把O1排在第3個位置，餘類推。
我們還可以對上述的對應關係作進一步的推廣，從而把以前介紹過的各類「排列」問題解釋為各類「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題。由於盒子對應著物件類別，對各個盒子容量的各種限制就相當於對各類物件數目的限制。假如盒子的容量沒有限制，那就相當於「無限重覆排列」問題；假如規定了每個盒子所裝載球的數目，那就相當於「有限重覆全排列」問題；假如規定了每個盒子容量的上／下限，那就相當於「帶上／下限的排列」問題；假如規定在進行分配時所有盒子都不能空置，那就相當於在進行排列時各個類別的物件都要至少抽一個出來，這是「帶下限的排列問題」的一種特例；假如規定每個盒子最多只可包含一個物件，那就相當於「不可重覆的部分排列問題」；最後，假如n = r，並且規定每個盒子有且只有一個物件，那就相當於「不可重覆的全排列」問題。
至此我們確立了各類「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題與各類「排列」問題的一一對應關係。建立這種對應關係的好處是，當我們解決了其中一方的問題，便同時解決了另一方的對應問題，因此這兩類問題的公式可以互相借用。舉例說，在《點算的奧秘：集合劃分問題》中，筆者曾介紹以下的「不容許空集的集合有序劃分」問題的計算公式(本文重新編號為公式(1))：
現在根據前述的對應關係，我們知道這條公式也就是以下「排列」問題的公式：現要從n類物件中抽r個出來排序，若規定每類物件都必須至少抽一個出來，問有多少種排法？
接著再看一個例子。
例題2：現要把4個「可區分的球」分配入3個「可區分的盒子」中。若規定第1個盒子最多只可載3個球而第2個盒子不能空置，問有多少種分配法？
答2：根據「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題與「排列」問題的對應關係，本題等同於以下排列問題：現要從3類物件(O1、O2、O3)中抽4個出來排序。若規定其中包含最多3個O1和最少1個O2，問有多少種排法？可是這實際等於《點算的奧秘：帶上、下限的排列組合問題》中的例題3，因此我們無需重新求解便可知本題答案為65。□
確定了「排列」問題對應著哪些「分配」問題，下一個問題自然是，「組合」問題又對應著哪些「分配」問題？由於「組合」問題與「排列」問題的差別只在於後者要考慮被抽出來的物件的次序，而前者則無需考慮次序，所以我們只需對上述「排列」問題與「可區分的球-可區分的盒子」的分配問題的對應關係略作修改，便可找到「組合」問題的對應問題。根據上述對應關係，物件排列的次序對應著球的編號1、2 ... r。假如現在無需再考慮物件的次序，那麼相應地我們也無需再考慮球的編號，但這究竟代表甚麼意思？球的編號是用來區分球的標誌，因此不考慮球的編號就等於不對球作出區分，使我們的球成為「不可區分的球」。不過，「組合」問題仍然要區分不同類別的物件，根據對應關係，即仍要區分盒子的次序。由此得知，「組合」問題對應著「不可區分的球-可區分的盒子」的分配問題。
現在我們可以仿照前面的做法，把以前介紹過的各類「組合」問題解釋為各類「不可區分的球-可區分的盒子」的分配問題。假如盒子的容量沒有限制，那就相當於「無限重覆組合」問題；假如規定了每個盒子容量的上／下限，那就相當於「帶上／下限的組合」問題；假如規定在進行分配時所有盒子都不能空置，那就相當於在抽取物件時各個類別的物件都要至少抽一個出來，這是「帶下限的組合問題」的一種特例；假如規定每個盒子最多只可包含一個物件，那就相當於「不可重覆的組合問題」。利用上述對應關係，我們可以運用以前學過的知識來解答某些「不可區分的球-可區分的盒子」的分配問題，試看以下例題。
例題3：現要把r個球分配入n個盒子中(r ≥ n)，若規定所有盒子都不能空置，問有多少種不同分配法？
答3：根據上述對應關係，本題等同於以下「組合」問題：從n類物件中抽取r個出來，其中每類物件都必須至少抽一個出來，問有多少種不同抽法？本題的限制條件實際等同於規定各類物件的「下限」為1。由於規定從每類物件中至少抽一個出來，這實際上確定了要抽出來的r個物件中的n個，只剩下r − n個物件尚待抽出(由於規定了r ≥ n，所以r − n不為負數)，所以問題變成了從n類物件中可重覆地抽取r − n個出來的問題。根據「無限重覆組合」公式，所需答案為
| C(n + r − n − 1, r − n) | |
| = | C(r − 1, r − n) |
| = | C(r − 1, r − 1 − r + n) |
| = | C(r − 1, n − 1)□ (2) |
正如「可區分的球」的分配問題對應著「集合劃分」問題一樣，「不可區分的球」的分配問題也對應著一種「劃分」問題。在「點算組合學」上，這種「劃分」問題稱為「整數分割」(Partition of Integer)問題。這種問題可表述如下：給定一個正整數r，現要把它分割成n個非負整數(正整數或零)相加之和，問有多少種不同的分割方法？舉例說，設r = 5，n = 3，那麼正整數5便有2 + 0 + 3、1 + 1 + 3、3 + 1 + 1等多種分割法。
如何看出「不可區分的球」的分配問題與「整數分割」問題的對應關係？由於r是r個1的總和，我們可以把這些1看成r個「不可區分的球」，把r分割為n個非負整數的和就相當於把r個「不可區分的球」分配入n個盒子中，其中每個盒子所含的球數就是相應的非負整數。例如把5分割為2 + 0 + 3便相當於以下分配：[1,1]-[]-[1,1,1]，即把2個球放入第1個盒子，把3個球放入第3個盒子，並且讓第2個盒子空置。
正如「集合劃分」問題有「有序劃分」與「無序劃分」之分，「整數分割」問題也有「有序分割」與「無序分割」之別。「整數有序分割」(Composition of Integer)問題是指被分割出來的非負整數有次序之分，即1 + 1 + 3與3 + 1 + 1被視為兩種不同的「分割」。由於「整數分割」問題中的非負整數對應於「分配」問題中的盒子，因此「整數有序分割」問題便對應著「不可區分的球-可區分的盒子」的分配問題。而根據前面的討論，這種「分配」問題本身又對應著「組合」問題，由此可知「整數有序分割」問題與「組合」問題存在對應關係。因此我們可以運用有關「組合」問題的定理來解決某些「整數有序分割」問題。試看以下例題。
例題4：現要把5分割成3個有序的正整數(即大於0的非負整數)，問有多少種不同的分割方法？試列出所有「有序分割」方法。
答4：本題相當於從3類物件中抽5個出來的「組合」問題。由於「整數有序分割」問題中的非負整數對應於「組合」問題中的物件類別，本題相當於規定各類物件的「下限」為1。但我們在上面例題3已解決了這個問題，因此我們只需把n = 3，r = 5代入上面的公式(2)，便可求得答案為C(4, 2) = 4! / (2! × 2!) = 6。這6種「有序分割」為3 + 1 + 1、2 + 2 + 1、2 + 1 + 2、1 + 3 + 1、1 + 2 + 2、1 + 1 + 3。□
最後我們考慮「不可區分的球-不可區分的盒子」的分配問題。根據前面的對應關係，這類問題對應於「整數(無序)分割」問題(註4)。有些讀者看到這裡，可能想：這類問題是否也能歸結為我們以前介紹過的點算問題？但十分遺憾的是，這類問題對我們來說是全新的問題，而且不能用以前介紹過的方法來求解，因此我們將留待以後再探討這類問題。
至此我們已討論了各類「分配」問題與其他「點算組合學」問題的對應關係，現將這些對應關係整理成下表。下表每個方格顯示各類「分配」問題所對應的「點算組合學」問題：
| 可區分的盒子 | 不可區分的盒子 | |
|---|---|---|
| 可區分的球 | 「排列」問題 「集合有序劃分」問題 |
「集合(無序)劃分」問題 |
| 不可區分的球 | 「組合」問題 「整數有序分割」問題 |
「整數(無序)分割」問題 |
讀者應發覺上表存在著不對稱之處，例如「集合劃分」問題和「整數分割」問題都可分為「有序」和「無序」兩種，橫跨上表的兩欄；而「排列」問題和「組合」問題卻不能再細分，只佔據著上表的一欄。有些讀者可能會問，我們能否定義出新的「排列」和「組合」問題，從而使上表呈對稱性？筆者認為，這是可以做到的，方法是從前述「排列」和「組合」問題與「分配」問題的對應關係著手。
前面提過，把r個「可區分的球」分配入n個「可區分的盒子」的問題對應著從n類物件中抽r個出來排列的問題。現在如果我們把上述對應關係中的n個「可區分的盒子」換成n個「不可區分的盒子」，這將對應著一種甚麼樣的「排列」問題？為解答這個問題，我們首先重新考慮「不可區分的盒子」究竟是甚麼意思？前面提過，可以把「不可區分的盒子」理解為「沒有次序的盒子」。可是，物件的次序是可以隨意定的，只要在我們面前有n個盒子，我們便可以用手指著其中一個說：「這是1號盒子」，然後指著另一個說：「這是2號盒子」等等，從而為它們確定次序，把它們變成「可區分的盒子」。由此可見，我們可以為任何物件臨時確定一個次序，因此「可區分」與「不可區分」物件的真正差別，在於它們是否有固定的次序。因此，「不可區分的盒子」就是「沒有固定次序的盒子」。
現在回來解答前述的對應問題。根據前述，盒子的次序對應著物件類別的編號，所以「沒有固定次序的盒子」便對應著「沒有固定類別編號的物件」。以往我們在考慮「排列」問題時，總是假設被排列的物件有固定的類別名稱或編號，例如把它們稱為A、B、C或O1、O2、O3等，並用這些名稱或編號來表達某個具體的「排列」方案，例如A-C-B、O3-O1-O2等。當被排列的物件沒有固定的類別名稱或編號時，我們將以何種方式表達「排列」方案？這時我們只能為這些物件類別臨時給予一個編號。舉例說，假設我們要從3類沒有固定編號的物件中抽4個出來排序，那麼其中一個「排列」方案就是：把其中一類物件放在位置1和位置3，把另一類物件放在位置2，把第三類物件放在位置4。上句中的「其中一類」、「另一類」和「第三類」就是被排列物件的「臨時編號」，它們沒有固定的所指對象，可以次次不同。
總上所述，「可區分的球-不可區分的盒子」的分配問題對應著以下這種特殊的「排列」問題：現要從n類沒有固定編號的物件中抽r個出來排序，問有多少種不同排法？這種特殊的「排列」問題在「點算組合學」上沒有很多人研究，因而也沒有公認的名稱，因此筆者姑名之為「抽象排列」問題，以別於以往介紹的「排列」問題。
根據類推，我們知道「不可區分的球-不可區分的盒子」的分配問題對應著以下這種特殊的「組合」問題：現要從n類沒有固定編號的物件中抽r個出來，問有多少種不同抽法？筆者把這種問題稱為「抽象組合」問題，以別於以往介紹的「組合」問題。至此，我們可以對前面的表1作出修訂，從而得到以下這個對稱的表2：
| 可區分的盒子 | 不可區分的盒子 | |
|---|---|---|
| 可區分的球 | 「排列」問題 「集合有序劃分」問題 |
「抽象排列」問題 「集合(無序)劃分」問題 |
| 不可區分的球 | 「組合」問題 「整數有序分割」問題 |
「抽象組合」問題 「整數(無序)分割」問題 |