廣義量詞系列:單調性推理原理

1. 引言

筆者在《廣義量詞系列:現代推理模式》中介紹了「謂詞演算」,並指出這個形式系統具有嚴謹、明晰和表達力強的優點。事實上,這個形式系統(「命題演算」是其子系統)可概括古典形式邏輯中的所有有效推理格式。這是否代表現代數理邏輯已完全概括了所有推理模式?或者換句話說,除了形式系統的方法(指「自然演繹系統」或「公理系統」)外,我們是否無需再使用其他方法發掘新的推理格式?答案是否定的。

事實上,筆者在上述網頁中指出,一般的「謂詞演算」系統是不可判定的,這即是說不存在一套機械的「算法」,讓我們可以在有限步驟內判定任意給定的一個「合式公式」是否「謂詞演算」系統下的「定理」。以上所述還只是就著僅含有「全稱量詞」和「存在量詞」的「謂詞演算」系統而言的,對於包含「非經典量詞」的邏輯系統來說,其情況就更加複雜,這些系統更加是不可判定的。

上述結果非常重要,它意味著我們不能單靠「謂詞演算」的形式系統找到所有有效的推理格式。此一結果也意味著,推理不是機械、死板的過程,邏輯學家和語言學家仍有用武之地,繼續運用智慧發掘各種有效的推理格式。事實上,前面各章討論的對古典形式邏輯的革新,便是當代學者超越「謂詞演算」的框框,發掘「非經典量詞」的邏輯推理模式的嘗試。不過,這種超越仍是以古典形式邏輯的某些概念為藍本。隨著「廣義量詞理論」的興起,學者提出了某些跟邏輯推理直接相關的全新概念,為我們揭示了新型的推理模式。從本章開始,筆者將介紹這些新概念以及相關的推理,本章的主題是「單調性推理」(註1)。

2. 基本概念

2.1 單調性的定義

「單調性」(Monotonicity)是來自「數學分析」的概念。設有一函數f,它的定義域和值域都是「偏序集」(Partially Ordered Set)(這種集合的某些「元素對」(Element Pair)可以排序或比較大小,但並不一定任何兩個元素都可以排序或比較大小)。我們說f是「遞增」 (Increasing)的當且僅當若x ≤ y,則f(x) ≤ f(y);f是「遞減」(Decreasing)的當且僅當若x ≤ y,則f(x) ≥ f(y)(亦即f(y) ≤ f(x))。若f是「遞增」或「遞減」的,則稱f是「單調」(Monotonic)的,否則f是「非單調」(Non-Monotonic)的。「單調性」的實質是當「自變量」x增加時,「因變量」f(x)呈遞增或遞減之勢。「單調函數」的圖象呈現為一條從左到右遞增或遞減的曲線(註2)。舉例說,f(x) = x3就是「遞增」的,而f(x) = x2則是「非單調」的,因為當x < 0時,x2遞減,而當x > 0時,x2卻遞增(請參看下圖)。

我們可以把上述定義推廣應用於「<1,1>型量詞」。「<1,1>型量詞」在本質上是以兩個集合為論元並以真值({0, 1})為值的算子。假如我們只容許其中一個論元變化,而把另一個論元規定為常項,那麼便可以把「<1,1>型量詞」看成以集合為論元並以真值為輸出值的函項。根據上段「單調性」的定義,我們必須確保函項的定義域和值域均為「偏序集」。「<1,1>型量詞」的論元是集合,集合之間的序關係就是「母集」(Superset)與「子集」(Subset)之間的包含關係,所以某一論域下的「集合」構成一個「偏序集」。「<1,1>型量詞」的輸出值是真值0或1,這兩個值存在「天然」的序關係,即0 ≤ 0、0 ≤ 1、1 ≤ 1、1 ~≤ 0。請注意上述四個不等式與「命題邏輯」中「蘊涵」關係的真值表定義如出一轍:假 ⇒ 假、假 ⇒ 真、真 ⇒ 真、真 ~⇒ 假。因此只要把0和1分別看成假和真,那麼0與1之間的「≤」關係其實反映了假與真之間的「⇒」關係(套用數學上的專門術語就是,這兩種關係是「同構」Isomorphic的)。

現在我們可以仿照「數學分析」中函數單調性的定義來定義「<1,1>型量詞」的「單調性」。由於「<1,1>型量詞」有兩個論元,因此有兩種「單調性」。以下我們把「<1,1>型量詞」及其論元表達為「三分結構」Q(A)(B)的形式,並設A、A'、B和B'為集合。我們說「<1,1>型量詞」Q是「左遞增」(Left Increasing)的當且僅當

若A ⊆ A',則Q(A)(B) ⇒ Q(A')(B)     (1)

Q是「左遞減」(Left Decreasing)的當且僅當

若A' ⊆ A,則Q(A)(B) ⇒ Q(A')(B)     (2)

Q是「右遞增」(Right Increasing)的當且僅當

若B ⊆ B',則Q(A)(B) ⇒ Q(A)(B')     (3)

Q是「右遞減」(Right Decreasing)的當且僅當

若B' ⊆ B,則Q(A)(B) ⇒ Q(A)(B')     (4)

若Q是「左遞增」或「左遞減」的,則Q是「左單調」(Left Monotone)的;若Q不是「左單調」的,則Q是「左非單調」(Left Non-Monotone)的。我們可以把「左非單調」表達為:

存在A、A',使得A ⊆ A'並且Q(A)(B) ~⇒ Q(A')(B) ∧ Q(A')(B) ~⇒ Q(A)(B)     (5)

同理,我們亦可定義「右單調」(Right Monotone)和「右非單調」(Right Non-Monotone)的概念,後者可表達為:

存在B、B',使得B ⊆ B'並且Q(A)(B) ~⇒ Q(A)(B') ∧ Q(A)(B') ~⇒ Q(A)(B)     (6)

為簡潔地表達「<1,1>型量詞」的「左/右單調性」,我們使用符號「↑」、「↓」和「−」分別代表「遞增」、「遞減」和「非單調」,並把這些符號放在代號MON ("Monotonicity"的簡寫)的左/右邊,所得記號代表具有某種「左/右單調性」的「<1,1>型量詞」組成的集合。舉例說,↑MON↓便代表具有「左遞增、右遞減」性質的「<1,1>型量詞」組成的集合;而−MON↑則代表具有「左非單調、右遞增」性質的「<1,1>型量詞」組成的集合。接下來的工作就是把各種「<1,1>型量詞」歸類。

以下以"all"、"only"和"(exactly 2)"這三個量詞為例舉出具有不同「單調性」的量詞的推理實例(註3)。 "all" 和 "only"分別屬於↓MON↑和↑MON↓,它們在兩個論元上的單調方向剛好相反:

所有會員都穿T恤。 ⇒ 所有資深會員都穿T恤。
所有會員都穿紅色的T恤。 ⇒ 所有會員都穿T恤。
只有資深會員才會穿T恤。 ⇒ 只有會員才會穿T恤。
只有會員才會穿T恤。 ⇒ 只有會員才會穿紅色的T恤。

如果讀者覺得上面包含「只有」的例句難以理解,可以利用以下等值關係幫助理解:

只有會員才會穿T恤。 ⇔ 如非會員,就不會穿T恤。

"(exactly 2)"則屬於−MON−,以下無效推理可說明這個量詞的「非單調性」:

剛好兩名資深會員穿T恤。 ~⇒ 剛好兩名會員穿T恤。
剛好兩名會員穿T恤。 ~⇒ 剛好兩名資深會員穿T恤。
剛好兩名會員穿紅色的T恤。 ~⇒ 剛好兩名會員穿T恤。
剛好兩名會員穿T恤。 ~⇒ 剛好兩名會員穿紅色的T恤。

2.2 否定對單調性的影響

Hoeksema在Monotonicity Phenomena in Natural Language一文中討論了「單調性」現象,他特別討論到「否定」對「單調性」的影響,並嘗試總結出一般規律;但他沒有從數學上對這些規律作出證明,而且他的表述也是非形式的,概括性也不高。本文繼承並改進Hoeksema的工作,以下將利用集合論和數理邏輯的定理總結出「否定」對量詞「單調性」的影響。

在「三分結構」Q(A)(B)的框架下,我們可以在三個層面(Q、A和B)進行否定。首先考慮對主語A的否定(以下稱為「左論元否定」)。根據集合論,我們知道

A ⊆ A' ⇔ ~A' ⊆ ~A

由此可見,「左論元否定」把主語的包含關係顛倒了。因此如果Q是「左遞增」的,那麼根據上面的(1),我們有

若A ⊆ A',則Q(~A')(B) ⇒ Q(~A)(B)

上述結果顯示,「左論元否定」把Q原來的「左遞增性」變為「左遞減性」(註4)。同理,容易推斷,如果Q是「左遞減」的,那麼「左論元否定」會把Q原來的「左遞減性」變為「左遞增性」。如果Q是「左非單調」的,那麼根據上面的(5),我們有

存在A、A',使得A ⊆ A'並且Q(~A')(B) ~⇒ Q(~A)(B) ∧ Q(~A)(B) ~⇒ Q(~A')(B)

上述結果顯示,「左論元否定」不影響Q的「左非單調性」。由於上述否定不涉及「右論元」,所以對Q的「右單調性」沒有影響。以下以"all"和"(exactly 2)"為例驗證上述結果:

所有非資深會員都穿T恤。 ⇒ 所有非會員都穿T恤。
所有非會員都穿紅色的T恤。 ⇒ 所有非會員都穿T恤。
剛好兩名非資深會員穿T恤。 ~⇒ 剛好兩名非會員穿T恤。
剛好兩名非會員穿T恤。 ~⇒ 剛好兩名非資深會員穿T恤。

其次考慮對謂語B的否定(以下稱為「右論元否定」)。容易看到,這種情況跟「左論元否定」剛好相反,即只把謂語的包含關係顛倒了,因此如果Q是「右遞增/減」的,「右論元否定」會把Q原來的「右遞增/減性」變為「右遞減/增性」。如果Q是「右非單調」的,那麼「右論元否定」不會影響Q的「右非單調性」。由於上述否定不涉及「左論元」,所以對Q的「左單調性」沒有影響。以下以"all"和"(exactly 2)"為例驗證上述結果:

所有會員都不穿T恤。 ⇒ 所有會員都不穿紅色的T恤。
所有會員都不穿T恤。 ⇒ 所有資深會員都不穿T恤。
剛好兩名會員不穿紅色的T恤。 ~⇒ 剛好兩名會員不穿T恤。
剛好兩名會員不穿T恤。 ~⇒ 剛好兩名會員不穿紅色的T恤。

最後考慮對算子(即量詞) Q的否定(以下稱為「算子否定」)。這種情況相當於對全句進行否定,所以同時涉及兩個論元。設Q是「左遞減、右遞增」的,那麼根據「命題邏輯」中的「否定後件律」,上面的(2)和(3)分別變為

若A' ⊆ A,則~Q(A')(B) ⇒ ~Q(A)(B)
若B ⊆ B',則~Q(A)(B') ⇒ ~Q(A)(B)

上述結果顯示~Q是「左遞增、右遞減」的,即「算子否定」相當於對Q的兩個論元同時進行否定,其結果是把原來的左、右單調方向都顛倒了。以下以"all"為例驗證上述結果:

並非所有資深會員都穿T恤。 ⇒ 並非所有會員都穿T恤。
並非所有會員都穿T恤。 ⇒ 並非所有會員都穿紅色的T恤。

如果Q是「左、右非單調」的,那麼根據「否定後件律」,上面的(5)和(6)分別變為

存在A、A',使得A ⊆ A'並且~Q(A')(B) ~⇒ ~Q(A)(B) ∧ ~Q(A)(B) ~⇒ ~Q(A')(B)
存在B、B',使得B ⊆ B'並且~Q(A)(B') ~⇒ ~Q(A)(B) ∧ ~Q(A)(B) ~⇒ ~Q(A)(B')

上述結果顯示~Q也是「左、右非單調」的,即「算子否定」不影響Q的「左、右非單調性」,驗證的例子從略。我們還可以考察「算子否定」對其他具有各種左、右「單調性」組合的量詞的影響,這裡不擬一一詳述。

在某些情況下,我們可以對同一句進行一種以上的否定,以下讓我們來看不同否定可能對某句的「單調性」產生的「合力」。在這裡我們需要用到一條類似正負數乘法規律的「多重否定律」:偶數次否定相當於取消否定,奇數次否定則相當於一次否定。設Q是「左遞減、右遞增」的,現在我們對語句「Q(A)(B)」同時進行「算子否定」和「右論元否定」(即變成「~Q(A)(~B)」)。由於「算子否定」同時影響兩個論元而「右論元否定」則只影響「右論元」,上述兩種否定的「合力」相當於對「左論元」和「右論元」分別進行了一次和兩次否定,其結果是原來的「左遞減、右遞增」變成「左遞增、右遞增」。以下以"all"為例驗證上述結果:

並非所有資深會員都不穿T恤。 ⇒ 並非所有會員都不穿T恤。
並非所有會員都不穿紅色的T恤。 ⇒ 並非所有會員都不穿T恤。

如果Q有某一個論元是「非單調」的,那麼根據以上的討論,容易看到無論我們對Q進行多少重否定,都不會影響該論元的「非單調性」,驗證的例子從略。

現在讓我們總結一下上文所得的結果:對於具有「遞增性/遞減性」的論元而言,否定詞會改變該論元的單調方向,其影響範圍視乎否定是在哪一層面進行。「左/右論元否定」是「局部否定」,它們只會改變所在「否定域」(即「左/右論元」)的單調方向。「算子否定」則是「全盤否定」,它同時影響兩個論元的單調方向。若某論元同時受到多重否定,其最終單調方向由「多重否定律」決定。對於具有「非單調性」的論元而言,則無論是進行哪一種否定和多少重否定,都不會影響該論元的「非單調性」。

2.3 單調性的疊加

從上面的討論中可以看到,每個「<1,1>型量詞」都有左、右兩種「單調性」。這兩種「單調性」雖然並無必然的聯繫,但它們卻可以「疊加」(Superposition),這裡「疊加」的意思是指不同來源的「單調性」可同時作用於一個語句。舉例說,由於"all" ∈ ↓MON↑,我們可以把語句「all(A)(B)」中的A和B分別換成它們的真子集A'和真母集B',並得到以下的正確推理模式:

all(A)(B) ⇒ all(A')(B')

例如以下顯然是正確的推理:

所有會員都穿紅色的T恤。 ⇒ 所有資深會員都穿T恤。

「單調性」的「疊加」還表現為,當用連詞"and" (或其變體"but")或"or"把量詞並列起來時,各並列項會產生某種「合力」。我們首先考慮由"and"連接的「並列量詞」,我們把這類量詞的真值條件定為:

(Q and Q')(A)(B) ⇔ Q(A)(B) ∧ Q'(A)(B)

根據上面的(1)以及上述定義,上述「並列量詞」是「左遞增」的當且僅當對任何A、A'、B,

若A ⊆ A',則Q(A)(B) ∧ Q'(A)(B) ⇒ Q(A')(B) ∧ Q'(A')(B)     (7)

容易看到,如果Q和Q'都是「左遞增」的,那麼上式顯然成立,即(Q and Q')也是「左遞增」的。現設Q是「左遞增」,Q'是「左遞減」的,並設Q(A)(B) ∧ Q'(A)(B),那麼由於Q'的「左遞減性」,必有A' ⊇ A使得~Q'(A')(B) (否則對所有A而言,Q'(A)(B)都真)。由此證得~((Q(A')(B) ∧ Q'(A')(B)),即(Q and Q')不是「左遞增」的。同理易證(Q and Q')也不是「左遞減」的,即(Q and Q')是「左非單調」的。

其次考慮由"or"連接的「並列量詞」。類似(7),這類量詞是「左遞增」的當且僅當對任何A、A'、B,

若A ⊆ A',則Q(A)(B) ∨ Q'(A)(B) ⇒ Q(A')(B) ∨ Q'(A')(B)     (8)

容易看到,如果Q和Q'都是「左遞增」的,那麼上式顯然成立,即(Q or Q')也是「左遞增」的。現設Q是「左遞增」,Q'是「左遞減」的,並設~(Q(A')(B) ∨ Q'(A')(B)),即~Q(A')(B)並且~Q'(A')(B)。由於Q'的「左遞減性」,必有A ⊆ A'使得Q'(A)(B) (否則對所有A而言,Q'(A)(B)都假)。至此我們找到A、A'使得A ⊆ A'並且Q(A)(B) ∨ Q'(A)(B),但~(Q(A')(B) ∨ Q'(A')(B)),即(Q or Q')不是「左遞增」的。同理易證(Q or Q')也不是「左遞減」的,即(Q or Q')是「左非單調」的。

我們可以把以上推理推廣至各種其他論元的情況,並從而總結出:如果Q和Q'在某一論元上具有相同的單調方向,那麼由這兩個量詞組成的「並列量詞」在該論元上也具有該單調方向;如果在某一論元上,Q和Q'具有相反的單調方向,那麼由這兩個量詞組成的「並列量詞」在該論元上必是「非單調」的。根據以上結果,容易推斷「並列量詞」"(all and only)"是「左、右非單調」的。

3. 基本量詞的單調性

3.1 "some"、"no"、"all"和"only"

接下來筆者將證明各種「<1,1>型量詞」的「單調性」。在以下的討論中,我們將要多次用到《廣義量詞系列:三段論推理的革新》中的「定理1」。為方便讀者,現把該定理重述於下:

定理1設A ⊆ B,則對任何集合C和實數n而言,
 (1)|C ∩ A| >(≥) n ⇒ |C ∩ B| >(≥) n
 (2)|C ∩ B| <(≤) n ⇒ |C ∩ A| <(≤) n
 (3)|C ∩ A| ≤ |C ∩ B|

我們首先考察"some",由於some(A)(B)可以表達為|A ∩ B| > 0,因此給定B ⊆ B',根據「定理1(1)」,容易推得

some(A)(B) ⇒ some(A)(B')

由此可知,"some"是「右遞增」的。根據「∩」運算的交換性,我們同樣可以在給定A ⊆ A'的條件下應用定理1(1)推得

some(A)(B) ⇒ some(A')(B)

上式證明了"some"是「左遞增」的。綜合以上結果,我們得到

some ∈ ↑MON↑

根據"some"的「左、右單調性」,我們可以確定"no"的「左、右單調性」,這是因為"no"在邏輯上等同於"~some"。根據前述「算子否定」對「單調性」的影響,我們有

no ∈ ↓MON↓

接著研究"all"的「單調性」。由於all(A)(B)可以表達為A ⊆ B,因此給定B ⊆ B',根據「⊆」的傳遞性,容易推得

all(A)(B) ⇒ all(A)(B')

由此可見,"all"是「右遞增」的。其次,從A ⊆ A',亦容易推得

all(A')(B) ⇒ all(A)(B)

由此可見,"all"是「左遞減」的。綜合以上結果,我們得到

all ∈ ↓MON↑

我們還可以從另一個角度解釋"all"的單調性。首先,我們可以把「遞增性」看成某種「無標記」的性質:不含否定詞(以及「非單調量詞」)的語句的各個論元都具有「遞增性」,「some(A)(B)」就是這種語句的典型例子。其次,「all(A)(B)」等同於「~some(A)(~B)」,而且「算子否定」同時影響兩個論元的「單調性」,而「右論元否定」則只影響「右論元」的「單調性」。根據「多重否定律」,「~some(A)(~B)」中的「右論元」B受到兩次否定,結果它仍然是「遞增」的;而「左論元」A則只受到一次否定,因此變成「遞減」的。由此我們可以把"all"看成某種「左論元否定詞」,它的「否定域」只及於「左論元」,這就可解釋為何"all"是「左遞減、右遞增」的。

接著研究"only"的「單調性」。由於"only"是"all"的逆向反義詞,而論元A和B在這兩個量詞下的角色剛好相反,容易推斷"only"的「單調性」應該跟"all"剛好相反。具體地說,我們應有

only ∈ ↑MON↓

總上所述,"only"跟"all"很相似,可以看成一種「右論元否定詞」。

3.2 數量比較詞與例外量詞

接著研究「數量比較詞」的「單調性」,首先考慮"(more than n)"、"(at least n)"和"(an infinite number of)"。容易看到,"(more than n)"的集合論定義跟前述"some"的定義非常相似。試比較:

some(A)(B) ⇔ |A ∩ B| > 0
(more than n)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| > n

由此可見,"some"其實只是"(more than n)"的特例,因此"(more than n)"的「單調性」也能根據「定理1(1)」得出。同理,由於只要把"(more than n)"的集合論定義中的「>」和「n」分別換為「≥」和「aleph0」便可得到"(at least n)"和"(an infinite number of)"的定義,而「定理1(1)」同樣適用於把「>」和「n」分別換為「≥」和「aleph0」的情況,所以"(at least n)"和"(an infinite number of)"的「單調性」也能根據「定理1(1)」得出,即

(more than n), (at least n), (an infinite number of) ∈ ↑MON↑

上段結果顯示,上述三個「數量比較詞」的「單調性」與"some"完全相同。由於"(at most n)"、"(fewer than n)"和"(a finite number of)"在邏輯上分別等同於上述三個「數量比較詞」的否定,我們可以推斷"(at most n)"等三個量詞的「單調性」也應與"no"完全相同,即

(fewer than n), (at most n), (a finite number of) ∈ ↓MON↓

上述的數量比較都是絕對數量的比較,當涉及相對數量的比較時,情況便有所不同。試看以下推理:

多數會員穿T恤。 ~⇒ 多數資深會員穿T恤。
多數資深會員穿T恤。 ~⇒ 多數會員穿T恤。
多數會員穿紅色的T恤。 ⇒ 多數會員穿T恤。

容易設想一個情況來證明上述第一個推理的無效性。設有100名會員,其中10名是資深會員,其餘90名都是普通會員。在這10名資深會員中只有4個穿T恤,而在90名普通會員中卻有80個穿T恤。這樣,上述第一個推理的前件是成立的(因為共有84名會員穿T恤),而後件卻是不成立的(因為只有4名資深會員穿T恤)。同理也容易設想一個情況來證明上述第二個推理的無效性,至於第三個推理的有效性則是顯而易見的。以上例子顯示

(a majority of) ∈ −MON↑

如何解釋上述這種不對稱現象?答案仍需從"(a majority of)"的真值條件中尋:

(a majority of)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| / |A| > 0.5 ⇔ |A ∩ B| > 0.5|A|

在上式中,當我們把B換成其真母集B'時,|A|不受影響,因此0.5|A|保持不變。另一方面,根據定理1(1),可以推得|A ∩ B'| > 0.5|A|,即|A ∩ B'| / |A| > 0.5,由此證得"(a majority of)"的「右遞增性」。但是當我們把A換成其真母集或真子集A'時,|A|變成|A'|,這時就不能從|A ∩ B| / |A| > 0.5推得|A' ∩ B| / |A'| > 0.5,結果造成"(a majority of)"的「左非單調性」。如果我們把上述集合論表達式中的「>」和「0.5」分別換成「≥」和任意分數q,上述推導仍然成立。由此我們得到以下結果:

(more than q), (at least q) ∈ −MON↑

由於"(a majority of)"等量詞的否定在邏輯上等同於"(a minority of)"等量詞,我們有以下結果:

(a minority of), (less than q), (at most q) ∈ −MON↓

含有相等語義的量詞一般都具有「左、右非單調性」。以下列出四個含有相等語義的「數量比較詞」的真值條件:

(exactly n)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| = n (n為自然數)
(exactly q)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| = q|A| (q為分數)
(an even number of)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| = 2k (k為任意正整數)
(an odd number of)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| = 2k − 1 (k為任意正整數)

由於

|A ∩ B| = x ⇔ |A ∩ B| ≥ x ∧ |A ∩ B| ≤ x

我們看到上述量詞都可以分析成由兩個具有相反單調方向的量詞組成的「並列量詞」(例如"(exactly n)")便等同於"(at least n and at most n)"),因此根據2.3小節的討論,我們應有以下結果:

(exactly n), (exactly q), (an even number of), (an odd number of) ∈ −MON−

「例外量詞」也有類似的真值條件:

(all except n)(A)(B) ⇔ |A − B| = n
(all except q)(A)(B) ⇔ |A − B| = q|A|
(all except John)(A)(B) ⇔ A − B = {j}
(no except John)(A)(B) ⇔ A ∩ B = {j}

由於

|A − B| = x ⇔ |A ∩ ~B| ≥ x ∧ |A ∩ ~B| ≤ x
A − B = {j} ⇔ A ∩ ~B ⊇ {j} ∧ A ∩ ~B ⊆ {j}
A ∩ B = {j} ⇔ A ∩ B ⊇ {j} ∧ A ∩ B ⊆ {j}

由此可見「例外量詞」也可分析成「並列量詞」,而且論元A和B在這些「並列量詞」的兩個並列項中剛好具有相反的單調方向(註5),由此可以推斷「例外量詞」應有以下結果:

(all except n), (all except q), (all except John), (no except John) ∈ −MON−

接著讓我們考慮結構較複雜的量詞:"(between m and n)"、"(more than m but fewer than n)"、"(at least n or at most m)"和"(more than n or fewer than m)" (以上均假設n > m)。由於"(between m and n)"實質上等同於"(at least m and at most n)",而"(at least xxx)" / "(more than xxx)"在左、右單調方向上都與"(at most xxx)" / "(fewer than xxx)"剛好相反,上述四個量詞都是由單調方向相反的並列項組成的「並列連詞」。根據2.3小節的討論,我們應有以下結果:

(between m and n), (more than m but fewer than n),
(at least n or at most m), (more than n or fewer than m) ∈ −MON−

3.3 有定限定詞與部分格結構

筆者在《廣義量詞系列:基本單式量詞》中介紹了「有定限定詞」(包括筆者在《廣義量詞系列:特殊單式量詞》中介紹的「領屬限定詞」)和「部分格結構」,這兩種量詞的共同點是它們的真值條件都包含「預設」,因此在判斷這些量詞的「單調性」時,須一併考慮它們的「預設」。

根據上述網頁,大多數「有定限定詞」都含有"all"的語義("neither"除外),所以這些量詞的「單調性」都應與"all"相似,即具有↓MON↑的性質。但由於這些量詞的「預設」大多表現為等式(註6),當把「左論元」A換為其真子集A'時,這些等式不再成立,所以這些量詞大多具有「左非單調性」。不過,由於這些「預設」只涉及A,對「右論元」B並無影響,所以這些量詞跟"all"一樣具有「右遞增性」。舉例說,「領屬限定詞」"John's"的「預設」為|OWNj ∩ A| = 1,當我們把A換為其真子集A'時,在一般情況下,OWNj ∩ A' = Φ,因而|OWNj ∩ A'| = 0,上述「預設」不再成立,因此"John's"是「左非單調」的。另一方面,由於"John's"的真值條件是

John's(A)(B) ⇔ OWNj ∩ A ⊆ B

跟"all"非常相似,因此給定B ⊆ B',必有

John's(A)(B) ⇒ John's(A)(B')

因此"John's"是「右遞增」的。上述推理亦適用於其餘大多數「有定限定詞」。至於"neither",由於其真值條件與"no"非常相似,容易推斷"neither"是「右遞減」的。此外,由於"neither"的「預設」也表現為等式|X ∩ A| = 2,容易推斷"neither"是「左非單調」的。綜合以上討論,我們有以下結果:

John's, the, (the n), both ∈ −MON↑
neither ∈ −MON↓

「部分格結構」的「預設」則全部具有|X ∩ A| = n的形式,即表現為一個涉及A的等式,因此「部分格結構」都是「左非單調」的。事實上,「部分格結構」所表達的其實也是相對數量,所以根據3.2小節的分析,這些量詞具有「左非單調性」是不足為奇的。至於「右單調性」,由於「部分格結構」都具有"(Q of the n)"的形式(其中Q為「<1,1>型量詞」),我們可以根據Q的「右單調性」推導「部分格結構」的「右單調性」。舉例說,由於"(some of the)"的真值條件跟"some"非常相似,容易推斷這個量詞是「右遞增」的,其他「部分格結構」的「右單調性」也可循上述方法推導出來。以下列出各個「部分格結構」的「單調性」:

(some of the n), (all of the n), (more than m of the n) ∈ −MON↑
(none of the n), (fewer than m of the n) ∈ −MON↓
(exactly m of the n), (between l and m of the n), (more than l but fewer than m of the n),
(at least m or at most l of the n), (more than m or fewer than l of the n) ∈ −MON−

4. 模糊量詞的單調性

4.1 確定模糊量詞單調性的一般原理

我們可以把「單調性推理」推廣到各種「<1,1>型模糊量詞」。不過,由於包含「模糊量詞」的語句是在區間[0, 1]上取真值而非只0、1這兩個真值,我們須對「模糊量詞」的「單調性」定義作如下修改:「<1,1>型模糊量詞」Q是「左遞增」的當且僅當對任何集合A、B、A'而言,

若A ⊆ A',則μ[TRUTH](Q(A)(B)) ≤ μ[TRUTH](Q(A')(B))

由於模糊量化句的真值取決於某個「參項」值隸屬「模糊量詞」的程度,我們可以把上述定義進一步修改為:「<1,1>型模糊量詞」Q是「左遞增」的當且僅當對任何集合A、B、A'而言,

若A ⊆ A',則μ[Q](x) ≤ μ[Q](x')

其中x和x'分別為對應於Q(A)(B)和Q(A')(B)的「參項」。請注意上述定義跟《廣義量詞系列:直接推理的革新》中的公式(2)有相同的形式。對於「模糊量詞」的「左遞減性」、「左非單調性」、「右遞增性」、「右遞減性」和「右非單調性」,也可作出類似的定義。

接著筆者介紹確定「模糊量詞」的「單調性」的一般原理,以下以"(at least several)"為例作出說明。由於語句「(at least several)(A)(B)」的真值取決於|A ∩ B|符合"(at least several)"的程度,所以對應於「(at least several)(A)(B)」和「(at least several)(A')(B)」的「參項」應分別為|A ∩ B|和|A' ∩ B|。為方便以下討論,以下把"(at least several)"的「隸屬度函數」定為

 0,if 0 ≤ x ≤ 1
μ[(at least several)](x) = (x − 1) / 3,if 1 ≤ x ≤ 4
 1,if x ≥ 4

以下是上述函數的圖象:

以上圖象顯示,"(at least several)"的「隸屬度函數」是遞增函數,即

x ≤ x' ⇒ μ[(at least several)](x) ≤ μ[(at least several)](x')

另外,根據「定理1(3)」,若A ⊆ A',則|A ∩B| ≤ |A' ∩ B|。把|A ∩ B|和|A' ∩ B|分別代入上式中的x和x',便得

若A ⊆ A',則μ[(at least several)](|A ∩B|) ≤ μ[(at least several)](|A' ∩B|)

上式正是「左遞增性」的定義,由此我們證明了"(at least several)"是「左遞增」的,同理亦易證"(at least several)"是「右遞增」的。

上段討論給予我們一個重要啟示,「模糊量詞」Q的「單調性」的其中一個決定因素是其「隸屬度函數」的「單調性」。由此可以推斷,假如Q的「隸屬度函數」是非單調函數,那麼Q必然是「左、右非單調」量詞。舉例說,筆者在《廣義量詞系列:特殊單式量詞》中曾經介紹「模糊算子」"(about 80)",其圖象如下:

上述圖像顯示,"(about 80)"的「隸屬度函數」是非單調函數,由此可知這個量詞屬於−MON−。

但以上所述只是「模糊量詞」具有「左、右非單調性」的「充分條件」,而非「必要條件」。換句話說,某些「模糊量詞」的「隸屬度函數」儘管是單調函數,但這些「模糊量詞」仍可能在某一論元上具有「非單調性」,以下以"(a very large proportion of)"為例作出說明,這個量詞的圖象是下圖中的紅色線條:

上述圖象顯示"(a very large proportion of)"的「隸屬度函數」是遞增函數,即

x ≤ x' ⇒ μ[(a very large proportion of)](x) ≤ μ[(a very large proportion of)](x')

由於"(a very large proportion of)"表達相對數量,對應於「(a very large proportion of)(A)(B)」和「(a very large proportion of)(A')(B)」的「參項」應分別為|A ∩ B| / |A|和|A' ∩ B| / |A'|。請注意由於上述兩個「參項」各有不同的「分母」,我們不能從A ⊆ A'推得|A ∩ B| / |A| ≤ |A' ∩ B| / |A'|,因而不能把這兩個「參項」代入上式中的x和x'從而推出"(a very large proportion of)"的「左遞增性」。事實上,"(a very large proportion of)"跟前面3.3小節討論的相對數量量詞一樣是「左非單調」的,我們容易構造一個反例來證明這一點。設某會共有50名會員,其中10人是資深會員,其餘40人是普通會員。在某次活動中,9名資深會員穿T恤,其餘1名資深會員和40名普通會員都不穿T恤。現在如果設定A、A'和B分別為「資深會員」、「會員」和「穿T恤者」的集合,那麼我們有|A ∩ B| / |A| = 9 / 10 = 0.9,|A' ∩ B| / |A'| = 9 / 50 = 0.18。從上圖可以看到,

μ[(a very large proportion of)](|A ∩ B| / |A|) ~≤ μ[(a very large proportion of)](|A' ∩ B| / |A'|)

上述反例說明"(a very large proportion of)"不是「左遞增」的;同理我們也可以構造另一個反例來證明"(a very large proportion of)"也不是「左遞減」的,因此"(a very large proportion of)"是「左非單調」的。不過,"(a very large proportion of)"卻是「右遞增」的,其證明方法跟前文證明"(at least several)"的「左遞增性」一樣。

至此我們證明了一個非常重要的結果,「模糊量詞」往往跟具有相似性質的「非模糊量詞」具有相同的「單調性」,例如"(at least several)"跟"(at least 2)"一樣屬於↑MON↑;"(about 80)"跟"(exactly 80)"一樣屬於−MON−;而"(a very large proportion of)"則跟"(a majority of)"一樣屬於−MON↑。由此亦可推斷,「模糊量詞」"(much fewer than n)"應跟"(fewer than n)"一樣屬於↓MON↓。

由此可見,儘管「模糊量詞」不表達固定的數值,但這無礙於對其「單調性」的研究,這是因為這些量詞的「單調性」往往取決於它們究竟是含有"at least" / "more than"、"at most" / "fewer than"還是"about"等意義,以及它們究竟是表達絕對數量還是相對數量,而跟具體的數值無關,這一點就正如"(more than 2)"和"(more than a billion)"同屬↑MON↑一樣,儘管數值2與1,000,000,000差距很大。

4.2 "(almost all)"、"(nearly only)"和"(almost no)"

在上文3.3小節,筆者曾指出表達相對數量的量詞一般都具有「非單調性」。不過,此一論斷卻存在例外情況,那就是量詞為"all"、"only"和"no"的情況。從某一角度看,上述三個量詞都可算作表達相對數量,因為它們的真值條件可表達為:

all(A)(B) ⇔ |A ∩ B| / |A| = 1
only(A)(B) ⇔ |A ∩ B| / |B| = 1
no(A)(B) ⇔ |A ∩ B| / |A| = 0

根據上式,由於"all"、"only"和"no"的真值條件的分母為|A|或|B|,這三個量詞應分別呈「左非單調性」、「右非單調性」和「左非單調性」。可是事實卻不是如此,這如何解釋?這是由於這三個量詞各自表達了某種「極端情況」,並非單純表達相對數量。我們知道,「all(A)(B)」可表達為A ⊆ B。根據集合論的定理,我們由此得A ∩ B = A,這樣便保證了|A ∩ B| / |A| = |A| / |A| = 1。當我們把A換成其真子集A'時,得A' ⊆ B和A' ∩ B = A',這同樣保證了|A' ∩ B| / |A'| = |A'| / |A'| = 1,因此"all"並不因表達相對數量而具有「左非單調性」。同理亦可證明為何"only"和"no"不具備「非單調性」。

十分有趣的是,當我們在這三個量詞前加上"almost"或"nearly"後,它們便不再表達「極端情況」,從而像其他表達相對數量的量詞那樣呈現「非單調性」。以下筆者將舉出一些例子證明這三個量詞在「模糊化」後的「非單調性」。首先,根據3.2小節,"all"是「左遞減」的,因此"(almost all)"不可能是「左遞增的」,以下推理顯示"(almost all)"也不是「左遞減」的:

幾乎所有會員都穿T恤。 ~⇒ 幾乎所有資深會員都穿T恤。

我們可以設想一個情況來證明以上推理的無效性。設某會共有100名會員,其中98名是普通會員,全部都穿T恤,其餘兩名資深會員則沒有一個穿T恤。在這情況下,「幾乎所有會員都穿T恤」的真值顯然高於「幾乎所有資深會員都穿T恤」的真值。

其次,根據3.2小節,"only"是「右遞減」的,因此"(nearly only)"不可能是「右遞增」的,以下推理顯示"(nearly only)"也不是「右遞減」的:

幾乎只有會員才穿T恤。 ~⇒ 幾乎只有會員才穿紅色的T恤。

下列情況可證明以上推理的無效性。設在某活動中共有100人穿T恤,其中98個是某會的會員,他們所穿的T恤全都不是紅色的,其餘兩名非會員的T恤則都是紅色的。在這情況下,「幾乎只有會員才穿T恤」的真值顯然高於「幾乎只有會員才穿紅色的T恤」的真值。

最後,根據3.1小節,"no"是「左遞減」的,因此"(almost no)"不可能是「左遞增」的,以下推理顯示"(almost no)"也不是「左遞減」的:

幾乎沒有會員穿T恤。 ~⇒ 幾乎沒有資深會員穿T恤。

下列情況可證明以上推理的無效性。設某會共有100名會員,其中98名是普通會員,全部都不穿T恤,其餘兩名資深會員則都穿T恤。在這情況下,「幾乎沒有會員穿T恤」的真值顯然高於「幾乎沒有資深會員穿T恤」的真值。

在以上的討論中,筆者證明了上述三個量詞在某一論元上的「非單調性」。至於另一論元,則分別跟"all"、"only"和"no"的相應論元具有相同的「單調性」,這裡不再作詳細論證。綜合以上討論,我們有以下結果:

(almost all) ∈ −MON↑
(nearly only) ∈ ↑MON−
(almost no) ∈ −MON↓

4.3 「模糊量詞」的無標記和有標記語義

在4.1小節,筆者討論了確定「模糊量詞」的「單調性」的一般原理。可是,由於在日常語言中,某些「模糊量詞」存在歧義,因而造成某些複雜情況。在本小節和下一小節,筆者將討論「模糊量詞」語義上的某些複雜情況。

筆者在《廣義量詞系列:基本單式量詞》中曾指出,我們假定表達數量的量詞在「無標記」情況下表達「≥」關係,但當這些量詞帶有"exactly"、"only"、"except"、"not"等修飾語或介詞時,它們的語義便變成「有標記」的,不再表達「≥」關係,以上假定亦適用於「模糊量詞」。不過由於自然語言一般都是透過在「非模糊量詞」前後加上某些修飾語以構造「模糊量詞」,所以「模糊量詞」大多是「有標記」的(除非該「模糊量詞」是以"at least"作為修飾語)。據筆者了解,只有少數幾個不含修飾語的「模糊量詞」,包括"several"、"(a number of)"、"(a few)"等(註7),因此這些量詞的語義都是「無標記」的,即表達「≥」關係,因而有以下結果:

several, (a number of), (a few) ∈ ↑MON↑

不過,當我們在這些量詞前加上前述的修飾語後,這些量詞的語義便變成「有標記」的,其「單調性」也相應地受到影響,例如在這些量詞前加上"only"後,所得量詞的「隸屬度函數」將呈「鈴形」(Bell-Shaped)(即上面"(about 80)"的「隸屬度函數」的形狀),因而具有「左、右非單調性」,即:

(only several), (only a number of), (only a few) ∈ −MON−

除了上述含"only"的「模糊量詞」外,自然語言中還有多種類型的複合「模糊量詞」,每種類型在「單調性」方面各有其特點,以下逐一介紹。第一種類型包括"(about / approximately x)"、"(nearly / almost x)"、"(10n odd / or so)"等,其中x既可以是自然數,也可以是區間[0, 1]內的分數;n則代表自然數,10n的意思是指10的倍數,請注意"odd"和"or so"只可加在表示10的倍數的自然數後,例如"(20 odd)"、"(3000 or so)"等。以上這些「模糊量詞」都表達在某一確切數值附近的數值,其「隸屬度函數」呈「鈴形」,因此這些「模糊量詞」都具有「左、右非單調性」,即:

(about / approximately x), (nearly / almost x), (10n odd / or so) ∈ −MON−

第二種類型包括"(slightly more than n)"、"(slightly more than q)"、"(slightly fewer than n)"和"(slightly less than q)",其中n和q分別代表自然數和區間[0, 1]內的分數。這些「模糊量詞」跟第一類複合「模糊量詞」非常相似,也是表達某一確切數值附近的數值,所不同者是第一類複合「模糊量詞」是對稱的,而這些「模糊量詞」則是不對稱的,例如"(about 80)"大致上包含78-82之間的整數,即相對於80來說是對稱的;而"(slightly more than 80)"則只包含81-82之間的整數,即全部分佈在80的某一側。基於與第一類複合「模糊量詞」的相似性,第二類複合「模糊量詞」也具有「左、右非單調性」,即:

(slightly more than n), (slightly more than q), (slightly fewer than n), (slightly less than q) ∈ −MON−

第三種類型包括"(far more than n)"、"(far fewer than n)"、"(much more than q)"和"(much less than q)",其中n和q分別代表自然數和區間[0, 1]內的分數。儘管此一類型與第二類複合「模糊量詞」只是一詞之差,但兩者有很大差別。跟第二類複合「模糊量詞」不同,這些「模糊量詞」表示的數值並不只限於某一數值的鄰近範圍,而是涵蓋某一數值以上或以下的整個範圍。以"(far more than 80)"為例,如果某個自然數n屬於這個量詞涵蓋的範圍,那麼比n大的任何自然數也都屬於這個範圍。由此可見,這些「模糊量詞」的「隸屬度函數」應呈「遞增性」或「遞減性」,因此這些「模糊量詞」的「單調性」應與"(more than n)"、"(fewer than n)"等相同,即:

(far more than n) ∈ ↑MON↑
(far fewer than n) ∈ ↓MON↓
(much more than q) ∈ −MON↑
(much less than q) ∈ −MON↓

第四種類型包括"(a large number of)"、"(a small number of)"、"(a large proportion of)"和"(a small proportion of)",前兩個表達絕對數量,後兩個表達相對數量,以下首先討論前兩個量詞。跟前述的"(far more than n)"和"(far fewer than n)"相似,"(a large number of)"和"(a small number of)"表示的數值也涵蓋某一數值以上或以下(不包括0)的整個範圍。請注意"(a small number of)"的情況較為特殊,根據這個量詞的通常語義,如果某個自然數n屬於這個量詞涵蓋的範圍,那麼比n小的大多數自然數都屬於這個範圍,但有一個例外,就是0不屬於這個範圍,這是因為"(a small number of)"儘管代表很小的數目,但這個數目仍須大於0。因此,我們可以把"(a small number of)"的「單調性」確定為「有條件的左、右遞減性」,即這個量詞滿足以下條件:

若A' ⊆ A並且A' ∩ B ≠ Φ,則(a small number of)(A)(B) ⇒ (a small number of)(A')(B)
若B' ⊆ B並且A ∩ B' ≠ Φ,則(a small number of)(A)(B) ⇒ (a small number of)(A)(B')

至於"(a large proportion of)"和"(a small proportion of)",它們也像前述表達相對數量的量詞那樣具有「左非單調性」,其「右單調性」則與前述兩個「模糊量詞」相似。綜合以上討論,我們有以下結果(在下式中,「*」號代表「有條件的遞減性」):

(a large number of) ∈ ↑MON↑
(a small number of) ∈ *↓MON↓*
(a large proportion of) ∈ −MON↑
(a small proportion of) ∈ −MON↓*

我們還可以在上述四個「模糊量詞」中的"large"或"small"前加上修飾語,這些修飾語大致上可分為兩類:"very"、"extremely"等是「加強型修飾語」,它們加強"large"或"small"的程度;"rather"、"relatively"等則是「減弱型修飾語」,它們減弱"large"或"small"的程度。這兩類修飾語對這些量詞的「單調性」各有不同的影響。「加強型修飾語」只是使上述「模糊量詞」的涵蓋範圍更加極端,因此不會改變上述四個「模糊量詞」的「單調性」。「減弱型修飾語」的作用則很不同,它們使上述「模糊量詞」的涵蓋範圍限制在某一局部範圍內。以"(a rather large proportion of)"為例,這個量詞的涵蓋範圍只局限於0.5以上的某個範圍,並不包括區間[0, 1]中的最高範圍,例如0.9便不屬於這個量詞的涵蓋範圍。因此,"(a rather large proportion of)"的「隸屬度函數」應呈「鈴形」而非「遞增」,所以這個量詞是「左、右非單調」的。試比較下圖中"(a very large proportion of)"和"(a rather large proportion of)"的「隸屬度函數」:

總括而言,我們有以下結果:

(a very large number of) ∈ ↑MON↑
(a very small number of) ∈ *↓MON↓*
(a very large proportion of) ∈ −MON↑
(a very small proportion of) ∈ −MON↓*
(a rather large / small number of), (a rather large / small proportion of) ∈ −MON−

最後討論"many"和"few"的「單調性」。筆者在《廣義量詞系列:特殊單式量詞》中曾指出,這兩個量詞既可以表達絕對數量,也可以表達相對數量,對於其確切語義歷來存在不少爭議。為簡化討論,以下假設這兩個量詞在表達絕對數量時分別等同於"(a large number of)"和"(a small number of)",而在表達相對數量時則分別等同於"(a large proportion of)"和"(a small proportion of)"。鑑於存在上述歧義,這兩個量詞的「單調性」也會因情況而異,以下列出這兩個量詞在上述兩種語義下的「單調性」,並用「/」隔開,其中「/」前是這兩個量詞在表達絕對數量時的「單調性」,「/」後則是表達相對數量時的「單調性」:

many ∈ ↑MON↑ / −MON↑
few ∈ *↓MON↓* / −MON↓*

4.4 模糊量詞的否定

接下來我們研究三種否定對「模糊量詞」的「單調性」的影響。由於筆者研究的「模糊量詞」都以非模糊集合作為其論元,根據與2.2小節相似的原理,容易推斷「左/右論元否定」對「模糊量詞」的影響跟對「非模糊量詞」的影響完全相同,因此以下筆者只集中討論「算子否定」。筆者在《廣義量詞系列:直接推理的革新》中已定義了「模糊量詞」Q的否定~Q的「隸屬度函數」如下:

μ[~Q](x) = 1 − μ[Q](x)

根據上式,~Q的「隸屬度函數」是Q的「隸屬度函數」關於水平線y = 0.5的反射鏡象,請參閱下圖:

從上圖可見,若Q為「遞增/遞減/非單調」函數,~Q將相應地為「遞減/遞增/非單調」函數。由此可見,「算子否定」將改變「遞增/遞減模糊量詞」的單調方向,但對「非單調模糊量詞」卻沒有影響。

5. 疑問量詞的單調性

5.1 非單調疑問量詞

為討論「疑問量詞」的「單調性」,我們須先確定「疑問量詞」之間的「蘊涵關係」。由於以下將要利用「疑問量詞」之間的「矛盾關係」,這裡採用筆者在《廣義量詞系列:直接推理的革新》中介紹的疑問句「蘊涵關係」的嚴格定義,我們可以把這個定義用來定義「<1,1,1>型疑問量詞」的「單調性」。我們說「<1,1,1>型疑問量詞」Q是「左遞增」的當且僅當對Q(A)(B)的每個可能解答C而言,

若A ⊆ A',則World(Q(A)(B)(C)) ⊆ World(Q(A')(B)(C))     (9)

我們可以從直觀上把上述定義理解為:假如A ⊆ A'並且Q(A)(B)的每個完滿真解答C都是Q(A')(B)的完滿真解答,我們便說Q是「左遞增」的。對於「疑問量詞」的「左遞減性」、「左非單調性」、「右遞增性」、「右遞減性」和「右非單調性」,也可作出類似的定義。

在上述定義下,大多數「疑問量詞」都是「左、右非單調」的。以"which"為例,「哪些男生穿T恤?」的完滿真解答顯然不一定是「哪些學生穿T恤?」的完滿真解答,即以下「推理」是無效的:

q1:哪些男生穿T恤? ~⇒ q2:哪些學生穿T恤?     (10)

現在讓我們形式化地證明(10)不符合(9)中的條件,這裡A、A'和B分別代表「男生」、「學生」和「穿T恤者」的集合。為簡化討論,我們假設論域中只有兩個性別未明的個體(分別稱為a和b),他們都是學生。請注意這裡實際上有兩個問題:「誰是男生」和「誰穿T恤」,這兩個問題加上兩個個體可構成以下16個「可能世界」:

wΦ, Φ, wΦ, {a}, wΦ, {b}, wΦ, {a, b},
w{a}, Φ, w{a}, {a}, w{a}, {b}, w{a}, {a, b},
w{b}, Φ, w{b}, {a}, w{b}, {b}, w{b}, {a, b},
w{a, b}, Φ, w{a, b}, {a}, w{a, b}, {b}, w{a, b}, {a, b}

其中w{a}, Φ代表「只有a是男生並且沒有學生穿T恤」的「可能世界」,其餘類推。對於q1,我們可以「沒有人」、「a」、「b」和「a和b」為可能解答,可分別用Φ、{a}、{b}和{a, b}來代表。每一個解答對應著一個使該解答真的「可能世界集合」,以下列出對應著這四個可能解答的「可能世界集合」:

World(q1(Φ))= {wΦ, Φ, wΦ, {a}, wΦ, {b}, wΦ, {a, b}, w{a}, Φ, w{a}, {b}, w{b}, Φ, w{b}, {a}, w{a, b}, Φ} (11)
World(q1({a}))= {w{a}, {a}, w{a}, {a, b},, w{a, b}, {a}}
World(q1({b}))= {w{b}, {b}, w{b}, {a, b},, w{a, b}, {b}}
World(q1({a, b}))= {w{a, b}, {a, b}}

同樣,q2也可以有上述四個可能解答,以下列出對應著這四個可能解答的「可能世界集合」:

World(q2(Φ))= {wΦ, Φ, w{a}, Φ,, w{b}, Φ, w{a, b}, Φ} (12)
World(q2({a}))= {wΦ, {a}, w{a}, {a},, w{b}, {a}, w{a, b}, {a}}
World(q2({b}))= {wΦ, {b}, w{a}, {b},, w{b}, {b}, w{a, b}, {b}}
World(q2({a, b}))= {wΦ, {a, b}, w{a}, {a, b},, w{b}, {a, b}, w{a, b}, {a, b}}

讀者可自行驗證上述「可能世界集合」的正確性。舉例說,對於q1來說,假如解答是「a和b」,那麼唯一的可能是a和b都是男生,而且兩人都穿T恤,因此World(q1({a, b})) = {w{a, b}, {a, b}}。現在容易看到,(11)和(12)並不滿足(9)的條件,由此證明(10)不成立(註8)。

造成"which"的「左、右非單調性」的原因是這個量詞隱含著"exactly"的意思,這可以從"which"的真值條件表現為一條等式看出:

which(A)(B)(C) ⇔ C = |X ∩ A ∩ B|

由於自然語言中絕大多數「疑問量詞」的真值條件都表現為等式,我們可以推斷這些量詞都具有「左、右非單調性」,即

which, whatd, (which n), (how many), (what proportion of) ∈ −MON−

5.2 單調疑問量詞

自然語言中除了「非單調疑問量詞」外,是否有「單調疑問量詞」?答案是肯定的,不過這些「疑問量詞」都是複合「疑問量詞」,即由"more / fewer than"或"at least / most"與"(how many)"複合而成的「疑問量詞」。根據上面「疑問量詞」的「單調性」的定義,容易得到以下結果:

(more than how many), (at least how many) ∈ ↑MON↑
(fewer than how many), (at most how many) ∈ ↓MON↓

以下是上述結果的其中一個例證:

q3:至少多少男生穿T恤? ⇒ q4:至少多少學生穿T恤?     (13)

從直觀上說,上述推理是合理的,因為(at least n) ∈ ↑MON↑,所以q3的任何一個完滿真解答必然也是q4的一個完滿真解答。事實上,上述四個「疑問量詞」的「單調性」反映了相應的「陳述量詞」("(more than n)"等)的「單調性」。

接著讓我們再形式化地驗證(13)的有效性。為簡化討論,以下假設有可數無限個學生,並以wm, n (m, n = 0, 1, 2, ...,m ≤ n)代表「共有m個男生穿T恤和n個學生穿T恤的「可能世界」。q3的可能解答包括:1、2、3 ...,每一個解答對應著一個「可能世界集合」,以下列出這些「可能世界集合」:

World(q3(1)) = {w1, 1, w1, 2, w1, 3, ... w2, 2, w2, 3, w2, 4, ...} (14)
World(q3(2)) = {w2, 2, w2, 3, w2, 4, ... w3, 3, w3, 4, w3, 5, ...}
World(q3(3)) = {w3, 3, w3, 4, w3, 5, ... w4, 4, w4, 5, w4, 6, ...}
...

同理,q4的可能解答包括:1、2、3 ...,以下列出相關的「可能世界集合」:

World(q4(1)) = {w0, 1, w1, 1, w0, 2, w1, 2, w2, 2, ...} (15)
World(q4(2)) = {w0, 2, w1, 2, w2, 2, w0, 3, w1, 3, w2, 3, w3, 3, ...}
World(q4(3)) = {w0, 3, w1, 3, w2, 3, w3, 3, w0, 4, w1, 4, w2, 4, w3, 4, w4, 4, ...}
...

容易看到(14)和(15)符合(9)的條件,因此(13)是有效的。

5.3 疑問量詞的否定

接著讓我們考慮三種否定對「疑問量詞」的「單調性」的影響。首先考慮「左/右論元否定」,根據與2.2小節相似的原理,容易推斷「左/右論元否定」對「疑問量詞」的影響跟對「陳述量詞」的影響完全相同,因此以下筆者只集中討論「算子否定」。以下首先使用在《廣義量詞系列:直接推理的革新》中介紹的「疑問量詞」的「矛盾關係」來定義「疑問量詞」的否定。具體地說,「疑問量詞」Q的否定可被定義為滿足以下條件的「疑問量詞」~Q:Q(A)(B)的每個可能解答C都是~Q(A)(B)的可能解答,並且

World(Q(A)(B)(C)) ∩ World(~Q(A)(B)(C)) = Φ ∧ World(Q(A)(B)(C)) ∪ World(~Q(A)(B)(C)) = W

根據上述定義,容易看到

World(~Q(A)(B)(C)) = ~World(Q(A)(B)(C))

設Q是「左遞增」的,那麼根據「否定後件律」和上式,上面的(9)變為:對Q(A)(B)的每個可能解答C而言,

若A ⊆ A',則World(~Q(A')(B)(C)) ⊆ World(~Q(A)(B)(C))

上述結果顯示~Q是「左遞減」的,即「算子否定」把原來的左單調方向顛倒了。同理,也易證「算子否定」會把Q原來的右單調方向顛倒。但如果Q在某一論元上是「非單調」的,則「算子否定」不會影響該論元的「非單調性」,此一結果顯示,「算子否定」對「疑問量詞」的「單調性」的影響跟對「陳述量詞」的影響完全相同。

在自然語言中,絕大多數「疑問量詞」Q都沒有與之相對應的~Q。以"(how many)"為例,根據以上定義,其否定具有以下真值條件:

~(how many)(A)(B)(C) ⇔ ∨n ∈ N ∧ n ≠ |A ∩ B| (C = n)

請注意上述「疑問量詞」在自然語言中沒有簡單的對應詞項(註9)。至於前述四個複合「疑問量詞」,它們卻有相應的否定形式。根據前述網頁的「疑問對當方陣」,我們有

~(more than how many) ≡ (at most how many)
~(fewer than how many) ≡ (at least how many)

上述四個「疑問量詞」的「單調性」與前述「算子否定」的影響完全一致。

6. 單調性推理原理

至此筆者已討論了多種量詞的「單調性」,現把前述結果總結為以下「單調性推理原理」

  1. 「遞增性」是一種「無標記」性質,不含任何否定詞或各種「非單調量詞」的語句的各個論元都具有「遞增性」。
  2. 「左(右)非單調量詞」使左(右)論元具有「非單調性」。
  3. 對於表達相對數量的量詞("all"、"only"和"no"除外)而言,若其真值條件的分母為|A|(|B|),該量詞具有「左(右)非單調性」。
  4. 其「預設」表現為等式並且該等式涉及A(B)的「有定限定詞」和「部分格結構」具有「左(右)非單調性」。
  5. 含有「相等」、「大約」、「略多/少於」、「頗多/少」等語義的量詞具有「左、右非單調性」。
  6. 所有簡單「疑問量詞」以及用"and"或"or"把單調方向相反的量詞並列而成的複合量詞也具有「左、右非單調性」。
  7. 否定詞會改變其「否定域」內各「單調論元」的單調方向,但對「非單調論元」則無影響。各論元最終的「單調性」按「多重否定律」決定。
  8. 「算子否定」相當於「全盤否定」,其「否定域」包括左、右兩個論元。「論元否定」則是「局部否定」,其「否定域」只包括被否定的論元。
  9. 含有「少」、「少於」、「最多」、「沒有」、「有限」等語義的量詞都具有「左、右遞減性」(但如含有上面第3-6點的語義,則有關論元的「遞減性」應變成「非單調性」)。
  10. 「左(右)遞減量詞」可視為特殊的否定詞,其「否定域」就是左(右)論元。此外,可以把"all"和"only"分別看成「左論元否定詞」和「右論元否定詞」。

以下讓我們來看上述原理的一個應用實例,設我們定義一個新的量詞,其真值條件為:

(constitute less than 1/2)(A)(B) ⇔ |A ∩ B| / |B| < 1/2

上述量詞跟"(less than 1/2)"非常相似,唯一不同之處是上述量詞的真值條件的分母是|B|而非|A|。上述量詞表達「A佔B不足一半」的意思,在自然語言中一般沒有簡單的對應詞項。現在讓我們分析這個量詞的「單調性」。由於這個量詞含有「少於」的語義,根據第9點,它應具有「左、右遞減性」;但由於這個量詞表達相對數量,而且其真值條件的分母為|B|,根據第3點,它的「右遞減性」應變成「右非單調性」,因此這個量詞應屬於↓MON−。由此我們有以下有效推理:

會員佔參賽者不足一半。 ⇒ 資深會員佔參賽者不足一半。

接著讓我們對上述量詞同時進行「算子否定」和「左論元否定」,並考察其影響,即考察

~(constitute less than 1/2)(~A)(B)

的「單調性」。根據第10點,"(constitute less than 1/2)"可視為一個「左論元否定詞」,因此上述兩種否定將使「左論元」受到三重否定,即相當於一重否定,因此「左論元」應呈「遞減性」;而根據第7點,「右論元」的「非單調性」不受任何否定影響。由此我們有以下有效推理:

非會員並非佔參賽者不足一半。 ⇒ 非資深會員並非佔參賽者不足一半。


註1:「單調性推理」有廣狹二義。廣義的「單調性推理」是指如果能從某個「前提」集合推出某「結論」,那麼把新的「前提」加入該「前提」集合,仍能推出該「結論」。本文所指的「單調性推理」是狹義的「單調性推理」,其定義見下文。

註2:嚴格地說,本文所定義的「遞增」和「遞減」應分別稱為「非遞減」(Non-Decreasing)和「非遞增」(Non-Increasing),因為本文的定義容許當x < y時,f(x) = f(y)。請注意在此一定義下,「常值函數」(例如f(x) = 1)也算是「遞增」函數(同時也是「遞減」函數),儘管其圖象自始至終是一條水平直線。此外,亦有人使用「嚴格遞增」(Strictly Increasing)和「嚴格遞減」(Strictly Decreasing)這兩個名稱分別指「若x < y,則f(x) < f(y)」和「若x < y,則f(x) > f(y)」的情況。

註3:下文會證明這三個量詞的「單調性」。

註4:這裡所謂「『左論元否定』把Q原來的『左遞增性』變為『左遞減性』」是指,如果我們定義一個新的量詞Q',使得

Q'(A)(B) ⇔ Q(~A)(B)

則這個新定義的Q'是「左遞減」的。

註5:容易證明若A ⊆ A',則A' ∩ B ⊇ A ∩ B,因此A在A ∩ B ⊇ {j}中是「遞增」的。同理易證A在A ∩ B ⊆ {j}中是「遞減」的。

註6:請注意當「有定限定詞」"the"和"John's"與複數名詞連用時,有關「預設」將表現為「不等式」而非「等式」。由於在這種情況下,這些量詞的「單調性」牽涉頗複雜的問題,因此本文只考慮"the"和"John's"與單數名詞連用的情況。

註7:根據上述假設,本小節討論的"several"等同於4.1小節討論的"(at least several)"。另外,"many"和"few"也是不含修飾語的「模糊量詞」,但它們的語義頗為複雜,這將留待下文再作討論。

註8:惟請注意,World(q1({a, b})) ⊆ World(q2({a, b})),這反映了如下事實:如果「a和b」是q1的答案,那麼便能推斷「a和b」也必然是q2的答案。這是合理的,因為如果知道論域中只有a和b而且兩人都是穿T恤的男生,那麼這兩人也必然就是穿T恤的學生。

註9:這個量詞相當於問:「請告訴我一個自然數,這個數不等於|A ∩ B|」。

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