廣義量詞系列:三段論推理的革新

1. 引言

筆者在《廣義量詞系列:古典推理模式》中介紹了「三段論推理」。可以 說,「三段論推理」在古典形式邏輯中佔有核心地位。在中古時期,「三段論推理」甚至幾乎成為「邏輯學」 的同義詞。可是,隨著現代數理邏輯的興起,「三段論推理」在邏輯學中的地位已大不如前。儘管在今天有關 「三段論推理」的知識仍會在形式邏輯的課程或教科書中被傳授,但它在今天只是作為一種「古典」知識被保 存著,而不再成為數學或科學推理的指導原則。

不過,近年來「三段論推理」又重新引起某些學者的研究興趣,並且獲得新的發展。Peterson在 Intermediate Quantifiers – Logic, linguistics, and Aristotelian semantics一書中便以大量篇幅 討論把傳統的「三段論推理」推廣至「中間量詞」的問題,並提出一些新的推理格式和推理規則。模糊數學的 創立人Zadeh在A Computational Approach to Fuzzy Quantifiers in Natural Languages一文中則用 模糊數學的方法把「三段論推理」推廣至「模糊量詞」。受上述學者思想的啟發,筆者認為我們還可以把「三 段論推理」推廣至更廣闊的層面,例如「疑問量詞」和表達空間關係的詞項。本文將介紹上述學者的理論成果 ,並加上筆者個人對這個課題的一些粗淺體會和嘗試。筆者希望透過本文的討論向讀者展示,儘管「三段論推 理」是一門古老的學科,但只要我們把它與適當的現代數學/邏輯學/語義學理論加以結合,便可以為它注入 新的內容和活力。

2. Peterson對三段論推理的擴充

如前所述,Peterson把「三段論推理」推廣至「中間量詞」(即「全稱量詞」"all"和「存在量詞」 "some"以外的量詞)。在其著作中,Peterson分三個階段進行這種擴充。首先,他把「三段論推理」推 廣至三個常用的「中間量詞」:"(almost all)" (等同於"(few ... not)")、"most"和 "many"。接著,他把「三段論推理」推廣至「分數量詞」(例如"(more than 2/3)")以至「複雜 分數量詞」(例如"(much more than 2/3)")。最後,他把「三段論推理」推廣至「關係命題」,即主語 和賓語均帶有量詞(亦即「廣義量詞理論」所稱的「迭代量詞」)的命題。以下筆者將集中介紹包含上述三個「 中間量詞」以及「分數量詞」的「三段論推理」。

2.1 有效推理格式的擴充

Peterson大大擴充了「三段論推理」有效推理格式的數目。傳統「三段論推理」共有24種有效格式(詳見 《廣義量詞系列:古典推理模式》),經上述第一階段擴充後,有效推理格 式便增至93個。舉例說,「ABB-2式」便是其中一個新的有效推理格式(註1),以下是這個格式的一個實例:

大前提:所有嘉賓都有邀請卡。
小前提:幾乎所有學生都沒有邀請卡。
結論:幾乎所有學生都不是嘉賓。

經第二階段擴充後,有效推理格式的數目便更多。但由於「分數」(即數學上的「有理數」)的數目無限,我們 無法一一為各個含有「分數量詞」的語句命名,因而也無法列舉全部有效格式。因此,Peterson只能舉出一些 含有「分數量詞」的有效推理格式的例子,例如:

大前提:(more than 1/8)(M)(~P) 
小前提:(at least 7/8)(M)(S)(1)
結論:some(S)(~P) 

以下是上述格式的一個實例:

大前提:在八名學生中,有多於一人不穿校服。
小前提:在八名學生中,至少七人戴眼鏡。
結論:有戴眼鏡者不穿校服。

2.2 有效推理格式的證明

Peterson不僅提出新的「三段論推理」格式,還嘗試證明這些格式的有效性。Peterson使用至少兩種方法來證 明新的推理格式,第一種方法主要針對"(almost all)"等三個「中間量詞」,這種方法要用到「對當關 係推理」以及「命題邏輯」中的某些定理和證明技巧。舉例說,設我們要證明前述有效的「ABB-2式」,即以下 推理形式:

大前提:all(P)(M)
小前提:(almost all)(S)(~M)
結論:(almost all)(S)(~P)

我們首先利用「命題邏輯」中的下述定理(註2):

(((p ∧ q) ⇒ r) ∧ (p ∧ ~r)) ⇒ ~q

即我們把上述推理形式作如下變換:以原「結論」的否定來作為新「小前提」(「大前提」保持不變),並嘗試 推出原「小前提」的否定作為新「結論」。由於根據《廣義量詞系列:直接推 理的革新》中的「五層對當方陣」,句B的否定是句K,所以我們最終把上述推理形式變換為:

大前提:all(P)(M)
小前提:many(S)(P)
結論:many(S)(M)

請注意上述推理形式已從原來的「ABB-2式」變為「AKK-1式」。接下來的任務就是證明「AKK-1式」是有效的, 這不難證明,因為如果所有P是M,並且很多S是P,那麼這些是P的S自然也是M,所以我們最終可得出結論:很多 S是M。

Peterson使用的第二種證明方法主要針對「分數量詞」,這種方法要用到簡單的代數運算和「反證法」。設我 們要證明上面(1)的有效性,為方便證明,我們參照以下「溫氏圖」以字母標示S、P、M及其否定的各種交集的 基數(請注意在下圖中,由於a ... h等代表集合基數,我們有a ≥ 0 ... h ≥ 0):

以下我們用「反證法」證明(1)。為此,我們須先使用「廣義量詞理論」對量詞的定義(詳見 《廣義量詞系列:基本單式量詞》的表3)並參照上圖中的區域把(1)中的兩 個前提和結論的否定轉化為代數式。舉例說,由於(1)的大前提「(more than 1/8)(M)(~P)」的集合論 定義為|M ∩ ~P| / |M| > 1/8,而|M ∩ ~P|和|M|分別相當於上圖中的d + g和d + e + f + g,該語句 應轉化為(d + g) / (d + e + f + g) > 1/8 (註3)。以下 是(1)的證明:

(i)(d + g) / (d + e + f + g) > 1/8    大前提
(ii)(d + e) / (d + e + f + g) ≥ 7/8 小前提
(iii)a + d = 0 結論的否定
(iv)d = 0 從(iii)推出
(v)8(d + g) > (d + g) + (e + f) 化簡(i)
(vi)7(d + g) > e + f 化簡(v)
(vii)7g > e + f 用(iv)化簡(vi)
(viii)8(d + e) ≥ 7(d + e) + 7(f + g) 化簡(ii)
(ix)d + e ≥ 7(f + g) 化簡(viii)
(x)e ≥ 7f + 7g 用(iv)化簡(ix)
(xi)7f + 7g ≥ 7g 數學常識
(xii)e > e + f 從(x)、(xi)和(vii)推出

上面第(xii)行就是我們要推出的矛盾,此一矛盾間接證明了(1)的有效性。

2.3 推理規則

Peterson還嘗試把傳統的「三段論」推理規則推廣到更一般的情況。古典形式邏輯除了嘗試找出所有有效的「 三段論」推理格式外,還嘗試總結出一些推理規則,以便讓進行推理的人根據這些規則,便能直接推出某一推 理格式是否有效,而無須查考有效推理格式的清單。古典形式邏輯總結出六條推理規則和七種「謬誤」,這七 種「謬誤」都有專門的名稱,其中三種涉及到「周延性」的概念:「中詞不周延的謬誤」、「大詞不當周延的 謬誤」和「小詞不當周延的謬誤」,由此可見「周延性」概念對傳統「三段論推理」的重要性。

古典形式邏輯對「周延性」作如下界定:全稱命題中的主語以及否定命題中的謂語都是「周延」的,其他情況 下的主語和謂語都是「不周延」的。可是,古典形式邏輯並沒有論證「周延性」與推理規則的關係。換句話說 ,「周延性」與推理規則的關係僅是傳統邏輯學家的一種經驗總結,傳統邏輯學家沒有為這種關係提供理據。 事實上,由於「周延性」概念缺乏理據,且難以與現代數理邏輯上的其他概念整合,現代數理邏輯完全拋棄了 此一概念。

Peterson沿用古典形式邏輯的「周延性」概念,並把它推廣為「周延度」(註4)。在古典形式邏輯中,「周延性 」是二值概念,只有「周延」和「不周延」這兩個值。Peterson則把它推廣為多值概念,他把「全稱肯定命題」 的主語以及所有否定命題的謂語的「周延度」定為1,並把「存在肯定命題」的主語以及所有肯定命題的謂語的 「周延度」定為0。換句話說,他以數字1和0代替傳統邏輯中的「周延」和「不周延」這兩個值。至於各種「中 間量詞」的「周延度」,則按其接近"all"的程度而被定為0與1之間的某個分數。舉例說, "(almost all)"、"most"和"many"的「周延度」便分別被定為3/4、2/4和1/4;各種「 分數量詞」的「周延度」則被定為相應的分數,例如"(at least 1/8)"的「周延度」就是1/8。 Peterson在推廣「周延性」概念後,亦對傳統的「三段論」推理規則作出修改,使之適用於各種「中間量詞」 。

Peterson的工作無疑大大豐富了傳統「三段論推理」的內容,亦為此一歷史悠久的邏輯分支注入了新內容。不 過,Peterson的研究在幾方面仍有不足之處。首先,他對「三段論推理」的革新主要是在傳統的框架下進行的 ,例如他仍以「周延度」作為推理規則的一個重要因素。如前所述,由於「周延度」概念缺乏理據,他所提出 的推理規則仍只具有經驗總結的性質(註5)。

其次,儘管Peterson引入了一些代數方法用來表達和證明某些涉及「分數量詞」的有效推理格式,但他沒有全 面採用「廣義量詞理論」的集合論定義,因此他所引入的新量詞只局限於"(almost all)"、 "most"、"many"、「分數量詞」和「複雜分數量詞」等,而未能包羅更多量詞。

最後,Peterson所提出的「中間量詞」其實混雜著「模糊量詞」與「非模糊量詞」,例如"(almost all)"、"many"以及「複雜分數量詞」都是「模糊量詞」。可是,Peterson並沒有區別對待兩者, 他只是憑語感和初等代數而非模糊數學的方法處理這些量詞。舉例說,他只是憑語感把「many(S)(~P) 」當作「(almost all)(S)(P)」的矛盾命題,並以此構造他的「五層對當方陣」,然後進而以此作為證 明他所提出的新有效格式的依據。可是他對"many"的上述處理方法卻是有爭議的,因為"many" 這個詞帶有歧義,有時表達絕對數量,有時則表達相對數量,有時更兼有上述兩重意思,Peterson沒有作出清 楚說明,因此他所提出的涉及"many"的「三段論」推理格式便具有爭議性。在處理「複雜分數量詞」時 ,Peterson採用代數學上的符號「>>」以表示"much more than"。但由於「>>」是模糊概念,難以應用於代數 運算,所以有時他又不得不利用以下關係作為「>>」的近似定義:

x >> y ?⇔ x ≥ 2y
或 x >> y ?⇔ x ≥ y2

由於上述兩種處理「模糊量詞」的方法都有可爭議之處,這就使得Peterson提出的某些有效推理格式理據不足 。鑑於Peterson的方法有上述的不足之處,以下筆者將介紹循其他途徑推廣「三段論推理」的方法。

3. 數值三段論與例外結構三段論

筆者認為,推廣「三段論推理」的其中一種有效方法是根據「廣義量詞理論」對四個傳統「量化句」的集合論 定義透徹分析「三段論」各有效格式的背後原理,然後把這些格式中的「全稱量詞」/「存在量詞」代之以其 他適當的量詞,從而得到新的有效格式。筆者認為這種方法最適合用於表示數值比較的量詞以及某些「例外結 構」,以下我們討論幾個例子。

我們首先以「IAI-4式」為例說明上述方法,以下是「IAI-4式」的形式:

大前提:some(P)(M)
小前提:all(M)(S)
結論:some(S)(P)

現在讓我們來探討這個有效格式背後的原理。根據「廣義量詞理論」的集合論定義,我們可以把上面的大前提 表達為P ∩ M ≠ Φ。但為方便以下討論,我們把此式改寫為|P ∩ M| > 0。同樣,我們把上面的 小前提表達為M ⊆ S。接著我們應用以下集合論定理(註6):

定理1設A ⊆ B,則對任何集合C和實數n而言,
 (1)|C ∩ A| >(≥) n ⇒ |C ∩ B| >(≥) n
 (2)|C ∩ B| <(≤) n ⇒ |C ∩ A| <(≤) n
 (3)|C ∩ A| ≤ |C ∩ B|

利用定理1(1)和「∩」運算的交換性,便容易得到|S ∩ P| > 0,而這正是上面的結論所要表達的意思 。請注意在上述討論中,實數0沒有任何特殊性,它可以為任何實數n取代,這等同於把上述有效格式中的量詞 "some"改為"(more than n)",這樣我們便得到一個有效的「數值三段論」格式:

大前提:(more than n)(P)(M)
小前提:all(M)(S)
結論:(more than n)(S)(P)

以下推理就是應用這個有效格式的實例:

大前提:多於十位得獎人戴襟花。
小前提:所有戴襟花的都坐在台上。
結論:多於十位坐在台上的是得獎人。

如能選擇恰當的格式和作出恰當的變換,我們也可以推導出包含量詞"(at most n)"的有效格式。舉例 說,我們可以選用「EAE-2式」,即:

大前提:all(P)(~M)
小前提:all(S)(M)
結論:all(S)(~P)

請注意上面的大前提「all(P)(~M)」等價於「no(P)(M)」。本來後一式一般可用集合論語言表 達為|P ∩ M| = 0,但為方便以下推導,我們把此式改寫為|P ∩ M| ≤ 0 (集合個數不可能為負數) 。同樣,我們把上面的小前提表達為S ⊆ M。接著,利用定理1(2),容易推得|S ∩ P| ≤ 0,這正 是上面的結論所要表達的意思。由於在上述討論中,0沒有任何特殊性,它可以為任何實數n取代,這實際等同 於把上述有效格式中的"no"改為"(at most n)",這樣我們便得到以下這個有效的「數值三段論 」格式:

大前提:(at most n)(P)(M)
小前提:all(S)(M)
結論:(at most n)(S)(P)

以下推理就是應用這個有效格式的實例:

大前提:最多十名學生穿運動服。
小前提:所有參賽者都穿運動服。
結論:最多十名參賽者是學生。

接著我們再看一個涉及「例外結構」的例子,這次我們使用「AAA-1式」:

大前提:all(M)(P)
小前提:all(S)(M)
結論:all(S)(P)

為方便以下的推導,我們首先把上面的大前提和小前提分別表達為|M − P| = 0和S ⊆ M。由於x = 0 ⇒ x ≤ 0並且M − P = M ∩ ~P,我們推得

|M − P| = 0 ⇒ |M ∩ ~P| ≤ 0

接著應用定理1(2),容易推得|S ∩ ~P| ≤ 0,這正是上面的結論所要表達的意思。總上所述,我們可以 從|M − P| = 0和S ⊆ M推得|S ∩ ~P| ≤ 0。由於在上述討論中,0沒有任何特殊性,它可以 為任何實數n取代,這實際等同於把上述有效格式中的大前提和結論改為「例外結構」,這樣我們便得到以下這 個有效的「例外結構三段論」格式(註7):

大前提:(all but n)(M)(P)
小前提:all(S)(M)
結論:(all but at most n)(S)(P)

以下推理就是應用這個有效格式的實例:

大前提:除了三人外,所有參賽者都是會員。
小前提:所有學生都是參賽者。
結論:除了最多三人外,所有學生都是會員。

我們還可以對「直言三段論」的其他有效格式進行類似的分析,但由於「三段論」的有效格式共有24個,這將 是繁重的工作,本文的討論只能到此為止。

3. 模糊三段論

3.1 可歸約為對當關係推理的模糊三段論

筆者在《廣義量詞系列:直接推理的革新》定義了「模糊量化句」之間的 蘊涵關係,並提出了一條定理(即上述網頁的定理1)。原則上我們可以把上述定義和定理推廣至「三段論推理」 ,從而推導或證明某些「模糊三段論」的有效格式。舉例說,以下「模糊三段論」推理格式顯然是有 效的:

大前提:all(M)(P) 
小前提:(a very large proportion of)(S)(M)(2)
結論:(at least a small proportion of)(S)(P) 

以下推理就是應用這個有效格式的實例:

大前提:所有參賽者都是會員。
小前提:非常多學生是參賽者。
結論:至少一小部分學生是會員。

現在就讓我們來證明(2)的有效性。為方便討論,以下提供「模糊量詞」"(a very large proportion of)"和"(at least a small proportion of)"的「隸屬度函數」的圖象:

根據(2)的大前提,我們有M ⊆ P。其次,根據前面的定理1(3),我們有

|S ∩ M| / |S| ≤ |S ∩ P| / |S|

而根據上面μ[(a very large proportion of)](x)的圖象,容易看到

μ[(a very large proportion of)](|S ∩ M| / |S|) ≤ μ[(a very large proportion of)](|S ∩ P| / |S|)

根據筆者在上述網頁定義的式(2),上式等價於

(a very large proportion of)(S)(M) ⇒ (a very large proportion of)(S)(P)

換句話說,我們可以從(2)的大前提和小前提推出「(a very large proportion of)(S)(P)」。另外, 根據上述網頁的式(5),我們有以下「差等關係」:

(a very large proportion of)(S)(P) ⇒ (at least a small proportion of)(S)(P)

上面右端的表達式正是(2)的結論,至此我們證明了(2)的有效性。

請注意在上述證明中,我們實際上是利用(2)的大前提把其小前提改寫為「(a very large proportion of)(S)(P)」,然後再根據一個「差等關係」推出結論,因此上述「模糊三段論」推理實際被歸約為「對當 關係推理」。我們之所以能進行這種歸約,是因為在(2)中,我們利用了「非模糊量詞」"all"的特性, 因此嚴格地說,上述推理並非純粹的「模糊三段論」推理。現在的問題是,我們能否不依賴上述歸約而推導出 純粹的「模糊三段論」有效格式?

3.2 量詞擴張原理(等式形式)

筆者在《廣義量詞系列:直接推理的革新》)中指出,如要定義兩個具有不 同「模糊量詞」的語句之間的蘊涵關係,必須確保這兩個語句具有相同的「參項」(詳見上述網頁的式(3))。可 是,傳統的「直言三段論」涉及三個詞項之間錯綜複雜的關係,難以確保「三段論」中的三個命題具有相同的 「參項」。以傳統「三段論」的「第一格」為例,假如我們把「第一格」中三個命題的真值轉化為「隸屬度函 數」的形式,那麼我們有(以下假設Q、Q'和Q''皆表達相對數量):

大前提:μ[Q](|M ∩ P| / |M|)
小前提:μ[Q'](|S ∩ M| / |S|)
結論:μ[Q''](|S ∩ P| / |S|)

由於上面三個命題的「參項」各不相同且不能化約,我們無法界定它們之間的蘊涵關係。由此可見,我們不能 從傳統的「直言三段論」有效格式簡單推出純粹的「模糊三段論」有效格式。

為克服上述困難,Zadeh另闢蹊徑。他從以下「交積三段論」(Intersection / Product Syllogism)推理得到啟 發:

前提1:剛好80%的學生是單身人士。
前提2:剛好60%的單身學生是男性。
結論:剛好48%的學生是單身男性。

請注意由於上述推理已非傳統「直言三段論」的形式,傳統對「大前提」和「小前提」的區分已失去意義,所 以在上面我們把這兩個前提分別稱為「前提1」和「前提2」,而且這兩個前提是可以自由對調的。我們可以把 上述推理抽象為一般形式,並把三個命題寫成「特徵函項」的形式(以下用A、B和C分別代表「學生」、「單身」 和「男性」)(註8):

前提1:χ[(exactly 80%)](|A ∩ B| / |A|) 
前提2:χ[(exactly 60%)](|A ∩ B ∩ C| / |A ∩ B|)   (3)
結論:χ[(exactly 48%)](|A ∩ B ∩ C| / |A|)  

請注意如果我們把上面兩個前提的「參項」相乘,便會得到與結論相同的「參項」:

(|A ∩ B| / |A|) × (|A ∩ B ∩ C| / |A ∩ B|) = |A ∩ B ∩ C| / |A|

這樣我們便解決了傳統「三段論」格式中前提與結論沒有相同「參項」的問題。不僅如此,上例還顯示如果我 們把兩個前提的「量詞」所代表的實數相乘,便可得到結論的「量詞」所代表的實數:

80% × 60% = 48%

總上所述,在上述推理中,「參項」與「量詞」具有平行的關係。當「三段論」中三個命題的「參項」存在某 種函數關係時,該三個命題的「量詞」也存在相同的函數關係。Zadeh把上述情況推廣到「模糊量詞」,從而得 到以下的「量詞擴張原理」(Quantifier Extension Principle):

定理2:設有以下「三段論」形式(表達為「隸屬度函數」的形式):

前提1:μ[Q](x)
前提2:μ[Q'](x')
結論:μ[Q''](x'')

如果x'' = f(x, x'),則Q'' = f(Q, Q')。其中f(Q, Q')代表量詞之間的某個函數關係,這個函數與f(x, x') 的關係可用模糊數學上的「擴張原理」(Extension Principle)來定義。

在模糊數學上,「擴張原理」可用來把普通集合元素的函數轉化為模糊集合的函數。設f: X → Y為普通集 合元素的一元函數,那麼我們可以把f轉化為以下函數:設A為X上的模糊集合,則f(A)為Y上的模糊集合,其隸 屬度函數為(在下式中,x ∈ X,y ∈ Y):

μ[f(A)](y) =maxf(x) = y μ[A](x),if f−1(y) ≠ Φ  (4)
0,if f−1(y) = Φ

另設f: X × X' → Y為普通集合元素的二元函數,那麼我們可以把f轉化為以下函數:設A和A'分別 為X和X'上的模糊集合,則f(A, A')為Y上的模糊集合,其隸屬度函數為(在下式中,x ∈ X,x' ∈ X' ,y ∈ Y):

μ[f(A, A')](y) =maxf(x, x') = y min(μ[A](x), μ[A'](x')),if f−1(y) ≠ Φ  (5)
0,if f−1(y) = Φ

利用上述定理,我們可以嘗試推導某些純粹的「模糊三段論」有效格式。舉例說,我們可以把(3)中兩個前提的 量詞換成「模糊量詞」:

前提1:μ[(slightly more than half of)](|A ∩ B| / |A|)  
前提2:μ[(slightly less than half of)](|A ∩ B ∩ C| / |A ∩ B|)  (6)
結論:μ[Q''](|A ∩ B ∩ C| / |A|) 

現在的問題是,上面結論中的Q''是甚麼量詞?根據前面的討論和定理2,我們知道

Q'' = (slightly more than half of) × (slightly less than half of)

可是上式右端究竟又代表甚麼意思?為讓讀者易於明白,以下用一個簡化的例子以作說明。設"(slightly more than half of)"的「參項」x和"(slightly less than half of)"的「參項」x'的取值範圍為 離散實數集{0, 0.1 ... 0.9, 1},並且有以下「隸屬度函數」:

μ[(slightly more than half of)](x) = {0/0, 0/0.1, 0/0.2, 0/0.3, 0/0.4, 0/0.5, 1/0.6, 0.2/0.7, 0/0.8, 0/0.9, 0/1}
μ[(slightly less than half of)](x') = {0/0, 0/0.1, 0/0.2, 0.2/0.3, 1/0.4, 0/0.5, 0/0.6, 0/0.7, 0/0.8, 0/0.9, 0/1}

(slightly more than half of) × (slightly less than half of)的「參項」y的取值 範圍為{y: ∃x, x' ∈ {0, 0.1 ... 0.9, 1} (y = x × x')} = {0, 0.01, ... 0.9, 1}。由於「×」是二元算子,我們可以用(5)來求上述乘積的「隸屬度函數」。容易看到上述乘積的 絕大多數隸屬度皆為0,以下僅給出一個非0值的計算步驟。設y = 0.18,那麼由於0.18 = 0.2 × 0.9 = 0.3 × 0.6 = 0.6 × 0.3 = 0.9 × 0.2,我們用(5)作以下計算:

 μ[(slightly more than half of) × (slightly less than half of)](0.18)
=maxx × x' = 0.18 min(μ[(slightly more than half of)](x), μ[(slightly less than half of)](x'))
=max(min(0, 0), min(0, 0), min(1, 0.2), min(0, 0))
=max(0, 0, 0.2, 0)
=0.2

利用上述方法,我們便可以求得上述乘積的「隸屬度函數」(下式僅列出隸屬度不為0的項):

μ[(slightly more than half of) × (slightly less than half of)](y) = {0.2/0.18, 0.2/0.21, 1/0.24, 0.2/0.28}

上式可粗略地看成「模糊量詞」"(about 1/4)"的「隸屬度函數」,這樣我們便可以把"(about 1/4)"代入(6)中的Q''。以下推理是應用(6)的實例:

前提1:略多於半數學生是單身人士。
前提2:略少於半數單身學生是男性。
結論:約四分一學生是單身男性。

3.3 量詞擴張原理(不等式形式)

當然,並非在所有情況下均可以像上例那樣用一條「等式」把「三段論」的結論與兩個前提聯繫起來,有時我 們充其量只能得到一條「不等式」。但即使在這種情況下,我們仍可運用定理2,只要把該定理中的「等式」 x'' = f(x, x')和Q'' = f(Q, Q')改為相應的「不等式」便行了。舉例說,設有以下推理:

前提1:幾乎所有學生是單身人士。
前提2:非常多學生是男性。
結論:Q''學生是單身或男性。

我們可以把上述推理抽象為

 
前提1:μ[(almost all)](|A ∩ B| / |A|) 
前提2:μ[(a very large proportion of)](|A ∩ C| / |A|)  (7)
結論:μ[Q''](|A ∩ (B ∪ C)| / |A|) 

由於上述三個「隸屬度函數」的「參項」有相同的分母,我們只需考慮這些「參項」的分子。根據集合論,我 們有以下「不等式」:

|A ∩ (B ∪ C)| ≤ |A ∩ B| + |A ∩ C|

根據定理2,我們應有

Q'' ≤ (almost all) + (a very large proportion of)

不過,由於上述的Q''表達相對數量,其「參項」y的值不應超出[0, 1]以外,但在進行上述「+」運算時,其結 果可能大於1。為把上述運算結果限制在[0, 1]之內,我們把上述Q''的定義修改為

Q'' ≤ min(1, (almost all) + (a very large proportion of))

上式就是(7)中量詞Q''的形式,我們可以把這個量詞解讀成「最多xxx」,其中的「xxx」由「≤」後面的算 式確定。儘管我們可以用模糊數學的「擴張原理」求得這個「xxx」的「隸屬度函數」,但卻不一定能用簡單的 自然語言表達它。這裡我們看到了「模糊量詞」的局限性,儘管在現實中存在的模糊性有無限種可能程度,但 自然語言中的「模糊量詞」卻很有限,遠遠不能涵蓋各種可能情況。不過,上述情況正是模糊推理的特點。當 代模糊數學對模糊推理(其中包括「模糊三段論」推理)尚有其他研究成果,這裡不能一一詳述。

4. 疑問三段論

4.1 疑問句的蘊涵關係

筆者在《廣義量詞系列:直接推理的革新》中定義了疑問句之間的蘊涵關 係,因此原則上我們可以把上述定義推廣至「三段論推理」,從而推導或證明某些「疑問三段論」的 有效格式。不過,為了與其他「對當關係」的定義相一致,筆者在上述網頁對蘊涵關係採取了較為狹窄的定義 。在此一定義下,凡是沒有相同解答的疑問句之間都談不上蘊涵關係。可是,由於此一定義大大限制了我們所 能考察的疑問句推理,我們有必要在這裡放寬上述定義。

具體地說,我們作出如下定義:疑問句q蘊涵疑問句q',當且僅當對q的每個可能解答a而言,都有q'的某個可能 解答a'使得

World(q(a)) ⊆ World(q'(a'))     (8)

請注意在上述定義中,a與a'可以是不同的解答。上述定義反映了如下事實:假如我們可以憑q的真解答a推斷出 q'的真解答a',我們便說q蘊涵q'。根據以上定義,以下蘊涵關係是成立的:

q1:誰出席了聚會? ⇒ q2:John有否出席聚會?

以下讓我們來驗證上述蘊涵關係的有效性。為簡化討論,我們假設論域中的人物只有John、Bill和Mary,並且 只有以下八個「可能世界」:

wΦ, w{j}, w{b}, w{m}, w{j, b}, w{j, m}, w{b, m}, w{j, b, m}

其中w{j}代表「只有John出席了聚會」的「可能世界」,其餘類推。q1有八個可能解 答:「沒有人」 ... 「John、Bill和Mary」(以下分別記作a1 = Φ ... a1 = {j, b, m}),而且對應於每一個可能解答的「可能世界集合」剛好等於上述八個「可能世界」之一:

World(q1(Φ)) = {wΦ} (9)
...
World(q1({j, b, m})) = {w{j, b, m}}

至於q2,則只有兩個可能解答:「有」和「沒有」(以下分別記作a2 = y和 a2 = n)。對應於這兩個可能解答的「可能世界集合」為:

World(q2(y)) = {w{j}, w{j, b}, w{j, m}, w{j, b, m}} (10)
World(q2(n)) = {wΦ, w{b}, w{m}, w{b, m}}

容易看到,上面的(9)和(10)符合(8)的條件,所以q1蘊涵q2。上述結果亦告訴我們 q1和q2的解答之間的對應關係。舉例說,由於World(q1(Φ)) ⊆ World(q2(n)),當q1的真解答為「沒有人」時,我們便可以推斷q2的真解 答為「沒有」。

4.2 疑問句的三段論推理

接著讓我們把上述蘊涵關係推廣為「三段論推理」。「三段論推理」實質上就是兩個前提與結論之間的蘊涵關 係,這兩個前提之間又存在「合取」關係。從「可能世界集合」的角度看,兩個前提的「合取」相當於對應於 這兩個前提的「可能世界集合」的「交集」。綜合以上討論,我們可以作出如下定義:設有疑問句q、q'和q'' ,如果對q的每一可能解答a以及q'的每一可能解答a',都有q''的某個可能解答a''使得

World(q(a)) ∩ World(q'(a')) ⊆ World(q''(a''))     (11)

我們便說q、q'和q''構成「疑問三段論」,其中q和q'為前提,q''為結論。

跟「模糊三段論」相似,我們難以構造與傳統「直言三段論」具有相似形式的「疑問三段論」。不過, Groenendijk和Stokhof在Type-Shifting Rules and the Semantics of Interrogatives一文中提出了 以下推理:

前提1:q3: Whom does Mary love? (12)
前提2:q4: Who are the men?
結論:q5: Which men does Mary love?  

請注意如果我們把上述推理中的"who(m)"分解成"what + person",並把"men"、"loved by Mary"和 "person"分別看成「小項」、「大項」和「中項」,那麼上述推理在形式上便與傳統的「第三格」三段論推理 很相似。現在讓我們驗證上述推理的有效性,為簡化討論,我們假設論域中的人物只有John和Bill,並且只有 以下16個「可能世界」:

wΦ, Φ, wΦ, {j}, wΦ, {b}, wΦ, {j, b},
w{j}, Φ, w{j}, {j}, w{j}, {b}, w{j}, {j, b},
w{b}, Φ, w{b}, {j}, w{b}, {b}, w{b}, {j, b},
w{j, b}, Φ, w{j, b}, {j}, w{j, b}, {b}, w{j, b}, {j, b}

其中w{j}, Φ代表「只有John是男人並且Mary不愛任何人」的「可能世界」,其餘類推。上面 的q3、q4和q5均可以"Nobody"、"John"、"Bill"和"John and Bill"為可 能解答,可分別用Φ、{j}、{b}和{j, b}來代表。但請注意同一個解答在作為不同疑問句的解答時,可能對 應著不同的「可能世界集合」。以解答{j}為例,對應於上述三個疑問句,我們有:

World(q3({j})) = {wΦ, {j}, w{j}, {j}, w{b}, {j}, w{j, b}, {j}} (13)
World(q4({j})) = {w{j}, Φ, w{j}, {j}, w{j}, {b}, w{j}, {j, b}}
World(q5({j})) = {w{j}, {j}, w{j, b}, {j}}

請注意上面的World(q5({j}))體現了疑問句的「預設」,因為當我們以"John"回答q5 時,我們預設了John是男人,所以World(q5({j}))不應包括那些John不是男人的「可能世界」,例 如w{b}, {j}。從(13)可以看到,

World(q3({j})) ∩ World(q4({j})) ⊆ World(q5({j}))

這反映了如下事實:當某人以"John"作為q3和q4的真解答時,我們可以推斷他對 q5的真解答也必然是"John"。對於其他解答,我們也可作類似驗證,這裡不一一詳述。

我們可以把(12)抽象為以下推理形式(在下式中,A、A'和A''為「解答論元」):

前提1:who(−)(P)(A)
前提2:who(−)(S)(A')
結論:which(S)(P)(A'')  

可以證明上述「三段論」是有效的推理形式。有關「疑問三段論」的其他有效格式乃至疑問推理的一般原理, 尚有待進一步的研究。

5. 空間三段論

筆者在《廣義量詞系列:空間量化結構》中指出,"inside"、"outside"和 "overlapping"分別與量詞"all" 、 "no" 和"some"相對應,因此我們可以為含有這些 詞項的命題構造相應的「三段論推理」。筆者在上述網頁中亦指出,自然語言中的其他「方位介詞」在某種程 度上也與量詞存在對應關係。由此我們可以推斷,應可把「三段論推理」推廣至這些「方位介詞」,從而構造 出一些有效的「空間三段論」推理模式,本節將探討這個問題。

雖然筆者在上述網頁中指出,絕大多數「方位介詞」都含有"outside"的語義,但這並不代表這些介詞具有與 "no"完全相同的推理模式。舉例說,很多「方位介詞」(例如"above")都具有「傳遞性」,即符合以下 推理模式(以下把含有「方位介詞」的語句寫成「三分結構式」):

大前提:above(M)(P) (14)
小前提:above(S)(M)
結論:above(S)(P)

在這一方面,"above"等介詞與"all"具有相似的推理模式(試比較上述推理與傳統「三段論」的「AAA-1 式」):

大前提:all(M)(P)
小前提:all(S)(M)
結論:all(S)(P)

而與"no"的推理模式不相似(「EEE-1式」並非有效的推理模式)。

可是,我們亦發現某些介詞在某些方面與"no"有相似的推理模式,例如"far away from"便符合以下推 理模式:

大前提:inside(P)(M) (15)
小前提:(far away from)(S)(M)
結論:(far away from)(S)(P)

請注意上述推理模式與傳統「三段論」的「AEE-2式」非常相似:

大前提:all(P)(M)
小前提:no(S)(M)
結論:no(S)(P)

事實上,「方位介詞」的推理模式與量詞的對應關係是錯綜複雜的。某一介詞的推理模式可能在某一方面與某 一量詞相似,在另一方面卻與另一量詞相似,因此我們不能把"inside"、"outside"以外的任一「方位介詞」簡 單比附作某一量詞,而必須根據某一介詞的語義論證該介詞在某一推理模式中的有效性,以下筆者運用上述方 法驗證上面(14)和(15)的有效性。

首先考慮(14),根據上述網頁,我們可以把(14)的大前提表達為

Loc(M) ⊆ {p: ∃v (v ∈ {u: Ext(u, Loc(P)) ∧ uup > 0 ∧ |uup| > |u⊥up|} ∧ p = E-point(v))}

但上式過於繁複,不方便進行推理,所以以下改用文字與符號夾雜的方法。為簡化討論,以下只考慮一個特殊 情況,就是假設S、P和M僅包含平面上的一個點。為易於理解,讀者可參考下圖:

經上述簡化後,我們可以把(14)的大前提和小前提分別理解為:有一個向量v從P點指向M點和另一個向 量v'從M點指向S點,並且

vup > 0 ∧ |vup| > |v⊥up|
v'up > 0 ∧ |v'up| > |v'⊥up|

接著求上述兩個向量的和:v'' = v + v'v''就是由P點指向S點的向量。根據 向量「內積」的特性,我們有

v''up = (v + v') • up = vup + v'up > 0

另外,根據向量的加法,我們有v''up = vup + v'up以及v''⊥up = v⊥up + v'⊥up。由於vup > 0和v'up > 0, 我們有|v''up| = |vup + v'up| = |vup| + |v'up|。根據上述兩個前提,我們又有 |vup| + |v'up| > |v⊥up| + |v'⊥up|。最後利用不等式

|x| + |y| ≥ |x + y|

我們得到|v⊥up| + |v'⊥up| ≥ |v⊥up + v'⊥up| = |v''⊥up|。 由此最終得到

|v''up| > |v''⊥up|

綜合以上結果,(14)的結論得證,至此我們驗證了(14)的有效性。

接著考慮(15),為易於理解,讀者可參考下圖:

沿用上述網頁的定義,我們把(15)的小前提理解為

Dist(S, M) = min({Dist(x, y): x ∈ S ∧ y ∈ M}) > s

其中s代表某個長度標準。接著,根據(15)的大前提,由於所有P的點都是M的點,我們必有

z ∈ S, w ∈ P (Dist(z, w) ≥ min({Dist(x, y): x ∈ S ∧ y ∈ M}))

由此必有

min({Dist(z, w): z ∈ S, w ∈ P}) ≥ min({Dist(x, y): x ∈ S ∧ y ∈ M}))

Dist(S, P) ≥ Dist(S, M) > s

(15)的結論乃得證,至此我們驗證了(15)的有效性。

以上兩例顯示,如要發掘或證明「空間三段論」,須綜合運用「向量空間語義學」、數學以及邏輯學的知識, 筆者認為這方面的研究尚有廣闊的空間,有待學者探討。

6. 混合三段論

筆者在《廣義量詞系列:相關詞與度量結構》中介紹了「混合量化結構」 ,這種結構涉及多種論域。與此相對應,我們也可討論「混合三段論」,即涉及多種論域的「三段 論推理」,其中一種「混合三段論」就是「模態邏輯」中的某些「模態三段論」。其實筆者在 《廣義量詞系列:古典推理模式》中已介紹過「模態三段論」,當時筆者 指出,並非所有「模態三段論」都可透過把「直言三段論」的24種有效格式推廣到「可能世界論域」而得到, 這是因為某些「模態三段論」在實質上是「混合三段論」。試看以下顯然有效的推理模式:

大前提:所有M必然都是P。 (16)
小前提:有S可能是M。
結論:有S可能是P。

請注意上述推理混合了「個體論域」和「可能世界論域」上的量詞,無法表達為傳統「直言三段論」的格式。 因此為證明(16)的有效性,我們必須借助「廣義量詞理論」和「可能世界語義學」的某些定義。首先,根據上 面的小前提,我們知道在至少一個「可能世界」中命題「有S是M」是真的,假設這個「可能世界」是w,換句話 說,在w中以下「三分結構式」是真的:

some(S)(M)

其次,根據上面的大前提,在所有「可能世界」中命題「所有M都是P」是真的,這意味著在w中,以下「三分結 構式」也是真的:

all(M)(P)

接著,利用「直言三段論」的「AII-1式」,我們可以從以上兩個「三分結構式」推得,在w中以下「三分結構 式」也是真的:

some(S)(P)

換句話說,命題「有S是P」在至少一個「可能世界」中是真的,這正是上面的結論,由此證明了(16)的有效性 。

其他「模態三段論」有效格式也可使用類似的方法證明。除了「模態三段論」外,筆者認為還應存在其他類型 的「混合三段論」,但學界對這方面還沒有系統的研究,因此對此一課題的討論只能到此為止。

7. 含複雜量詞的三段論推理

在這最後一節,筆者將簡介包含某些複雜量詞(包括「結構化量詞」和「迭代量詞」)的「三段論推理」。由於 這是一個鮮有學者涉足的領域,尚無系統的研究,以下筆者只提供一些零星的有效推理模式及部分證明。 Keenan在Excursions in Natural Logic一文中提出了一個包含「<12,1>型結構化量詞」 "(more ... than ...)"的「三段論推理」有效格式:

前提1:(more ... than ...)(A, B)(D)  (17)
前提2:(more ... than ...)(B, C)(D)
結論:(more ... than ...)(A, C)(D)

以下是這個推理模式的實例:

前提1:More students than teachers signed the petition.
前提2:More teachers than deans signed the petition.
結論:More students than deans signed the petition.

請注意(17)是容易證明的,根據「結構化量詞」的真值條件,我們可以把(17)的兩個前提分別表達為|A ∩ D| > |B ∩ D|和|B ∩ D| > |C ∩ D|。接著,根據「>」的「傳遞性」,我們有|A ∩ D| > |C ∩ D|,這正是(17)的結論。

Keenan還指出,可把(17)中的量詞改為"(fewer ... than ...)"或"(exactly as many ... as ...)"等,推理模式仍然有效。此外,他還提出以下有效推理模式:

前提1:(exactly n more ... than ...)(A, B)(D)
前提2:(exactly m more ... than ...)(B, C)(D)
結論:(exactly (n + m) more ... than ...)(A, C)(D)

讀者不妨自行證明上述模式的有效性。

Peterson在其著作中介紹了「關係命題」(即包含「迭代量詞」的命題)的「三段論推理」,這種推理的結論一 般都包含一個關係分句。儘管他為這種推理提供了一套推理規則,但他沒有為這些規則提供數學論證,因此本 文不擬引述他的推理規則。以下只提供一個簡單的「迭代量詞三段論」的實例:

前提1:有一個男孩每個女孩他都愛。
前提2:有一個女孩迷戀最少三個明星。
結論:有一個男孩愛一個迷戀最少三個明星的女孩。

容易看到上述推理是有效的,因為根據前提1,我們可以假定有一個男孩b,他愛每一個女孩。另外,根據前提2 ,我們可以假定有一個女孩g,她迷戀最少三個明星;而且由於g是女孩,她為b所愛。換句話說,b愛一個迷戀 最少三個明星的女孩,因此結論得證。

上述例子顯示,要證明個別含複雜量詞的「三段論推理」並不困難,但由於這類推理中的三個命題比傳統推理 包含較多的詞項或量詞,如要逐一考察各種可能推理模式的有效性,這將是繁重的工作,還有待學者作進一步 研究。

註1:Peterson仿照古典邏輯學家的做法,使用字母P、T、K、B、D、G作為含有三個「中間量詞」的語句的代號 。有關這些代號的意思和由來,請參見《廣義量詞系列:直接推理的革新》 )。

註2:下述定理其實只是「否定後件律」(Modus Tollens) ((q ⇒ r) ∧ ~r) ⇒ ~q的擴充而已。 讀者也可以用「真值表法」證明下式為「重言式」。

註3:惟請注意,儘管以"all"為量詞的語句的集合論定義一般含有「⊆」,但為方便推理,須先運 用集合論定理把原來含有「⊆」的形式改寫為含有「∩」的形式。舉例說,由於

S ⊆ P ⇔ S ∩ ~P = Φ

我們應把「all(S)(P)」寫成a + d = 0。

註4:確切地說,Peterson在其著作中雖然推廣了「周延性」概念,但他仍然沿用其原有英文名稱 "Distribution",「周延度」一名實際上是高東平在《帶模糊量詞的性質命題推理》一文中新創的名稱。

註5:其實當代也有一些學者嘗試為「周延性」提供嚴格的定義,並論證「周延性」與「三段論」推理之間的關 係。例如van Eijck在Generalized Quantifiers and Traditional Logic一文中便把「周延性」定義為 「幾乎單調遞減性」(Almost Downward Monotonicity),並且證明了在此定義下的「周延性」正是有效「三段 論」推理的必要條件。由於van Eijck的「周延性」定義涉及本文沒有介紹的「單調性」概念,本文不擬深入討 論此一定義。

註6:此定理不難證明,讀者可自行證明之。讀者亦可繪出代表此一定理的「溫氏圖」,然後便容易看到此一定 理的正確性。

註7:請注意「all(S)(M)」也可被看成某種「例外結構」,這是因為「all(S)(M)」的真值條件 可以表達為|S − M| = 0,跟其他「例外結構」的真值條件具有相似的形式。

註8:由於"(exactly q%)"不是「模糊量詞」,它們的「隸屬度函數」化歸為「特徵函項」。請注意這 裡使用χ[Q](x)代表「非模糊量詞」Q的「特徵函項」。


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