廣義量詞系列:基本單式量詞

1. 引言

《廣義量詞系列:從量詞到廣義量詞》中,筆者介紹了「廣義量詞理論」 的早期發展。早期的「廣義量詞理論」學者所研究的「廣義量詞」(為行文方便,以下凡提到「廣義量詞」,有 時會簡稱為「量詞」)大致上只有兩種,分別相當於語法學上的「名詞短語」(包括「帶有限定詞的名詞短語」 、「專有名詞」和「代名詞」)和「限定詞」。可是,隨著研究的深入,學者們所研究的「量詞」類別越來越多 ,令這一學科的內容越來越豐富。本文會介紹「廣義量詞理論」對各種量詞的分類及命名方法,以及簡介該理 論研究得最多的「單式量詞」。

2. 基本概念

2.1 語義類型

我們首先重溫一些基本概念。當代的「形式語義學」把「個體」(用e表示)和「真值」(用t表示)定為最基本的 兩個語義類型,前者對應著自然語言中的「專有名詞」(註1)和「人稱代名詞」(註2),後者對應著「句子」, 其他語義類型都是由這兩種基本類型派生出來的,例如「不帶限定詞的名詞短語」(以下稱為「普通名詞短語」 )和「形容詞短語」的語義類型均為e → t,即把e映射到t的「一元函項」。至於「動詞短語」,則可根據 其所帶賓語的數目分為「不及物動詞(Intransitive Verb)短語」、「及物動詞(Transitive Verb)短語」和「 雙及物動詞(Ditransitive Verb)短語」,分別對應於「一元函項」(即e → t)(註3)、「二元函項」(即e → (e → t))和「三元函項」(即e → (e → (e → t)))。當我們把這些函項分別作用 於一個、兩個或三個個體「論元」時,便可得到真值。此外,還有一些無需主語或只需一個「虛主語」(Dummy Subject)的「動詞短語」,例如漢語的「下雨」(註4)和英語的"rain"等,以下借用某些語言(例如德語)的語法 術語把這些動詞短語稱為「無人稱動詞(Impersonal Verb)短語」。「無人稱動詞短語」可以被看成一種「零元 函項」,其語義類型為t,即等同於「句子」的語義類型。反過來看,我們亦可以把「句子」看成一種「零元函 項」,因為「句子」本身已具備真值,無須再作用於任何「論元」。

我們亦可以從「集合論」的角度看以上的概念。「個體」對應於某「論域」下的「元素」,「一元函項」、「 二元函項」和「三元函項」分別對應於由「元素」、「有序對」和「有序三元組」組成的「集合」。至於「句 子」或「零元函項」,在「集合論」中似乎沒有對應物(因為「集合論」沒有「真值」的概念),我們姑且把它 們看成對應於「集合論」中的「命題」,例如j ∈ SING或RAIN等。

現把以上介紹的結果整理成下表:

表1
語義類型數理邏輯上的概念集合論上的概念自然語言中的對應物
e
個體
元素
專有名詞/人稱代名詞
t
真值/零元函項
命題
句子/無人稱動 詞短語
e → t
一元函項
由元素組成的集合
普通名詞短語/
形容詞短語/不及物動詞短語
e → (e → t)
二元函項
由有序對組成的集合
及物動詞短語
e → (e → (e → t))
三元函項
由有序三元 組組成的集合
雙及物動詞短語

2.2 語義模型

接著筆者用以下這個「語義模型」闡釋上一小節介紹的概念(註5):

語義模型1:設「論域」U = PERSON = {a, c, e, j, m},並有以下定義:
a = Anne;c = Charles;e = Emily;j = John;m = Mary;
RAIN = 0;BOY = {c, j};GIRL = {a, e, m};
SING = {a, c, m};DANCE = {c, e, j, m};HAPPY = {c, e, j};
LOVE = {(j, m), (c, a), (e, c)};INTRODUCE = {(a, c, e)}

根據以上模型,我們可以判斷以下句子的真假(這裡所用的方法是根據句子的整體語義把句子翻譯成集合論語言 ,然後判斷其真值,而非根據「組合性原理」逐步計算句子的真值):

句子「下雨」可翻譯為RAIN,根據上述模型RAIN = 0,所以這句是假的。句子「Anne唱歌」可翻譯為a ∈ SING,由於SING這個集合的確包含a這個元素,所以這句是真的。句子「Mary愛John」可翻譯為(m, j) ∈ LOVE,由於LOVE這個集合並不含有(m, j)這個有序對,所以這句是假的。最後,句子「Anne把Charles介紹給 Emily」可以翻譯為(a, c, e) ∈ INTRODUCE,由於INTRODUCE正好是由(a, c, e)這個有序三元組組成的「 單元集」(Singleton),所以這句是真的。

3. 量詞的分類及命名法

筆者在《廣義量詞系列:從量詞到廣義量詞》中曾指出,根據「廣義量詞理 論」的觀點,「量詞」是以「函項」作為「論元」的「函項」,因此「量詞」可以被看成某種「高階函項」。 根據其「論元」的結構,我們可以把「量詞」劃分為不同的類型。這裡首先重溫Lindstrom對「量詞」的定義。 根據Lindstrom,一個「量詞」Q可表述為(註6)

Q(P1, P2 ... Pk)     (1)

上式表示Q是含有k個「論元」的「函項」,筆者把它稱為「k位量詞」(k-Place Quantifier);而Q的 各個「論元」P1 ... Pk本身又是「函項」,其中P1為n1元函 項 ... Pk為nk元函項。請注意在上述定義中,「位」(Place)和「元」 (Arity)是兩個不同層次的概念:前者是較高層的概念,它代表Q所含論元的數目;後者則是較低層的概念 ,它代表各個Pi (1 ≤ i ≤ k)所含論元的數目。

請注意Lindstrom的定義有足夠的概括性,可以涵蓋任何「量詞」,但其表述方法較為繁複(其實Lindstrom本來 的定義還包括「個體變項」,本文已將之大大簡化),於行文多有不便。因此之故,Keenan和Westerstahl在 Generalized Quantifiers in Linguistics and Logic一文中提出一套為「量詞」分類及命名的簡明方法 ,這套方法既反映「量詞」的論元結構,亦反映各個「論元」的內部結構和語法作用,以下稱為「嚴式記 法」。後來有些學者把「嚴式記法」進一步簡化,略去有關各個「論元」內部結構和語法作用的信息,筆 者把這種更簡單的記法稱為「寬式記法」

所謂「寬式記法」,就是把上述(1)中P1 ... Pk的「元數」n1 ... nk按順序寫成< n1, ... nk >的形式。至於「嚴式記法」,則須反映量詞 的內部結構以及各個「論元」的語法作用。以下舉一個實例以作說明。對於句子

At least three girls gave more roses than lilies to John.     (2)

我們可以抽象出以下這個「量詞」:

(at least 3 ... more ... than ... John)

以上這個量詞實際含有4個「論元」(因此它是一個「4位量詞」),第一至第三個論元為「一元函項」(在上句中 為名詞"girls"、"roses"和"lilies"),第四個論元為「三元函項」(在上句中為雙及物動詞"gave"),因此上述 量詞的「寬式記法」為<1,1,1,3>。上述量詞的「嚴式記法」除了以上內容外,還須包含以下信息:這個量詞實 際是由三個量詞(即"at least 3"、"more ... than ..."和"John")構成的複合體,這 三個量詞的論元可以區分為「名詞性」論元(在句中充當主語或賓語)和「謂詞性」論元(在句中充當「謂語動詞 」、「謂語形容詞」或「謂語名詞」)兩類。先談「名詞性」論元。"at least 3"含有一個「名詞性」 論元,"more ... than ..."含有兩個「名詞性」論元(因為它需要「填入」兩個名詞短語),而 "John"則無需任何「名詞性」論元(因為它本身已是一個名詞短語)。至於「謂詞性」論元,這三個量詞 共用一個「三元函項」作為謂語動詞。總上所述,上述量詞的「嚴式記法」為<<1,<1,1>,−>,3>,或可簡 寫成<<1,12,−>,3>,上述記法的特點是把「名詞性」論元和「謂詞性」論元分開,其中「名 詞性」論元中的「12」代表"more ... than ..."需要兩個「名詞性」論元,「−」 則代表"John"無須任何「名詞性」論元。請注意如果我們略去上述「嚴式記法」中的內層< >號和「 −」號,並把「12」還原為「1,1」,便會得到「寬式記法」。由於我們總可以從「嚴式記法 」得到「寬式記法」,以下筆者在為「量詞」分類及命名時,將主要使用「嚴式記法」。

在寫出量詞的「論元結構」時,本文亦會反映量詞的內部結構以及各個論元的語法作用。具體地說,本文會用 括號分別括出量詞的「名詞性」論元和「謂詞性」論元。假如某量詞是由複雜的詞項構成,則會用括號明確標 示各個詞項。舉例說,前述的<<1,12,−>,3>量詞的「論元結構」便會寫成

(at least 3 ... more ... than ... John)(A, (B, C), −)(D)

請注意上述量詞的「論元結構」正好與該量詞的類型<<1,12,−>,3>互相對應。

除了上述的「位」和「元」概念外,還有一個「式」(Adicity)的概念。如果某量詞Q的所有論元皆為 「一元函項」(即其「寬式記法」或「嚴式記法」中不含任何大於1的數字),我們便把Q稱為「單式量詞」 (Monadic Quantifier),否則為「多式量詞」(Polyadic Quantifier)(註7)。上述的 <<1,12,−>,3>型量詞便是一個「多式量詞」。以下筆者將介紹基本的「單式量詞」,其他較 複雜的「單式量詞」以及「多式量詞」將留待以後再介紹。

4. <−,1>型量詞

最簡單的量詞是「<−,1>型量詞」,這種量詞對應於自然語言中的「帶有限定詞的名詞短語」 (本文把"everybody"、"something"等「代名詞」也算作這種短語)和「專有名詞」(「人稱代名詞」將留待以後 再介紹)。由於這種量詞本身已是名詞短語,它們無需「名詞性」論元,只需一個「謂詞性」論元。這個「謂詞 性」論元是一個「一元函項」,即作為謂語動詞/謂語形容詞/謂語名詞的不及物動詞短語/形容詞短語/普 通名詞短語。下表列出某些<−,1>型量詞的真值條件(註8):

表2
論元結構真值條件
(everybody / everything)(−)(A)
A = U 或
PERSON / THING ⊆ A
(somebody / something)(−)(A)
A ≠ Φ 或
PERSON / THING ∩ A ≠ Φ
(nobody / nothing)(−)(A)
A = Φ 或
PERSON / THING ∩ A = Φ
John(−)(A)
j ∈ A

上表中首三行列出兩個不同的真值條件,這是因為我們可以從不同的角度看這些詞項。舉例說,"everything" 既可看成一個單詞,亦可看成"every"與"thing"的組合。請注意上表列出的兩個真值條件其實是可以互相轉化 的,當U = PERSON或U = THING時,後一真值條件便轉化為前一真值條件。舉例說,若把U = PERSON代入PERSON ⊆ A,得U ⊆ A。但由於U是「全集」(Universal Set),它不可能是任何集的真子集,所以上式又等 同於U = A。

另請注意,上表中的真值條件在表面上與《廣義量詞系列:從量詞到廣義量詞》 中所列的真值條件略有不同,這是因為在前述網頁中筆者強調<−,1>型量詞作為「集合族」的性質。 上表是把前述網頁所列的真值條件加以簡化後的結果(註9),當然我們可以把上表中的真值條件轉化為「集合族 」的形式。以"John"為例,我們可以把其真值條件改寫為:

John(−)(A) ⇔ A ∈ {X ⊆ U: j ∈ X}

換句話說,我們可以把量詞"John"看成「集合族」{X ⊆ U: j ∈ X}。

現在我們根據上表和「語義模型1」判斷以下語句的真假。首先考慮語句「有人睡覺」,這句可翻譯成 somebody(−)(SLEEP)。根據「語義模型1」,U = PERSON,所以這句的真值條件為SLEEP ≠ Φ。由於「語義模型1」沒有定義SLEEP這個集合,我們可以假定在這個模型下,SLEEP = Φ,因此「有 人睡覺」是假的。其次考慮語句「John快樂」,這句可翻譯成John(HAPPY)。我們可以循兩種途徑判斷 這句的真假。一方面,我們可以直接應用上表的真值條件,由於j ∈ HAPPY,所以「John快樂」是真的。 另一方面,我們亦可以先求出對應於"John"的「集合族」,然後看看HAPPY ∈ John是否成 立。根據「語義模型1」,

John = {X ⊆ U: j ∈ X} = {BOY, DANCE, HAPPY}

由於HAPPY ∈ {BOY, DANCE, HAPPY},因此語句「John快樂」是真的。

5. <1,1>型量詞

5.1 基本<1,1>型量詞

「<1,1>型量詞」是「廣義量詞理論」研究得最多和最深入的量詞。這種量詞對應於自然語言中的「 限定詞」,含有兩個論元。第一個論元是作為主語中心語的名詞短語,第二個論元是作為謂語動詞/謂語形容 詞/謂語名詞的不及物動詞短語/形容詞短語/普通名詞短語。下表列出某些<1,1>型量詞的真值條件(在下表 中,m、n為整數,且0 < m < n,p、q為分數,且0 < p < q < 1):

表3
論元結構真值條件
(all / every)(A)(B)
A ⊆ B
(some / a)(A)(B) (A為單數)
A ∩ B ≠ Φ
some(A)(B) (A為複數)
|A ∩ B| > 1
no(A)(B)
A ∩ B = Φ
only(A)(B)
A ⊇ B
(at least (more than) n)(A)(B)
|A ∩ B| ≥(>) n
(at most (fewer than) n)(A)(B)
|A ∩ B| ≤(<) n
(a finite number of)(A)(B)
|A ∩ B| < aleph0 (註10)
(an infinite number of)(A)(B)
|A ∩ B| ≥ aleph0
(exactly n)(A)(B)
|A ∩ B| = n
(between m and n)(A)(B)
m ≤ |A ∩ B| ≤ n
(more than m but fewer than n)(A)(B)
m < |A ∩ B| < n
(at least n or at most m)(A)(B)
|A ∩ B| ≥ n ∨ |A ∩ B| ≤ m
(more than n or fewer than m)(A)(B)
|A ∩ B| > n ∨ |A ∩ B| < m
(an even number of)(A)(B)
|A ∩ B| = 2k (k為任意正整數)
(an odd number of)(A)(B)
|A ∩ B| = 2k − 1 (k為任意正 整數)
(a majority of / most)(A)(B)
|A ∩ B| > |A − B| 或
|A ∩ B| / |A| > 0.5
(a minority of)(A)(B)
|A ∩ B| < |A − B| 或
|A ∩ B| / |A| < 0.5
(at least (more than) q)(A)(B)
|A ∩ B| / |A| ≥(>) q
(at most (less than) q)(A)(B)
|A ∩ B| / |A| ≤(<) q
(exactly q)(A)(B)
|A ∩ B| / |A| = q
(between p and q)(A)(B)
p ≤ |A ∩ B| / |A| ≤ q
(more than p but less than q)(A)(B)
p < |A ∩ B| / |A| < q
(at least q or at most p)(A)(B)
|A ∩ B| / |A| ≥ q ∨ |A ∩ B| / |A| ≤ p
(more than q or less than p)(A)(B)
|A ∩ B| / |A| > q ∨ |A ∩ B| / |A| < p

以下定義一個較複雜的語義模型,這個語義模型是「語義模型1」的擴展,除了包括基本定義外,還包括「意義 公設」(Meaning Postulate),以方便進行某些邏輯推導。

語義模型2:設「論域」U = {a, c, d, e, f, j, m},並有以下定義:
a = Anne;c = Charles;d = Dolly;e = Emily;f = Fido;j = John;m = Mary;
RAIN = 0;BOY = {c, j};GIRL = {a, e, m};DOG = {d, f};
SING = {a, c, m};DANCE = {c, e, j, m};HAPPY = {c, d, e, j};
LOVE = {(j, m), (c, a), (e, c)};INTRODUCE = {(a, c, e)}
以下為「意義公設」:
1. BOY ⊆ PERSON
2. GIRL ⊆ PERSON
3. DOG ⊆ THING
4. HAPPY ⊆ ~SAD (註11)

根據上表和「語義模型2」,我們可以判斷某些含有「限定詞」的語句的真假。舉例說,語句「所有男孩都快樂 」可以翻譯成all(BOY)(HAPPY)。由於根據「語義模型2」,BOY ⊆ HAPPY,所以語句「所有男孩都 快樂」是真的。另外,語句「最多一半女孩跳舞」可以翻譯成(at most 1/2)(GIRL)(DANCE)。由於根據 「語義模型2」,|GIRL ∩ DANCE| / |GIRL| = 2/3 > 1/2,所以「最多一半女孩跳舞」是假的。

利用上面的「意義公設」,我們還可以作出某些邏輯推導,從而判斷更多語句的真假。以語句「只有人才快樂」 為例,這句可翻譯為PERSON ⊇ HAPPY。根據上面的「意義公設」1和2,只有BOY和GIRL才是PERSON的子集 ;可是根據「語義模型2」,HAPPY有一個元素d既不屬於BOY也不屬於GIRL,因此PERSON並非HAPPY的母集 (Superset),從而得知「只有人才快樂」是假的。

基於類似的原理,我們還可以判斷某些包含"everybody"等詞項的句子的真假。舉例說,語句「有人並不憂傷」 可以翻譯成somebody(−)(~SAD)。由於在「語義模型2」下,U ≠ PERSON,所以根據前述的表2 ,這句的真值條件應為PERSON ∩ ~SAD ≠ Φ。現在根據「語義模型2」,BOY ∩ HAPPY ≠ Φ。由於根據「意義公設」1和4,PERSON和~SAD分別為BOY和HAPPY的母集,而根據集合論的定理 (或根據常理推斷),若兩個集合的交集非空,那麼它們的母集的交集也自然非空,即

BOY ∩ HAPPY ≠ Φ ⇒ PERSON ∩ ~SAD ≠ Φ

由此可知,「有人並不憂傷」是真的。

5.2 有定限定詞

「有定限定詞」(Definite Determiner)是<1,1>型量詞的一個小類。「有定」(Definiteness)是一個 與名詞短語有關的語義概念,一個名詞短語是「有定」的,如果它等同於語境中的某個或某些特定事物,且能 與語境中的其他同類事物區分開來。「有定限定詞」則是指專門用來構成有定名詞短語的限定詞。在自然語言 中,最常見的「有定限定詞」包括英語的「定冠詞」"the"以及由"the"派生出來的"the n"、"both" (= "all of the two")、「名詞所有格」以及「指示限定詞」(Demonstrative Determiner) "this"、"that"等。請注意"this"、"that"等「指示限定詞」有 多種語義,其中一種語義與"the"近似,可被視為"the"的變體。由於「名詞所有格」將留待以 後再介紹,而其他「有定限定詞」可被視為由"the"派生出來,所以以下將集中討論"the"的語 義。

Westerstahl在Determiners and Context Sets一文中討論了名詞短語的「語境」問題,他提出「語境 集」(Context Set)的概念,其作用是限定名詞短語的所指範圍。對於「有定限定詞」來說,這一點尤為重要, 因為「有定限定詞」會為位於其後的普通名詞短語引入一個限定其所指範圍的「語境集」,使該名詞短語成為 「有定」的名詞短語。Westerstahl把"the"引入的「語境集」設定為一個集合變項X。這個變項可以是 整個論域,也可以是論域的某個子集,其實際值會隨著實際語境而變化。這樣我們便可以把"the T-shirt"表達 為X ∩ T-SHIRT。其實,對於「語境集」的確切定義,語義學界並無統一的說法,可謂人言人殊,筆者認為 我們可以把"the T-shirt"的意思理解為「當前語境凸顯(Salient)的那件T恤」,這樣X便相當於{x ∈ U: SALIENT(x)},即由「當前語境凸顯的事物」組成的集合。當然這裡的函項SALIENT本身是一個動態的概念,它 的所指會隨著語境的改變而變化(註12)。

除了介紹「語境集」的概念外,Westerstahl還論證了絕大多數「有定限定詞」在語義上都是全稱限定詞 "all"的特例,只有"either"和"neither"例外。其實,除了全稱語義外,根據歷來對「 有定摹狀詞」(Definite Description,即帶有「定冠詞」的名詞短語)的研究,"the T-shirt"的語義還包含一 個「預設」(Presupposition),即這裡的"T-shirt"在語境中必須是唯一存在的。據此,「有定限定詞」的集合 論定義應為一個「部分函項」(Partial Function)(即只有當有關語句滿足某些特定條件時,該語句才有真值) ,由主體部分和特定條件兩部分組成,主體部分表達「有定限定詞」的全稱語義,應像"all"的定義那 樣包含一個「⊆」關係;特定條件則表達「有定限定詞」的預設,應包含一個數值比較關係(註13)。下表 列出某些「有定限定詞」的真值條件:

表4
論元結構真值條件
the(A)(B) (A為單數)
X ∩ A ⊆ B, if |X ∩ A| = 1
the(A)(B) (A為複數)
X ∩ A ⊆ B, if |X ∩ A| > 1
(the n)(A)(B)
X ∩ A ⊆ B, if |X ∩ A| = n
both(A)(B)
X ∩ A ⊆ B, if |X ∩ A| = 2
either(A)(B)
(X ∩ A) ∩ B ≠ Φ, if |X ∩ A| = 2
neither(A)(B)
(X ∩ A) ∩ B = Φ, if |X ∩ A| = 2

請注意上表包含了"either" (= "at least one of the two")和"neither" (= "none of the two"),這兩個詞雖然不算作「有定限定詞」,但由於它們在語義上跟"both"有密切關係,所以也一併 歸入上表。

現在我們根據上表和「語義模型2」,判斷語句"Both girls danced."的真假。這句可翻譯為 both(GIRL)(DANCE)。現假設這句出現的語境為,前文剛剛提過Emily和Mary,那麼X ∩ GIRL = {e, m}。由於|{e, m}| = 2,並且根據「語義模型2」,{e, m} ⊆ DANCE,所以這句是真的。但假如前文剛剛 提過的人物是Emily和John,這時X ∩ GIRL = {e}。由於|{e}| ≠ 2,所以在此情況下"Both girls danced."違反了量詞"both"的預設,因而無真假可言。

5.3 部分格結構

「部分格結構」(Partitive Construction)是指形式為「Q + of the n + 名詞」的結構,這裡Q代表 一個限定詞,n代表一個自然數,這種結構的例子如"more than four of the ten students"。從論元結構上看 ,「部分格結構」中的"(Q of the n)"相當於一個<1,1>型量詞,因為其後需要一個「名詞性論元」和 一個「謂詞性論元」。在自然語言中,某些「部分格結構」也可表現為「Q + of the + 名詞」的形式,例如 "all of the students"。此外,還有一種形式為「Q + 單位詞 + of + 名詞」的「準部分格結構」,例如"a group of students"。由於上述兩類結構的真值條件較為複雜,筆者不考慮這兩類結構,以下只集中討論形式 為「Q + of the n + 名詞」的結構。

「部分格結構」的語義特點是它同時含有「有定」和「部分」的意思,即"(Q of the n)(A)(B))"表達 了在當前語境中凸顯的那n個A中,有Q個也是B。由於含有「有定」和「部分」的意義,集合A在數量上必須等於 n,此即「部分格結構」的「預設」,因此「部分格結構」的集合論定義也表現為一個包含「預設」的「部分函 項」。下表列出某些「部分格結構」的真值條件(以下僅考慮A為複數名詞的情況)(在下表中,l、m和n為自然數 ,並且0 < l < m < n):

表5
論元結構真值條件
(all / each of the n)(A)(B)
X ∩ A ⊆ B, if |X ∩ A| = n
(some of the n)(A)(B)
X ∩ A ∩ B ≠ Φ, if |X ∩ A| = n
(none of the n)(A)(B)
X ∩ A ∩ B = Φ, if |X ∩ A| = n
(more (fewer) than m of the n)(A)(B)
|X ∩ A ∩ B| >(<) m, if |X ∩ A| = n
(exactly m of the n)(A)(B)
|X ∩ A ∩ B| = m, if |X ∩ A| = n
(between l and m of the n)(A)(B)
l ≤ |X ∩ A ∩ B| ≤ m, if |X ∩ A| = n
(more than l but fewer than m of the n)(A)(B)
l < |X ∩ A ∩ B| < m, if |X ∩ A| = n
(at least m or at most l of the n)(A)(B)
|X ∩ A ∩ B| ≥ m ∨ |X ∩ A ∩ B| ≤ l, if |X ∩ A| = n
(more than m or fewer than l of the n)(A)(B)
|X ∩ A ∩ B| > m ∨ |X ∩ A ∩ B| < l, if |X ∩ A| = n

現在我們根據上表和「語義模型2」,判斷語句"None of the 3 girls are happy."的真假。這句可翻譯為 (none of the 3)(GIRL)(HAPPY)。現假設這句出現的語境為,前文剛剛提過模型中的3名女孩,那麼|X ∩ GIRL| = 3,這句的「預設」得到滿足。但是由於根據「語義模型2」,X ∩ GIRL ∩ HAPPY = {e} ≠ Φ,所以這句是假的。

6. 結構化量詞

6.1 第一類結構化量詞

「結構化量詞」(Structured Quantifier)是<1,1>型量詞的推廣。Beghelli在Structured Quantifiers一文中詳細研究了「結構化量詞」,他把這類量詞分為三種類型。第一類是某些「數量比 較詞」(Quantity Comparative)。以句子

More girls than boys sang.     (3)

為例,我們可以從這句抽象出以下這個量詞:

(more ... than ...)(A, B)(C)

這是一個「3位量詞」,它含有兩個「名詞性」論元和一個「謂詞性」論元。由於這些論元都是「一元函項」, 這個量詞的類型為<<1,1>,1>,或簡記為<12,1>。Beghelli指出,"more ... than ..."除了表現為 <12,1>型量詞外,還可表現為其他類型的量詞。試看以下例句:

More girls sang than danced.     (4)
More girls sang than boys danced.     (5)

上述的例句(4)含有一個「名詞性」論元和兩個「謂詞性」論元,所以該句量詞的類型為<1,12>; 例句(5)則含有兩個「名詞性」論元和兩個「謂詞性」論元,所以該句量詞的類型為 <12,12>。由此可見,第一類「結構化量詞」具有比<−,1>型和<1,1>型量詞豐富 得多的論元結構類型。下表列出對應於英語"more ... than ..."的三個「結構化量詞」的真值條件:

表6
量詞類型論元結構真值條件
<12,1>
(more ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| > |B ∩ C|
<1,12>
(more ... than ...)(A)(B, C)
|A ∩ B| > |A ∩ C|
<12,12>
(more ... than ...)(A, B)(C, D)
|A ∩ C| > |B ∩ D|

上表顯示,雖然英語中同一個「數量比較詞」可以對應著三個量詞,但這些量詞有共同的「意義內核」,例如 "more ... than ..."的意義內核就是數學上的「>」關係,上表中三個量詞的差別只在於論元之間的組合關係 。因此在學習這些「數量比較詞」時,我們只須學習其意義內核,論元之間的組合關係可以根據句子的結構推 導出來。下表列出某些<12,1>型的第一類「結構化量詞」的真值條件(在下表中,q為百分數,且0 < q < 1)(註14):

表7
量詞類型論元結構真值條件
<12,1>
(more (fewer) ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| >(<) |B ∩ C|
<12,1>
(at least (at most) as many ... as ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| ≥(≤) |B ∩ C|
<12,1>
(exactly as many ... as ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| = |B ∩ C|
<12,1>
(at least n more ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| − |B ∩ C| ≥ n
<12,1>
(exactly n more ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| − |B ∩ C| = n
<12,1>
(at least n fewer ... than ...)(A, B)(C)
|B ∩ C| − |A ∩ C| ≥ n
<12,1>
(exactly n fewer ... than ...)(A, B)(C)
|B ∩ C| − |A ∩ C| = n
<12,1>
(at least n times as many ... as ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |B ∩ C| ≥ n
<12,1>
(exactly n times as many ... as ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |B ∩ C| = n
<12,1>
(at least q more ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |B ∩ C| ≥ 1 + q
<12,1>
(exactly q more ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |B ∩ C| = 1 + q
<12,1>
(at least q less ... than ...)(A, B)(C)
|B ∩ C| / |A ∩ C| ≥ 1 / (1 − q)
<12,1>
(exactly q less ... than ...)(A, B)(C)
|B ∩ C| / |A ∩ C| = 1 / (1 − q)
<12,1>
(proportionally more (fewer) ... than ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |A| >(<) |B ∩ C| / |B|
<12,1>
(at least (at most) the same proportion of ... as ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |A| ≥(≤) |B ∩ C| / |B|
<12,1>
(exactly the same proportion of ... as ...)(A, B)(C)
|A ∩ C| / |A| = |B ∩ C| / |B|

請注意根據對稱性,上表還應包括"(at most n more ... than ...)"、"(at most n fewer ... than ...)"、"(at most n times as many ... as ...)"、"(at most q more ... than ...)"、"(at most q less ... than ...)"這五個量詞,但這裡有一個「預設」的問題。以「 <12,1>型量詞」"(at most n more ... than ...)"為例,如果我們把這個量詞的真值條件 定為

(at most n more ... than ...)(A, B)(C) ⇔ |A ∩ C| − |B ∩ C| ≤ n

這是不正確的,這是因為上式容許n為0或負數,即容許|A ∩ C| ≤ |B ∩ C|,但上述量詞的語義卻 預設了|A ∩ C|必須大於|B ∩ C|。舉例說,當我們說

At most 3 more boys than girls sang.

時,我們一般預設了唱歌的男孩較唱歌的女孩多,只不過兩者之差不大於3而已。假如唱歌的男孩人數實際上等 於或少於唱歌的女孩人數,那麼上句便是不合適的。由此可見,如要準確表達上述量詞的語義,我們必須交代 其預設,即把其真值條件表達為

|A ∩ C| − |B ∩ C| ≤ n, if |A ∩ C| > |B ∩ C|

可是這麼一來,上述五個「結構化量詞」的真值條件便與其他「結構化量詞」很不協調,因此本文不把這五個 「結構化量詞」列入上表。

現在我們根據上表和「語義模型2」判斷語句

At least 2 times as many girls danced as boys sang.

的真假,這句可翻譯成(at least 2 times as many ... as ...)(GIRL, BOY)(DANCE, SING),這是一 個<12,12>型量詞。我們可以根據上表第8行的意義內核推導出其真值條件如下:

|GIRL ∩ DANCE| / |BOY ∩ SING| ≥ 2

根據「語義模型2」,|GIRL ∩ DANCE| = 2,|BOY ∩ SING| = 1,因此上句是真的。

6.2 第二類結構化量詞

第二類「結構化量詞」是某些「同異比較詞」(Identity Comparative)。以句子

The same girls sang as danced.     (6)

為例,我們可以從這句抽象出以下這個量詞:

(the same ... as ...)(A)(B, C)

容易看到,上述量詞的類型為<1,12>。下表列出某些第二類「結構化量詞」的真值條件:

表8
量詞類型論元結構真值條件
<1,12>
(the same ... as ...)(A)(B, C)
A ∩ B = A ∩ C
<1,12>
(different ... than ...w)(A)(B, C)
A ∩ B ≠ A ∩ C
<1,12>
(different ... than ...s)(A)(B, C)
(A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = Φ
<1,12>
(whatever ... also ...)(A)(B, C)
A ∩ B ⊆ A ∩ C

請注意"different ... than ..."有強弱兩種意義(分別用下標s和w代表),反映了兩種「不同」關係,其中弱 意義下的「不同」是指有關的兩個集合含有並不完全相同的元素,而強意義下的「不同」則是指有關的兩個集 合沒有共同的元素。

現在我們根據上表和「語義模型2」判斷語句

Different girls sang than danced.

的真假,這句可翻譯為(different ... than ...w / s)(GIRL)(SING, DANCE)。如前所述 ,"different ... than ..."有強弱兩種意義,在不同意義下,上句的真值可能有所不同。根據上表,在弱和 強兩種意義下,上句的真值條件分別為

GIRL ∩ SING ≠ GIRL ∩ DANCE
(GIRL ∩ SING) ∩ (GIRL ∩ DANCE) = Φ

根據「語義模型2」,GIRL ∩ SING = {a, m},GIRL ∩ DANCE = {e, m},因此在弱意義下,上句是真 的;但在強意義下,上句卻是假的。

一般來說,第二類「結構化量詞」只有<1,12>這一種類型。當然,若純粹從邏輯上看,我們總可構 造包含「同異比較詞」但具有其他論元結構的語句。試看以下例句:

The students who are singing are the same (entities) as the youngsters who are dancing.     (7)

上句的真值條件可以表達為

STUDENT ∩ SING = YOUNGSTER ∩ DANCE (註15)

因此我們似乎可以把(7)抽象為

(the same ... as ...)(STUDENT, YOUNGSTER)(SING, DANCE)

從而把(7)分析成論元結構為<12,12>的句子。可是,從語法的角度看,在(7)中"the same ... as"並非作為"students"和"youngsters"的限定詞,這裡出現了語法與邏輯不一致的情況。事實上, 為了更合符(7)的語法結構,我們可以把(7)中的"the same ... as"處理成以下二元謂詞:

SAME(A, B) ⇔ A = B

從而把(7)抽象為

SAME(STUDENT ∩ SING, YOUNGSTER ∩ DANCE)

或甚至

(STUDENT ∩ SING, YOUNGSTER ∩ DANCE) ∈ SAME

由此可見,「同異比較詞」並不一定都要被分析成「<12,12>量詞」,在某些情況下它 們可能只表現為二元謂詞。

6.3 第三類結構化量詞

第三類「結構化量詞」是指由較簡單的「單式量詞」通過各種「布爾運算」(Boolean Operation)(包括「否定」 、「合取」Conjunction、「析取」Disjunction等)而得的複合結構,Beghelli把這類量詞稱為「布爾量詞 」(Boolean Quantifier)。由於我們可以根據各類「布爾運算」的定義推導這類量詞的真值條件,因此我 們無需列出這些量詞的真值條件。以下僅舉幾個例子以作說明。

最簡單的「布爾量詞」是以「並列連詞」連接<−,1>型量詞的量詞,例如"(both John and Mary)"、"(either everybody or nobody)"、"(neither everything nor nothing)"等。 容易看到,這類量詞的類型也是<−,1>,其真值條件也不難推導,例如"(neither everything nor nothing)"的真值條件便是

(neither everything nor nothing)(−)(A) ⇔ A ≠ U ∧ A ≠ Φ 或 THING ~⊆ A ∧ THING ∩ A ≠ Φ

較複雜的「布爾量詞」是以「並列連詞」連接限定詞的量詞,由於並列項的數目原則上沒有上限,這類量詞的 論元數目也沒有上限。舉例說,原則上我們可以用"every ..., ... and ..."的結構連接無數個並列項。以下 寫出用這個結構連接4個並列項的情況:

(every ..., ..., ... and ...)(A, B, C, D)(E) ⇔ (A ∪ B ∪ C ∪ D) ⊆ E

容易看到,以上這個量詞的類型為<14,1>。

此外,「布爾量詞」的並列項並不限於「名詞性論元」,也可以是「謂詞性論元」。舉例說,語句"Every student talked and ate and drank"便可以抽象為具有以下真值條件的<1,13>型量詞:

every(A)(B, C, D) ⇔ A ⊆ (B ∩ C ∩ D)

當然,我們還可以利用「布爾運算」把本身已是複合結構的量詞複合而成更複雜的量詞,因此原則上「布爾量 詞」的結構複雜性也是沒有上限的。試看以下這個<<1,12>,1>型量詞:

(between m and n ... and at least p times as many ... as ...)(A, (B, C))(D) ⇔ m ≤ |A ∩ D| ≤ n ∧ |B ∩ D| / |C ∩ D| ≥ p

上述這個量詞實質上是把"(between m and n)"與"(at least p times as many ... as ...)" 這兩個量詞並列的結果。在某些情況下,並列項之間還可以在語義上存在依存關係,試看以下例句:

Between 5 and 10 dogs and at least twice as many cats were inoculated.

在上句中,"(at least twice as many)"便依存於"(between 5 and 10)",即接受防疫注射的 貓的數目是接受防疫注射的狗的數目的兩倍或以上(儘管我們不知道接受防疫注射的狗的確切數目)。我們可以 把上句中的量詞及其真值條件抽象為以下<12,1>型量詞:

(between m and n ... and at least p times as many ...)(A, B)(C) ⇔ m ≤ |A ∩ C| ≤ n ∧ |B ∩ C| / |A ∩ C| ≥ p

7. "all"、"at least"與"exactly"的特殊性

7.1 "all"的普遍性

根據表3,「全稱限定詞」(all / every)(A)(B)的「真值條件」為A ⊆ B,我們可以把「子集」關 係「⊆」看成「全稱限定詞」的特徵。可是,除了"all / every"外,在自然語言中尚有其他量詞也可表達 為「⊆」關係,例如上面表4的「有定限定詞」的「真值條件」便都包含著「⊆」關係。在本小節筆者 將介紹幾種「光桿名詞短語」(Bare Noun Phrase,即不帶限定詞的名詞短語)(註16),這類名詞短語 包括「專有名詞」、光桿「類名詞」和光桿「抽象名詞」。它們的共同點是含有全稱語義,都可表達為 all(A)(B)的形式,由此可見「全稱限定詞」在自然語言的語義中具有普遍性。

「專有名詞」(Proper Noun)是最常見的「光桿名詞短語」。根據上面的表2,「專有名詞」可被處理 成「<−,1>型量詞」,其「真值條件」為

John(−)(A) ⇔ j ∈ A

但上式並非表達「專有名詞」真值條件的唯一方式。在「集合論」上,我們可以把把元素與集合之間的「 ∈」關係轉化為由有關元素組成的集合與母集之間的「⊆」關係,即把命題j ∈ A改寫成{j} ⊆ A。這樣我們便把「專有名詞」"John"處理成"all({j})"的形式。換句話說,語句「John唱歌」 既可表達為John(−)(SING),又可表達為all({j})(SING)。由此可見,以「專有名詞」為 主語的句子可被視為一種「全稱命題」。

這裡順帶一提的是,在5.2小節,筆者把包含「有定摹狀詞」的語句處理成「the(A)(B)」的形式,這體 現了「有定摹狀詞」的內部結構。但在某些情況下,當上述結構中的「名詞性論元」A是單數普通名詞短語時, 「the(A)」的作用跟「專有名詞」非常相似,都是代表個體。在這種情況下,我們不妨把「 the(A)」表達為跟「專有名詞」相同的形式。舉例說,在語句"The boy sang."中,"the boy"在當前語 境下是一個確定的個體,相當於一個「專有名詞」。假如我們無需著重表達"the boy"的內部結構,我們不妨用 「個體常項」b代表這個「有定摹狀詞」,從而把該句表達為all({b})(SING)。

其次討論光桿「類名詞」(Generic Noun)(註17)。根據Cohen的Genericity一文,不同學者對 「類名詞」的處理手法千差萬別,由此可見「類名詞」的語義問題並不簡單。本文採納Carlson在A Unified Analysis of the English Bare Plural以及Generics and Atemporal When這兩篇論文中提出的觀 點,把「類」看成個體,而光桿「類名詞」則相當於指稱這些個體的「專有名詞」。不過,由於「類」與普通 的個體畢竟具有很不相同的性質,如果把這兩類個體簡單地處理成相同的事物,未免過於粗疏,所以Carlson把 「物體」(Object)與「類」(Kind)處理成論域中兩種不同的「實體」(Entity),前者的例子如"John"、"Fido" 等,後者的例子如"humans"、"cows"等。這兩類實體雖然各不相同,但互有聯繫,這種聯繫稱為「實現」 (Realization)或「例示」(Instantiation),可以用函項REALIZE來表示。舉例說,如果我們用c代表「牛」此 一類別,那麼REALIZE(x, c)便代表物體x是牛此一類別的一種「實現」或「例示」。由於「x是一頭牛」亦可以 表達為x ∈ COW,我們可以把c與COW的關係表達為

COW = {x: REALIZE(x, c)}

即COW是由那些實現「牛」此一類別的所有物體組成的集合。請注意儘管c與COW都代表「牛」,但兩者代表不同 的概念:c既非集合亦非「物體」,而是「類」這種抽象的實體,它與x的關係是一種特殊的「實現」關係;而 COW則是集合,它與x的關係是集合與元素之間的「屬於」關係。

「類」與「物體」是兩種不同的實體,與它們連用的謂詞各有不同,因此根據類型論的原則,相應地我們也要 區分兩種不同的謂詞(註18)。有少數謂詞專門與「類名詞」連用,包括"widespread"、"common"、"extinct"、 "rare"等,可稱為「類謂詞」(Generic Predicate)。這些謂詞與光桿「類名詞」的關係就像普通謂詞與「專有 名詞」的關係一樣,例如語句

Dinosaurs are extinct.

便可以表達為

d ∈ EXTINCT

由於以「專有名詞」為主語的句子可被改寫成一種「全稱命題」,上句亦可以表達為

all({d})(EXTINCT)

有些謂詞則主要與代表「物體」的名詞連用,但偶爾亦可與「類名詞」連用,例如"intelligent"、 "hard-working"等等,Carlson把這些謂詞一律處理成「物體謂詞」(Object Predicate)。此外,他還提出一個 類型轉換函項Gn,其作用是把「物體謂詞」轉換成「類謂詞」,「物體謂詞」經上述轉換後便可與「類名詞」 連用。舉例說,以下語句

John is hard-working.
Cows are hard-working.

便要分別表達為

all({j})(HARD-WORKING)
all({c})(Gn(HARD-WORKING))

在上面第二句中,由於"cows"是「類名詞」,我們必須先用函項Gn把「物體謂詞」HARD-WORKING轉換成「類謂 詞」,然後才能與c在類型上相匹配。

最後討論光桿「抽象名詞」(Abstract Noun)。「抽象名詞」是一個非常龐雜的類屬,這裡主要指當 作名詞使用的動詞和形容詞。某些動詞和形容詞在用作主語時可被看成一種抽象的個體,此即語言學上的「名 物化」(Nominalization)現象。筆者認為可以把光桿「抽象名詞」當作光桿「類名詞」處理,這樣以光桿「抽 象名詞」為主語的句子便也可被處理成一種「全稱命題」。例如語句

Smoking is hazardous.
Beauty is sinful.

便可分別表達為

all({s})(Gn(HAZARDOUS))
all({b})(Gn(SINFUL))

請注意在上式中s和b分別代表"smoking"和"beauty"這兩個「抽象名詞」,它們被處理成與「類名詞」同類的實 體,而HAZARDOUS和SINFUL則是「物體謂詞」,所以以上兩式要使用函項Gn。

7.2 "all"、"at least"與"exactly"的無標記和有標記語義

如前所述,我們把"all"的基本語義定為集合論上的「子集」關係「⊆」而非「等同」關係「=」, 這是因為當我們說「所有A是B」時,我們只著眼於集合A中元素的情況,對論域U中其他非A元素與集合B的關係 並無說明,並不排除這些非A元素也屬於B的可能性。舉例說,當我們說「所有男孩都快樂」時,並不排除其他 人或動物也快樂的可能性。其他帶有全稱語義的量詞(包括上一小節討論的「光桿名詞短語」以及「有定限定詞 」)的情況也類似。

類似地,我們把表達數量(包括「絕對數量」和「相對數量」,即分數)的量詞的基本語義定為數學上的「至少」 關係「≥」而非「等於」關係「=」,這是因為當我們說「n個A是B」(n為整數)或「q A是B」(q為分數)時, 我們只著眼於那「n個A」或「q A」的情況,對集合A中其他元素與集合B的關係並無說明,並不排除A中其他元 素也屬於B的可能性。舉例說,當我們說「三個男孩穿校服」或「一半男孩穿校服」時,並不排除其他男孩也穿 校服的可能性。換句話說,我們是把「n個A是B」和「q A是B」分別理解成「至少n個A是B」和「至少q A是B」 。

至此我們可以作出總結:含有全稱語義或表達數量的量詞在「無標記」情況下分別表達「⊆」和「≥」 關係,但當這些量詞帶有"exactly"、"about"、"approximately"、"at most"、"only"、"except"、"not"等修 飾語或介詞時,它們的語義便變成「有標記」的,不再表達「⊆」和「≥」關係。這裡特別要提的是 "exactly",因為這個詞的用法頗為靈活,既可放在數詞前(例如"exactly 2 boys"),又可放在多種含有全稱語 義的量詞前(例如"exactly those books")。在前一種情況下,"(exactly n)"或"(exactly q)" 表達數學上的「=」關係,前面的表3已涵蓋了這一點,這裡不再贅述。在後一種情況下,「exactly + 含有全 稱語義的量詞」表達集合論上的「=」關係。現把"exactly"與各種含有全稱語義的量詞的可能組合及其真值條 件列於下表:

表9
量詞類型論元結構真值條件
<−,1>
(exactly John)(−)(A)
A = {j}
<1,1>
(exactly this / that)(A)(B) (A為單數)
X ∩ A = B, if |X ∩ A| = 1
<1,1>
(exactly these / those)(A)(B) (A為複數)
X ∩ A = B, if |X ∩ A| > 1
<1,1>
(exactly these / those n)(A)(B)
X ∩ A = B, if |X ∩ A| = n

對於上表,有一點要說明的是,在英語中,「exactly + 含有全稱語義的量詞」結構最常出現於賓語或主語補 語位置,例如"I have read exactly those three books."或"This is exactly the required information." ,一般不能出現於句首作主語。如要以這類結構作主語,一般要採取「分裂句」(Cleft Sentence)或「準分裂 句」(Quasi-Cleft Sentence)的形式,例如"It was exactly John who helped us."。

至此,筆者已介紹了基本的「單式量詞」。從上面表3至表8可以看到,基本的「單式量詞」已涵蓋了數學上以 及自然語言中很多常用的量詞。不過,隨著研究的深入,學者發掘出更多「單式量詞」,並對某些「單式量詞」 的語義進行細致的研究,這些內容將留待以後再介紹。

註1:筆者在《廣義量詞系列:從量詞到廣義量詞》中指出,在「廣義量詞 理論」之下,「專有名詞」其實有兩種語義類型:e和(e → t) → t。前者是「現代數理邏輯」對「 專有名詞」的一般處理方法,可以看成「專有名詞」的基本語義類型;後者則是「廣義量詞理論」的處理方法 ,是對本來類型為e的「專有名詞」進行「類型轉換」後所得的語義類型。

註2:自從Montague以來,學者大多把「人稱代名詞」處理成「個體變項」(「專有名詞」則是「個體常項」)。 但Keenan在Semantic Case Theory一文中提出把「人稱代名詞」處理成因應語境變化的函項,以反映這 些代名詞的「指示」(Deixi)及「照應」(Anaphora)功能。這樣,「人稱代名詞」的語義類型便變成把語境映射 到個體的函項。

註3:由此可見,「形式語義學」是把「普通名詞短語」與「形容詞短語」和「不及物動詞短語」看成具有相同 的語義類型。這是合理的,因為在某些語言中,「普通名詞短語」可以直接放在「連系動詞」後充當「謂語名 詞」,跟「形容詞短語」在「連系動詞」後充當「謂語形容詞」以及「不及物動詞短語」充當「謂語動詞」具 有類似的語法功能,例如在法語中便可以說"Jean est professeur." (意即「Jean是老師」)。但請注意英語的 「謂語名詞」一般需要加上「不定冠詞」才合語法,例如在英語中必須說"John is a teacher.",不過英語的 情況在世界上各種語言中是例外而非通則。

註4:這裡是把「下雨」看成一個詞,當然有些人可以把它看成為「述賓短語」,這樣「下」便是一個無需主語 的及物動詞,即一個「一元函項」。

註5:嚴格地說,以下的定義應使用「解釋函項」(Interpretation Function,其符號為|| ||),例如應把「a = Anne」寫成「||a|| = Anne」。不過由於本文只假設讀者對樸素集合論有基本認識,本文無意引入此一「形 式語義學」概念。另外,由於RAIN是一個「零元函項」,它具有與「句子」一樣的語義類型,所以在以下定義 中其語義值為真值0或1。

註6:本文為簡化符號,把「量詞」符號中代表「論域」的下標一律略去。

註7:鄒崇理在《邏輯、語言和信息》一書中把"Monadic"和"Polyadic"分別譯成「單一模式」和「多樣模式」 ,本文把這兩個術語簡化為「單式」和「多式」。

註8:在《廣義量詞系列:從量詞到廣義量詞》中,筆者曾經使用「 ∀U」等符號代表"everybody"等詞項,本文為簡化符號,一般採用代表某量詞的英語詞作為 該量詞的符號,並以斜體形式出現,例如以「everybody」代表「全稱量詞」。

註9:筆者在《廣義量詞系列:從量詞到廣義量詞》中著重把<−,1>型 量詞的真值條件表述為「集合族」的形式,這是因為這是「廣義量詞理論」早期對<−,1>型量詞的理解。 而且由於<−,1>型量詞的論元結構簡單,它們的「集合族」形式並不十分繁複。可是對於論元結構較為複 雜的量詞,它們的「集合族」形式便十分繁複。本文為簡明起見,一般把量詞的真值條件表述為集合的某種屬 性或集合之間的某種關係,這種表述形式比「集合族」形式較為簡單。

註10:aleph是希伯來語的第一個字母。由於Big5碼無法顯示希伯來語字母,所以用其拉丁拼音表示。在數學上 ,aleph0是最小的「超窮基數」(Transfinite Cardinal Number),即「可數無窮集」(Countably Infinite Set)的基數,例如所有自然數組成的集合的基數就是aleph0。比aleph0更大 的「超窮基數」(如aleph1、aleph2等)是「不可數無窮集」(Uncountably Infinite Set)的基數,例如區間[0, 1]中所有實數組成的集合的基數就是aleph1。另請注意,這裡的「<」 以及下一行的「≥」並非實數之間的大小關係(因為aleph0等不是實數),而是集合基數之間的一 種「序關係」。根據集合論的定義,|A| ≤ |B|是指存在一個「一對一」(One-One)函數從A映射到B;而|A| < |B|則是指|A| ≤ |B|並且並非|B| ≤ |A|。

註11:「~」這個符號在本文中代表多重意思,它既可代表邏輯上的「否定」(Negation),亦可代表集合的「相 對補(Relative Complement)運算」,即~A = U − A。請注意這兩種意思其實是相通的。

註12:請注意以上所說只是就一般情況而言。某些帶有"the"的名詞短語如果含有限制性的定語,例如"the unique answer"中的形容詞"unique"以及"the hat that you are wearing"中的定語分句"that you are wearing",這些名詞短語的所指便會受到定語的限制而被唯一確定,因而無需引入「語境集」X。有關形容詞和 定語分句的形式表達將留待以後再介紹。

註13:並非所有學者都採取這種處理手法。有些學者把「有定限定詞」視為「全函數」(Total Function)而非 「部分函數」,當限定詞不滿足特定條件時,函項的值為0。

註14:請注意在日常語言中,常常可以用不同的詞項表達相同的意思,例如"exactly as many ... as ..."便 可以表達為"the same number of ... as ..."或"an equal number of ... as ..."。本文為節省篇幅,對於 具有相同意義的詞項,只列出其中一個。

註15:語句(7)其實涉及「定語分句」,而筆者尚未討論「定語分句」的形式化表達法,不過我們可以對本小節 其他包含"(the same ... as ...)"的語句作出類比而推導出(7)的真值條件。

註16:請注意「不帶限定詞的名詞短語」可按其句法作用分為兩種:第一種出現於謂語位置,其句法作用類似 不及物動詞或形容詞,此即前述的「普通名詞短語」;第二種出現於主語或賓語位置,這就是本節要討論的「 光桿名詞短語」。

註17:「類名詞」不一定都要以光桿名詞的形式出現。舉例說,在英語中除了光桿「類名詞」外,還有「定冠 詞/不定冠詞 + 類名詞」(例如"the tiger / a tiger")以及「限定詞 + kind / type of + 類名詞」(例如 "this kind of animal")的形式。本文為簡化討論,只考慮光桿「類名詞」。

註18:除了「類」和「物體」外,Carlson其實還討論了第三種「實體」-「階段」(Stage)。相應地,除了「 類謂詞」和「物體謂詞」外,還有「階段謂詞」(Stage Predicate)。為簡化討論,本文不介紹「階段」此一概 念。


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