在本節，筆者將把以往數節介紹的知識應用於初等代數中，從而推導出初等代數中著名的「二項式定理」和「多項式定理」。在初中上數學課時，我們都學過以下兩條「恆等式」(Identity)：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2和(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3。由於以上代數式包含兩個字母(即a和b)，故被稱為「二項式」(Binomial)。在初中我們所學的「二項式」只此兩個，對於高於3次方的「二項式」，固然可以透過把代數式兩兩相乘的方法逐漸展開，但如果冪次頗高，這樣的計算將會非常繁複和容易出錯。而且，在應用中，有時我們可能只需要知道「二項式」展開式中某部分項的系數(Coefficient)，例如我們可能只想知道(a + b)20中a17b3的系數，若把(a + b)20完全展開(共有21項)，我們將浪費很多計算功夫，因此我們實在有必要找出無需逐項展開而能直接求得「二項式系數」(Binomial Coefficient)的公式。
現在讓我們仔細看看展開(a + b)3的過程：
從上述結果可以得到兩個結論。首先，上述第一個等號右邊的展開式的每一項都由三個字母組成，每個字母都來自左邊三個括號中的一個(例如第三項aba中的a、b和a便分別來自第一、二、三個括號)。換另一個角度看，這相當於從兩類物件(a和b)抽取三個出來排列的問題，即一種「無限重覆部分排列」問題；而且這裡窮盡了一切可能的排列方式，因此共有23 = 8個項。
第二個等號右邊的式子是對中間式子合併同類項並用冪次代表重覆出現的字母的結果(例如把aab、aba和baa合併為3a2b)，合併後的項只包含字母組合情況的信息，而捨棄了有關字母順序的信息。這實質上是把原來的「無限重覆部分排列」問題轉化為「無限重覆組合」問題，所以經合併同類項後，展開式只有C(2 + 3 − 1, 3) = C(4, 3) = 4個項。此外，我們亦觀察到，合併後各項字母的冪次相加必等於3，而且a和b冪次的各種可能組合(即a3、a2b、3ab2和b3)都必出現在展開式中。由於a的冪次可分別取0、1、2和3，共有4種可能性，這同樣告訴我們，(a + b)3的展開式必包含4個項。
由此我們可以推知，二項式(a + b)n的展開式包含n + 1個項，每一項都由a、b和一個系數組成，a和b的冪次相加等於n。據此我們可以推斷，(a + b)20的展開式必包含21個項，其中必包含形如Ca17b3 (C為待定的系數)的項，並且不可能包含形如Ca17b4的項。
其次，讓我們看看上述展開式的系數。a2b項的系數之所以是3，是因為把兩個a和一個b排列的方法共有3種(即a-a-b、a-b-a和b-a-a)，這就是筆者在《點算的奧秘：有限重覆的排列組合問題》中介紹過的「有限重覆全排列」問題。根據有關公式，把兩個a和一個b排列的方法應有3! / (2! × 1!) = 3種，正符合我們所要得到的結果。由此可以推知，在(a + b)n的展開式中，ar bs的系數就是把r個a和s個b排列的方式總數，套用「有限重覆全排列」的公式，就是n! / (r! × s!)。不過，由於r + s = n，我們可以把s寫成n − r，因此我們可以把上式改為n! / (r! × (n − r)!)。
但上式正是「組合」公式C(n, r)，因此我們又可以把(a + b)n的展開式中ar bn − r的系數寫為C(n, r)。事實上，我們可以從「組合」的角度去理解「二項式系數」。前面說過，展開(a + b)n的過程相當於從n個(a + b)中各抽取一個字母出來，因此該展開式中ar bn − r的系數就是從n個(a + b)中抽取r個a出來的方法總數。由於經合併同類項後，無須考慮字母的順序，因此這是一個「組合」問題，上述方法總數就是C(n, r)。
綜合以上討論，我們可以把(a + b)n的展開式寫成C(n, 0) bn + C(n, 1) a bn − 1 + ... + C(n, r) ar bn − r + ... + C(n, n) an。利用「求和」(Summation)符號Σ，還可以把上式濃縮為
上式就是著名的「二項式定理」(Binomial Theorem)(註2)。
例題1：求(a + b)20中a17b3的系數。
答1：根據「二項式定理」，a17b3的系數是C(20, 17) = 20! / (3! × 17!) = (20 × 19 × 18) / (3 × 2) = 1140。□
例題2：求(3x2 − 4y3)8中x12y6的系數。
答2：本題看上去似乎不適用「二項式定理」，但只要我們設定a = 3x2和b = −4y3，便可應用該定理。但請注意，由於x和y本身含有冪次，上式的展開式中各項x和y的冪次相加不會等於8，甚至不會全部等於同一個整數。
我們首先把x12y6寫成(x2)6(y3)2，因此本題實際上相當於求(a + b)8中a6b2的系數。但由於x和y本身分別帶有系數3和−4，我們必須把求得的「二項式系數」再乘以36和(−4)2，即C(8, 6) × 36 × (−4)2 = 8! / (2! × 6!) × 36 × (−4)2 = 28 × 729 × 16 = 326592 □
我們可以把各種n、r組合的「二項式系數」(其中r ≤ n)排成以下著名的「帕斯卡三角形」(Pascal's Triangle)：
| C(1, 0) = 1; C(1, 1) = 1 |
| C(2, 0) = 1; C(2, 1) = 2; C(2, 2) = 1 |
| C(3, 0) = 1; C(3, 1) = 3; C(3, 2) = 3; C(3, 3) = 1 |
| C(4, 0) = 1; C(4, 1) = 4; C(4, 2) = 6; C(4, 3) = 4; C(4, 4) = 1 |
| C(5, 0) = 1; C(5, 1) = 5; C(5, 2) = 10; C(5, 3) = 10; C(5, 4) = 5; C(5, 5) = 1 |
| C(6, 0) = 1; C(6, 1) = 6; C(6, 2) = 15; C(6, 3) = 20; C(6, 4) = 15; C(6, 5) = 6; C(6, 6) = 1 |
| ...... |
上表顯示，除了每行位處兩邊的C(n, 0)和C(n, n)外，所有位處中間的「二項式系數」都可透過把剛好位於其上及左上方的兩個「二項式系數」相加而得。例如，上圖中的紅色部分便顯示，C(6, 3) = C(5, 2) + C(5, 3)。事實上，這不是巧合的現象，而是一個普遍的現象，可以概括為以下「遞歸關係」(Recurrence Relation)：
在數學上有多種方法證明上述「遞歸關係」的有效性，以下的簡潔證明巧妙地應用了「組合」概念。如果我們把C(n, r)看成從n個可區別的球中任意抽r個出來的組合總數，那麼我們可以首先鎖定其中一個球(設為A)，看看這個球是否最終會被抽中。這樣我們便有兩個互斥且窮盡一切可能性的情況：(1) A最終會被抽中；(2) A最終不會被抽中。現在我們分別考慮這兩種情況。(1) 由於已確定A最終會被抽中，我們只需考慮從餘下的n − 1球中任意抽r − 1個出來的問題，這r − 1個球連同A便構成我們要抽的r個球。因此在此情況下，共有C(n − 1, r − 1)種抽法。(2) 由於已確定A最終不會被抽中，我們可以從總體上把A撇除，即只需考慮從餘下的n − 1球中任意抽r個出來的問題。在此情況下，共有C(n − 1, r)種抽法。最後，運用「加法原理」，便得到上述「遞歸關係」。
接著我們把上述結果推廣至「多項式」(註3)，即包含多於兩個字母的代數式。由於(a1 + a2 + ... an)r = (a1 + a2 + ... an)(a1 + a2 + ... an) ... (a1 + a2 + ... an)，即r個括號的連乘積，因此它的展開式的每一項都由r個字母組成，而每個字母都來自這r個括號中的一個。經合併同類項後，展開式各項的字母組合相當於從n類物件(a1、a2、an)中任意抽r個出來所得的組合，故應有C(n + r − 1, r)個項，而各項字母的冪次相加等於r，而且a1、a2、an的冪次的各種可能組合都出現在展開式中。舉例說，我們可以推知(a1 + a2 + a3 + a4)3的展開式經合併同類項後應有C(4 + 3 − 1, 3) = C(6, 3) = 20個項，而各項字母的冪次相加等於3。由此可知Ca12a3(其中C為待定系數)是展開式中的一項，而Ca1a2a3a4則不是展開式中的一項。
至於如何確定展開式中各項(例如a1r1 a2r2 ... anrn，其中r1 + r2 + ... rn = r)的系數，可以沿用前面我們推導「二項式系數」的思路。這個系數事實上相當於把r1個a1、r2個a2...rn個an進行「全排列」的方法總數，因此應用「有限重覆全排列」公式，應為r! / (r1! × r2! × ... rn!)。
綜合以上討論，我們可以用「求和」符號Σ把「多項式」的展開式寫成
| r! | |||
| (a1 + a2 + ... an)r = Σr1 + r2 + ... rn = r | ---------------------- | × a1r1 a2r2 ... anrn (3) | |
| r1! × r2! × ... rn! |
上式就是「多項式定理」(Multinomial Theorem)。請注意在上式中Σ的右下角不是一個「不等式」，而是一個限制條件，因為對於「多項式定理」而言，難以用上、下限的方式表達其展開式包含哪些項。
例題3：求(a1 + a2 + a3 + a4)3中a12a3的系數。
答3：應用「多項式定理」，所求答案為3! / (2! × 0! × 1! × 0!) = 3。□