筆者在《轄域歧義》一文中介紹了「轄域歧義」(scope ambiguity)的基本概念和重要例子。本文主旨是重溫此一概念，介紹表達轄域歧義的形式化方法，並且提供更多與轄域歧義有關的例子。
「轄域歧義」是形式語義學中的重要概念。形式語義學運用多種邏輯算子(包括邏輯聯結詞、量詞、模態詞等)表示自然語言的各種語義現象，「轄域」(scope)就是指這些算子發揮作用的範圍。當一個句子所含算子的轄域可以有不同解釋時，便會產生轄域歧義。最典型的轄域歧義現象是某些包含多個量詞的陳述句的歧義，請看以下句子：
上句有兩個「解讀」(reading)。第一個解讀是「每個男孩都各有一個女孩是他所愛的」，在這個解讀下，量詞every的轄域包含著量詞a的轄域(因此女孩的所指隨著男孩的所指而變化)，即兩個量詞的轄域大小跟上句的表面結構相符(越在左面的算子的轄域越大)，故稱「正向解」(direct reading)。第二個解讀則是「有一個女孩，每個男孩都愛她」，在這個解讀下，a的轄域包含著every的轄域(因此女孩的所指不隨男孩的所指而變化)，即兩個量詞的轄域大小跟上句的表面結構相反，故稱「逆向解」(inverse reading)。
形式語義學用來表達自然語言語義的形式化方法正可用來表達上述歧義，例句(1)的兩種解讀可用以下表達式代表(註1)：
在上式中，我們用斜體字(例如every)代表邏輯算子，並用||T||代表詞項T的「所指」(denotation)。以上兩式(以及下文的其他式子)雖然看似複雜，但只要細心閱讀，應能從這些式子讀出它們所代表的意思，例如從(2)應可讀出「對於每個男孩x而言，都有一個女孩y，使得x愛y」，從(3)則應可讀出「有一個女孩y，對於每個男孩x而言，x都愛y」。在以上兩式中，every和a後直至句末就是這兩個量詞的轄域範圍。以上兩式清楚顯示，(1)的兩種解讀對應著兩種不同的轄域結構(即正向解對應著every的轄域大於a的轄域此一情況；逆向解則對應著a的轄域大於every的轄域此一情況)。
以上我們重溫了與轄域歧義有關的基本概念，以下介紹幾種主要句式的轄域歧義現象。
在(1)中，轄域歧義出現於句子層面，這是最典型的情況，但轄域歧義也可出現於名詞詞組的層面，請看以下例句：
在上句中，兩個量詞a和every出現於同一個名詞詞組a representative of every city中，這個名詞詞組包含著一個二元謂詞，即帶有介詞的關係名詞representative of。上句有兩種解讀，其正向解是「一名代表所有城市的人士來了」，其逆向解則是「每個城市的一名代表來了」。以上兩個解讀可用以下表達式代表：
(5)的意思可以讀出為「有一個x，對於每個城市y而言，x都是y的代表，而且x來了」；(6)的意思則可以讀出為「對於每個城市y而言，都有一個x，使得x是y的代表，而且x來了」，由此可見(5)和(6)的轄域結構正確反映了(4)的兩個解讀。
自然語言中有一些歧義現象表面上不像是轄域歧義，但在形式語義學的分析框架下，也可以被看成轄域歧義現象，以下討論兩類例子。第一類例子與領屬結構(possessive construction)有關，請看以下漢語句子：
上句的「三個小孩的爸爸」有歧義，既可以指「一位有三個小孩的爸爸」(只有一人，以下稱為「一人解」)，也可以指「三個小孩各自的爸爸」(可能共有三人，以下稱為「三人解」)。這表面上不是轄域歧義，因為這裡只涉及一個量詞「三個」(以下用exactly 3代表)。可是，當代的「廣義量詞理論」認為，在自然語言的領屬結構中，領屬者和被領屬者其實各有其量詞。在上句中，exactly 3是被領屬者(即「小孩」)的量詞，而領屬者(即「爸爸」)表面上沒有量詞，但其實隱含著「有唯一一個」(以下用the代表)作為其量詞。在此分析下，上句的結構跟(4)很相似，其中「三個」、「小孩」、「有唯一一個」和「爸爸」分別與(4)中的every、city、a和representative對應，因此上句的兩種解讀可用以下表達式代表：
在上式中，我們把關係名詞「爸爸」表達成二元謂詞||father of||。(8)的意思可以讀出為「有唯一一個x，有三個小孩y，對於這些y的每一個而言，x都是y的爸爸，而且x來了」；(9)的意思則可以讀出為「有三個小孩y，對於這些y的每一個而言，都有唯一一個x，使得x是y的爸爸，而且x來了」，由此可見(8)和(9)的轄域結構正確反映了(7)的兩個解讀。
第二類例子與並列普通名詞有關，以下是取自Carpenter (1997)的例句：
上句的the vegetarian and socialist有歧義，既可以指「那名素食者和那名社會主義者」(分指兩人，以下稱為「二人解」)，又可以指「那名素食者兼社會主義者」(指同一人，以下稱為「一人解」)。對於上句的「二人解」，可以沿用Carpenter (1997)的方法，把上句處理成複句The vegetarian studied and the socialist studied的縮略。在此方式下，上句的「二人解」可用以下表達式代表(註2)：
在自然語言中，and可用來連接命頭與命題、n元謂詞與n元謂詞等，因此and表現為具有不同類型的聯結詞。在上式中，and是連接命題的聯結詞，以表達這些命題的「合取」。為表達(10)的「一人解」，我們要使用連接一元謂詞的and，以表達這些一元謂詞所代表集合的「交」(intersection)。利用這個and，可以把(10)的「一人解」表達如下：
在上式中，and(||vegetarian||, ||socialist||)代表「素食者」集合與「社會主義者」集合的交集，此即「素食者兼社會主義者」集合。比較(11)與(12)，可以看到and和the的轄域關係在這兩式中不同，這樣便把(10)「二人解」與「一人解」的對立處理成轄域歧義。
接著看一個更特別的例句：
根據Champollion (2016)，上句有歧義，既可以解作「五名男子和五名女子學習」(共十人，以下稱為「十人解」)，也可解作「五名男女學習」(共五人，以下稱為「五人解」)。上句的「十人解」可以沿用前面處理(10)的「二人解」的方法，即把上句處理成複句Five men studied and five women studied的縮略。在此方式下，上句的「十人解」可用以下表達式代表：
(13)的「五人解」卻不可沿用前面處理(10)的「一人解」的方法，這是因為and(||man||, ||woman||)代表交集||man|| ∩ ||woman||，指既是男人又是女人的「雙性人」，(13)在一般情況下不可能表達這個意思。在「五人解」下，(13)中的men and women其實代表并集||man|| ∪ ||woman||。由於集合的∪關係應用連接一元謂詞的聯結詞or代表，我們似乎可以把(13)的「五人解」表達如下：
可是，(13)中明明以and作為聯結詞，而上式卻使用另一聯結詞or。為何會產生上述矛盾？這是因為在自然語言中，「和」與「或」常常可以互相轉化。以下將借用Champollion (2016)的意念，引入兩個「類型轉換函數」UR和Minset以進行上述轉化(註3)。利用這兩個函數，可以把(13)的「五人解」表達如下：
以下簡要解釋上述類型轉換函數的作用。UR的作用是把集合X轉化成集合族(即集合的集合)UR(X)，這個集合族的成員是包含X的所有元素(或再加上其他元素)的集合，因此UR(||man||)的成員就是包含所有男人(或再加上某些非男人)的集合，而UR(||woman||)的成員就是包含所有女人(或再加上某些非女人)的集合。上式中的and是連接集合族的聯結詞，它求兩個集合族的交，因此and(UR(||man||), UR(||woman||))的成員就是包含所有男人和所有女人(或再加上某些男、女人以外的元素)的集合。Minset的作用則是把集合族Y轉化成集合Minset(Y)，這個集合的成員是Y中最小的那個集合，因此Minset(and(UR(||man||), UR(||woman||)))就是剛好包含所有男人和所有女人(而不含其他元素)的集合，即等於||man|| ∪ ||woman||。
舉例說，設當前的論域是{a, b, c, d}，||man|| = {a, b}，||woman|| = {c}，那麼UR(||man||) = {{a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}}，UR(||woman||) = {{c}, {a, c}, {b, c}. {c, d}, {a, b, c}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}，and(UR(||man||), UR(||woman||)) = {{a, b, c}, {a, b, c, d}}，Minset(and(UR(||man||), UR(||woman||))) = {a, b, c}。請注意根據上述計算，Minset(and(UR(||man||), UR(||woman||)))等於||man|| ∪ ||woman||，因此(16)中的Minset(and(UR(||man||), UR(||woman||)))起著(15)中or(||man||, ||woman||)的作用，而且前者包含著and而非or。比較(14)與(16)，可以看到and和exactly 5的轄域關係在這兩式中不同，這樣便把(13)「十人解」與「五人解」的對立處理成轄域歧義。
接下來介紹疑問句的轄域歧義。由於以下將使用「探詢語義學」(Inquisitive Semantics)的理論框架(根據Ciardelli, Groenendijk & Roelofsen (2019)以及Chow (2019)的框架)表達疑問句的轄域歧義，須先簡介探詢語義學的一些基本概念(但略去很多技術細節)。在探詢語義學下，可以區分四類語句：重言式(tautology)、一般陳述句、疑問句和混合命題(hybrid)。重言式是指在邏輯上必真的命題(例如Either John loves Mary, or John does not love Mary)，由於這類語句就世界的狀況提供平凡(trivial)信息(即俗稱的「廢話」)，以下不會詳細討論這類語句。一般陳述句是指並非重言式的陳述句，這類語句就世界的狀況提供非平凡信息；疑問句則索取有關世界的信息。至於混合命題，這是介乎一般陳述句與疑問句之間的命題，英語中帶有連詞or的語句是混合命題的重要例子，例如下句：
上句中的標點符號(./?)代表上句是在脫離語境和語調不明的情況下說出的，因此上句既可能是一般陳述句(在此情況下，or要翻譯成「或者」)，也可能是疑問句(在此情況下，or要翻譯成「還是」)(註4)。為了把混合命題確定為陳述句或疑問句，探詢語義學提供兩個「投射算子」(projection operator)：!和?，分別用來把命題確定為陳述句和疑問句。如用or[||John loves Mary||, ||John loves Susan||]代表(17)，那麼以下兩式是把(17)確定為一般陳述句和疑問句所得的式子：
(18)是一般陳述句，譯成漢語就是「John愛Mary或者Susan」；(19)則是疑問句(更確切地說，是「選擇問句」)，譯成漢語就是「John愛Mary還是Susan？」。上述投射函數還可混合使用，以表達某些特殊句子的意義。首先，如前所述，(18)是一般陳述句，現在如把?算子作用於(18)，會把它轉化成以下疑問句(更確切地說，是「是非問句」)：
上式譯成漢語就是「John愛Mary或者Susan嗎？」，請注意這句是是非問句，它是就「John愛Mary或者Susan」這個陳述句的真假提出疑問，只期望聽者回答「是」或者「不是」，而並不期望聽者說出John愛Mary和Susan中的哪一個。請比較(19)和(20)，兩者在形式上很相似，只差一個!算子，正因這個差異，使(19)成為選擇問句，(20)成為是非問句。其次，如前所述，(19)是疑問句，現在如把!算子作用於(19)，會把它轉化成下式：
在探詢語義學的框架下，可以證明上式是一個重言式，譯成漢語就是「John或者愛Mary，或者愛Susan，或者兩者都不愛」，這是必真的「廢話」。除了上述兩個投射算子外，探詢語義學還把疑問詞which、who等處理成算子，下文會提到這方面的例子。
在自然語言中，特指問句、是非問句和選擇問句是三個主要疑問句類別，當這些疑問句帶有量詞時，便可能出現轄域歧義。首先看特指問句的例子：
上句有兩個解讀。第一個解讀是「哪個女孩是所有男孩都愛的女孩？」，以下把這個解讀稱為「個體解」(individual reading)，因為這個解讀所期望的答案是某個特定的個體，例如Mary (意即Mary是所有男孩都愛的女孩)。第二個解讀是「就每一個男孩而言，他愛哪個女孩？」，以下把這個解讀稱為「串列解」(list reading)，因為這個解讀所期望的答案是一個男孩-女孩集合有序對組成的「串列」(list)，例如((Johh, {Mary}), (Bill, {Ann}), (Joe, Φ)) (意即「John愛Mary；Bill愛Ann；Joe不愛任何女孩」)。在探詢語義學的理論框架下，上句的兩種解讀可用以下表達式代表：
(23)的意思可以讀出為「有哪個女孩y，對於每個男孩x而言，x都愛y？」；(24)的意思則可以讀出為「對於每個男孩x而言，有哪個女孩y，使得x愛y？」，由此可見(23)和(24)的轄域結構正確反映了(22)的兩個解讀。
接著考慮以下更複雜的例句：
上句可被理解為是非問句(其中的or對應漢語的「或者」)或選擇問句(其中的or對應漢語的「還是」)，而這兩種問句又各有一個正向解和逆向解，因此共有四種解讀，以下逐一考慮。在「正向是非問解讀」下，上句的意思是「是否有一名男孩或女孩讀了所有書？」，此一意思可以用下式代表：
在上式中，or是連接兩個量詞a(||boy||)和a(||girl||)的聯結詞。請注意上式的開首部分?!or跟(20)一模一樣，所以上式跟(20)一樣代表一個是非問句。另請注意在上式中，every處於a的轄域之內，所以是正向解。上式可以讀出為「以下陳述是真的嗎：有一名男孩或者一名女孩x，對於每本書y而言，x都讀了y？」，這正反映上述解讀。
在「逆向是非問解讀」下，(25)的意思是「每本書是否都被一名男孩或女孩讀了？」，此一意思可以用下式代表：
在上句中，or處於every的轄域之內，整個every(||book||)[...]是一般陳述句而非混合命題，所以無須使用!算子，把?算子作用於這個一般陳述句，便得到上述是非問句。請注意在上式中，a處於every的轄域之內，所以是逆向解。上式可以讀出為「以下陳述是真的嗎：對於每本書y而言，都有一名男孩或者一名女孩x，使得x讀了y？」，這正反映上述解讀。
在「正向選擇問解讀」下，(25)的意思是「一名男孩還是一名女孩讀了所有書？」，此一意思可以用下式代表：
如前所述，(19)與(20)在形式上只差一個!算子；與此相似，(28)與(26)在形式上也只差一個!算子，正因這個差異，使(28)成為選擇問句，(26)成為是非問句。請注意在上式中，every處於a的轄域之內，所以是正向解。上式可以讀出為「有一名男孩還是一名女孩x，對於每本書y而言，x都讀了y？」，這正反映上述解讀。
在逆向選擇問解讀下，(25)的意思是「每本書都被一名男孩還是一名女孩讀了？」，此一意思可以用下式代表：
在上式中，or是連接兩個命題every(||book||)[...]和every(||book||)[...]的聯結詞。它被置於表達式的開首，與?算子結合後使整個表達式成為選擇問句。另請注意在上式中，a處於every的轄域之內，所以上式是逆向解(註5)。上式可以讀出為「對於每本書y而言，都有一名男孩x，使得x讀了y；還是對於每本書y而言，都有一名女孩x，使得x讀了y？」，這正反映上述解讀。
在形式語義學中，「個體」(individual)和「真值」(truth value)是兩個最基本的實體(entity)，與量化陳述句有關的很多概念都可看成是由這兩種實體衍生出來的，例如(一階)謂詞便可被看成把個體映射為真值的函數，量詞every則可被看成把謂詞映射為謂詞集合的函數等。隨著對語義現象進行越來越深入的研究，不同流派的學者提出個體和真值以外的其他實體(以下統稱為「附加實體」)以及與這些實體相關的算子。由於這些算子有其自身的轄域，當一個句子既包含這些算子，又包含量詞(或其他算子)時，便可能產生轄域歧義。
第一個要討論的附加實體是「可能世界」(possible world)。當代形式語義學利用可能世界解釋多種語義現象，其中一種現象就是上文討論過的疑問句，因此上文介紹的投射算子!和?以及疑問詞算子which都是與可能世界相關的算子，而我們在上文已討論過這些算子引起的轄域歧義現象。另一種與可能世界有關的語義概念是「模態詞」，例如英語的must、may、necessarily、probably等，這些模態詞都可被處理成與可能世界相關的算子，因而可能產生轄域歧義，請看以下包含must的例句：
上句有兩個解讀。第一個解讀是「必須有人(說話者並不確定是誰)受到懲罰」，以下把這個解讀稱為「涉名解」(de dicto reading)。第二個解讀是「有人(說話者確定是誰)必須受到懲罰」，以下把這個解讀稱為「涉實解」(de re reading)。借用Carpenter (1997)的形式表達法(註6)，上句的兩種解讀可用以下表達式代表：
請注意以上兩式其實帶有可能世界論元，但為免使以上兩式過於複雜，所以沒有寫出來(註7)，不過從以上兩式已可看到兩個解讀的主要差異。在(31)中，命題someone(...)處於道義模態算子must的轄域內。由於must相當於道義可能世界中的某種全稱量詞，(31)一式的意思是「在每個相關的可能世界中都有人受到懲罰」。在此解讀下，someone的所指會隨著這些相關可能世界而變化，因此是泛指概念，並不實指某個人。在(32)中，someone的轄域超出於must的轄域以外。在此解讀下，someone的所指是說話者所處現實世界中的某個人，所以實指某個人。
「內涵謂詞」(intensional predicate)是另一類與可能世界相關的算子，這是指某些涉及真假、信念、願望、道義等意義的謂詞，例如英語的believe、seem、alleged、fake、desirable等，因而也可產生涉名／涉實歧義，請看以下包含believe的例句：
上句有兩個解讀。第一個解讀是「Peter相信(任何)能解這道題的人是聰明的」，此即「涉名解」。第二個解讀是「對於(那個)能解這道題的人，Peter相信他是聰明的」，此即「涉實解」。上句的兩種解讀可用以下表達式代表：
在(34)中，命題the(...)處於believePeter (代表與Peter的信念世界有關的算子)的轄域內。根據當今與信念相關的語義學，信念算子believePeter相當於Peter信念世界中的某種全稱量詞。在此解讀下，the person who solved this problem的所指是泛指概念，並不實指某個人。在(35)中，the的轄域超出於believePeter的轄域以外。在此解讀下，the person who solved this problem實指現實世界中的某個人。
第二個要討論的附加實體是「時間」(time)(註8)，當代研究時間語義問題的形式語義學流派提出了多個量化狀語(一種與時間相關的算子)，例如always、sometimes、never等。這些算子也可能產生涉名／涉實歧義，請看以下包含always的例句：
上句有兩個解讀。第一個解讀是「總是有人(說話者並不確定是誰)遲到」，此即涉名解。第二個解讀是「有人(說話者確定是誰)總是遲到」，此即涉實解。上句的兩種解讀可用以下表達式代表：
請注意以上兩式其實帶有時間論元，但為免使以上兩式過於複雜，所以沒有寫出來。在(37)中，命題someone(...)處於算子always的轄域內。由於always相當於時間全稱量詞，(37)一式的意思是「在每個時間都有人遲到」。在此解讀下，someone的所指會隨著時間而變化，因此是泛指概念，並不實指某個人。在(38)中，someone的轄域超出於always的轄域以外。在此解讀下，someone的所指是說話者所處當前時間中的某個人，所以實指某個人。
第三個要討論的附加實體是「程度」(degree)，當代的「程度語義學」(Degree Semantics)提出了若干種與程度相關的算子，其中一種是「程度比較詞」。根據Morzycki (2015)，這類算子可以與模態詞產生轄域歧義。Morzycki (2015)討論了以下例子，設有一名學生寫了一篇共十頁的論文，接著有人對該名學生說出以下句子：
上句有兩種截然相反的解讀。在第一種解讀下，上句的意思是「論文的長度必須少於十頁(，所以你要減少論文的頁數)」，這是有關論文長度的上限，以下稱為「上限解」。在第二種解讀下，上句的意思是「論文長度所須達到的程度少於十頁(，所以你無須增加論文的頁數)」，這是有關論文長度的下限，以下稱為「下限解」。
Morzycki (2015)認為，可以用模態詞與程度比較詞的相對轄域來解釋上述歧義。為免引入過多技術細節，以下僅把(39)的語義分析成三個元件：模態詞required、程度比較詞less long than 10 pages和句子的主幹部分||the paper is d long||，其中d代表程度論元。請注意在程度語義學的理論框架下，與程度語義相關的謂詞都帶有程度論元。利用上述元件，可以把上句的兩個解讀表達如下：
在(40)中，required的轄域較less long than 10 pages寬，因此less long than 10 pages先與句子主幹||the paper is d long||結合，所得意思是「論文的長度是d，而d是少於十頁」(即「論文的長度少於十頁」)。接著把required作用於這個意思，便得到整句的意思：「必須使論文的長度少於十頁」。在(41)中，less long than 10 pages的轄域較required寬，因此required先與句子主幹||the paper is d long||結合，所得意思是「論文的長度必須達到程度d」。接著把less long than 10 pages作用於這個意思，便得到整句的意思：「論文的長度必須達到程度d，而d是少於十頁」(即「論文長度所須達到的程度少於十頁」)。比較(40)與(41)，可以看到required和less long than 10 pages的轄域關係在這兩式中不同，這樣便把(39)「上限解」與「下限解」的對立處理成轄域歧義。
註1：由於||girl||、||love||等(一階)謂詞是把若干個個體映射為真值的函數，而every、a等量詞(亦即二階謂詞)是把若干個謂詞映射為真值的函數，(2)和(3)兩式中的||love||(x, y)後面實應加上"= 1"，而該兩式的結尾處也應加上"= 1"，以表示這些函數的值(真值)。但為使該兩式(以及下面的式子)簡潔，本文一概略去這些"= 1"。此外，請注意(2)和(3)兩式(以及下面的式子)混合使用了謂詞(即函數)和集合這兩種表達法。如全用謂詞表達法，該兩式中的{x: a(||girl||)({y: ||love||(x, y)})}實應寫成λx[a(||girl||)(λy[||love||(x, y) = 1])]。考慮到一般讀者對集合表達法較為熟悉，而謂詞表達法與集合表達法其實是相通的(因為集合像謂詞一樣，也可以理解為一種輸出真值的函數，即「特徵函數」characteristic function)，因此本文採用集合表達法。