謎題解答(7)


學過微積分的朋友在初看這道題時,可能會想也許能用微分法求這三個數之積的最大值。可是這道題涉及的是三個數而非兩個數,而且題目限定這三個數是質數,因此不能單純用微分法求解。那麼,解這道題的關鍵是甚麼呢?就是要能看出A、B、C這三個數字不能全為奇數,因為三個奇數之和只可能是奇數(註1),而100是偶數。同理,我們也可證明A、B、C這三個數字不可能包含兩個偶數和一個奇數。因此A、B、C這三個數必定包含一個偶數和兩個奇數,或者全為偶數。但是,由於在質數中只有2是偶數而三個2之和不可能等於100,因此我們可以作出以下結論:A、B、C這三個數有一個是2(我們不妨把這個數定為A),其餘兩個是奇數(這兩個數就是B和C)。

解決了A,我們的問題便化簡成:求兩個奇質數B和C,使得B + C = 98,並且B x C的值最大。至此很多人應能憑直覺推斷,假如不限定B和C須為質數,那麼要使B x C的值最大,B和C必定是98的一半,即49。可是為甚麼會是這樣呢?我們可以用以下方法加以證明。我們可設B的值為n,那麼C的值就是98 - n,而B x C就是-n2 + 98n。我們可以把此式看成為n的函數:

f(n) = -n2 + 98n

,即隨著n的值改變,f(n)的值也作相應變化。由於f(n)是一個二次多項式函數,而且其二次項系數取負值,所以其圖象是一條開口向下的拋物線。這條拋物線存在一個最高點,這個最高點的y坐標和x坐標就是我們所求的最大值和相應的n的值。接著下來我們可以繪出f(n)的圖象並求這個最大值。以下筆者使用一個數學運算軟件繪出f(n)的圖象,並對近最大值處作局部放大:

  

根據上圖,我們可以看到f(n)的最大值的x、y坐標分別為2401和49(註2),即當B = C = 49時,B + C = 98而且B x C的值最大。可是49並非質數,我們怎辦呢?答案仍可從上圖中求得。從上圖可以看到,n的值愈接近49,f(n)的值便愈大(註3)。因此接下來我們要做的,便是求兩個最接近49並且其和為98的質數。從49開始往下找,47雖然是質數,可是98 - 47 = 51卻並非質數。接下來的質數是43,可是98 - 43 = 55卻並非質數。接下來的質數是41,可是98 - 41 = 57卻並非質數。接下來的質數是37,而且98 - 37 = 61也是質數。我們終於成功找到這兩個質數。因此,本題要求的三個質數分別是2、37和61,它們的積是4514。


註1:要證明這點不難,只要用反證法便行。假設A、B、C這三個數字皆為奇數,那麼我們可以把它們寫成A = 2p+1、B = 2q+1、C = 2r+1,其中p、q、r為整數。把它們相加得A+B+C = 2(p+q+r+1)+1。由於p、q、r為整數,p+q+r+1也是整數。因此A+B+C是一個奇數。

註2:其實我們不用作圖也可找到f(n)的最高點。我們至少有兩種求解方法。其一為利用微分法。首先求f(n)的導數(Derivative),得f'(n) = -2n + 98,然後解f'(n) = 0,得n = 49和f(n) = 2401。其二為先把f(n)寫成一完全平方(Complete Square)加一個常數,得
f(n) = - (n2 - 98n) = - (n2 - 98n + 2401 - 2401) = - (n2 - 98n + 2401) + 2401 = -(n - 49)2 + 2401
由於任何實數的平方均為非負實數,所以無論n取任何值,-(n - 49)2均為負數或零。換言之,-(n - 49)2 + 2401必定少於或等於2401,即f(n)的值不能大於2401。而只有當n = 49時(即令-(n - 49)2 = 0),f(n)的值才等於2401。

註3:這一結論其實也可用其他方法求得,同樣至少有兩種方法。其一為利用微分法。由於f'(n) = -2n + 98,當n < 49時,f'(n) > 0。當n > 49時,f'(n) < 0。這即是說,f(n)的值在n < 49時是處於上升趨勢,而當n > 49時便處於下降趨勢。因此n的值愈接近49,f(n)的值便愈大。

其二為先假設n1、n2為兩個小於49的整數,並且n1 < n2(即n2 - n1 > 0)。接著我們來求f(n2) - f(n1)。由於f(n2) - f(n1) = -n22 + 98n2 + n12 - 98n1 = (n12 - n22) + (98n2 - 98n1) = (n1 + n2)(n1 - n2) + 98(n2 - n1) = (n2 - n1)(98 - n1 - n2)。由於n1和n2均小於49,所以98 - n1 - n2 > 0,因此我們得到f(n2) - f(n1) > 0。這即是說,若n < 49,當n的值增加,f(n)的值也相應增加。我們把相同的推理應用於n > 49的情況時,可得到相似的結論,即若n > 49,當n的值增加,f(n)的值相應減少。換句話說,n的值愈接近49,f(n)的值便愈大。

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