猜謎題,學推理


本網頁收集筆者所曾看過值得向大家推介的謎題,這些謎題的共同點是可以啟發你的邏輯思維。每道題都附有 作者的解答,詳細解釋答案。此外,每題均標明「學習重點」,點出你可以從該道題學習到的東西。 惟請注意,筆者提供的解答不一定是唯一的解題方法,也未必是最簡潔的解答,歡迎讀者提供其他謎題和更佳 的解答。

(1) 特難算術題

學習重點:「特殊化」的解題技巧

試求1 + 1 x 2 + 1 x 2 x 3 + 1 x 2 x 3 x 4 + ...... + 1 x 2 x 3 x 4 x ...... x 1958這個數的個位數 。

解答(1)



(2) 握握手,做個好朋友

學習重點:抽絲剝繭式的推理

陳先生和太太出席晚宴,和另外三對夫婦會面。他們見面後互相握手。假設他們不會跟自己握手,也不會跟自 己的配偶握手,而且不會跟同一個人握手多於一次。在大家握完手後,陳先生詢問每一個人(包括他的太太, 共7個人)的握手次數,7個人的答案都是不同的。

(a)請問陳先生握了多少次手?
(b)陳太太又握了多少次手?

解答(2)



(3) 戴帽子

學習重點:反證法

有6頂帽子,其中三頂是紅色,兩頂是黃色,一頂是藍色。現把其中4頂戴在4個人的頭上。這4個人站在一條直 線上(不妨把他們稱為「1號」、「2號」、「3號」和「4號」,數字較小的站在前),站在較後的可以看到較前 位置的人的帽子,但不能看見較後位置的人的帽子,也不能看見自己戴的那頂帽子。假設這4個人都有推理能 力,不會瞎猜,而且能夠聽見我跟他們每個人的對話。現在我問4號是否知道他戴的帽子的顏色,他望望站在 前面的3個人的帽子,想了想後答曰:「不知道」。接著我問3號同樣的問題,他也望了望前面兩個人的帽子, 分析一下剛才4號的答案,然後答曰:「不知道」。同樣我又問2號,他也是答「不知道」。最後當我問1號時 ,他便答:「知道」。請看附圖。




(a) 請問1號戴的帽子是甚麼顏色?
(b) 假如4個人都答「知道」,那麼他們戴的帽子分別是甚麼顏色?

解答(3)



(4) 推銷路線

學習重點:「存在性問題」的證明技巧、圖論的知識

(a) 假設下圖的點(a - j)代表某市鎮10間店鋪的位置,各線段代表連接這些店鋪的道路。某推銷員想設計某 條推銷路線,這條路線須為一條循環路線,即終點須與起點相同,且須經過每間店鋪剛好一次,不多也不少( 起點和終點除外),但不得重複走任何道路。請問你能否替他找到這條路線?如能,請畫出這條路線。如不能 ,請解釋為何不能。




(b)假如換了以下的市鎮店鋪位置圖,答案又如何?




提示:本題是數學上有名的「推銷員問題」(Travelling Salesperson Problem),所求的路線 稱為「漢密爾頓回路」(Hamiltonian Cycle)。讀者在解答本題時,可以採取以下思路:首先我們須注意到, 如果原圖共有n個點,那麼所要求的路線便須剛好有n條線段(請讀者想想為何是這樣),因此我們可以把求推銷 員路線視為刪除線段的過程。由於所求路線須經過每一點剛好一次,因此每一點均只能與另外兩點相連,如某 點與超過兩點相連,便須刪去其中某些線。例如在(a)圖中d點與三個點相連(c、e、g),因此必須刪去其中一 條線。總括而言,解答本題的策略是,把圖中某些線段刪去,使圖中每點均只與另外兩點相連,那麼所剩下的 線段便是所要求的路線。如在刪線過程中出現矛盾,則表示不可能找到所求的路線。

解答(4)



(5) 木星人和火星人排隊

學習重點:排列和組合問題的破解技巧

(a) 現有5名木星人和3名火星人排在一條直線上。假設每位木星人和每位火星人是一模一樣的,換句 話說,可以用5個字母J來代表木星人和3個字母M來代表火星人。如果不許任何兩名火星人站在一起,(舉例說 ,MJJMJMJJ是「合格」的排法,而JMMJJJMJ則是「不合格」的排法),問總共有多少種「合格」的排法?

(b) 假如5位木星人和3位火星人是各不相同的,換句話說,應用J1、J2、J 3、J4、J5和M1、M2、M3來分別代 表5名木星人和3名火星人,那麼又有多少種「合格」的排法?

提示:鑑於解答本題須應用有關排列(Permutation)和組合(Combination)的知識,這裡有必要 簡介這方面的基礎知識。

典型的「排列」問題是從n個物件中任意抽r個出來排列,並求有多少種排列方法,數學上把此數值記為P(n,r) 。請注意求排列時,是要考慮物件的次序的,因此AB跟BA是不同的,應分別計算。例如從4個物件A、B 、C、D中任意抽2個出來排列,共有12種排法,即P(4,2)=12。這12種排法是AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB 、CD、DA、DB、DC。P(n,r)的公式是n!/(n-r)!。這裡n!是n的「階乘」(Factorial),n! = n(n-1)(n-2)..... 3x2x1。例如4! = 4x3x2x1 = 24。(但如n=0,則定義為0!=1)套用此公式求P(4,2)得4!/(4-2)! = 4!/2! = ( 4x3x2x1)/(2x1) = 12。

典型的「組合」 問題則是從n個物件中任意抽r個出來,並求有多少種抽法,數學上把此數值記為C(n,r)。 請注意求組合時,無需考慮物件的次序,因此AB和BA沒有分別,不應重覆計算。例如從4個物件A、B、C、 D中任意抽2個出來,共有6種抽法,即C(4,2)=6。這6種抽法是AB、AC、AD、BC、BD、CD。C(n,r)的公式是n!/( r!(n-r)!)。套用此公式求C(4,2)得4!/(2!(4-2)!) = 4!/(2!2!) = (4x3x2x1)/(2x1x2x1) = 6。

解答(5)



(6) 海盜分鑽石

學習重點:「逆向思維」方法

現有5名海盜和100顆鑽石,他們協議了以下的方法來分配這些鑽石。

他們首先抽籤決定各人的編號(1至5號)。接著由他們輪流提出分配鑽石的方案,首先由1號提出方案,然後交 大家表決(1號自己也可投票)。他的方案必須取得半數或半數以上(即3名)海盜的贊成方可獲通過,否則他會被 投入海中餵鯊魚。假如1號死掉,則順次由2號提出方案並由大家表決。同樣他的方案也必須取得餘下4人中半數 或半數以上(即2名)海盜的贊成方可獲通過,否則他也會被投入海中餵鯊魚。如此類推。

假設5名海盜都有很高的智慧,在衡量過得失後才作決定。他們均以保存性命為第一條件,同時亦盡量爭取對 自己最有利的結果。此外,本題亦假設這5名海盜都是非常重實利的,即假如他們當中任何一人有兩個方案可供 選擇,而其中一個方案可令他獲得較多利益,他必定會選擇這一方案;但假如該兩個方案能令他獲得相同利益 ,那麼便不能保證他必定選擇任何一個方案。現在問這五名海盜最終會如何分配那些鑽石?有沒有人會死?

解答(6)



(7) 三個質數

學習重點:數論和極值問題求解方法

試求三個質數A、B、C使得A + B + C = 100並且A x B x C的值最大。

規則:不可採用「窮竭法」(即找出A、B、C所有可能的值然後相乘,求其最大值)解答這題。

解答(7)



(8) 天文數字

學習重點:質因數分解法和「floor函數」的應用

試求1 x 2 x 3 x ... 100(在數學上,這樣的算式稱為「階乘」Factorial,可簡記為100!)這個數的末尾有多 少個連續的零。

接著試求1013!這個數的末尾有多少個連續的零。

解答(8)



(9) 五名屋主

學習重點:圖表解題技巧、選言推理方法

有五間房子排成一列,所有房屋的顏色都不一樣,五個屋主來自不同國家,各自飼養不同的寵物、喝不同的飲 料和抽不同的煙,並假設以下條件成立:

  1. 英國人住在紅色的房子裡。
  2. 瑞典人養狗。
  3. 丹麥人喝茶。
  4. 綠色的房子在白色的房子的左邊。
  5. 綠色房子的屋主喝咖啡。
  6. 抽Pall Mall香煙的屋主養鳥。
  7. 黃色房子的屋主抽Dunhill香煙。
  8. 位於最中間的房子的屋主喝牛奶。
  9. 挪威人住在最左邊的房子。
  10. 抽Blend的人住在養貓人家的隔壁。
  11. 養馬的屋主的隔壁是抽Dunhill的。
  12. 抽Blue Master的屋主喝啤酒。
  13. 德國人抽Prince。
  14. 挪威人住在藍色房子隔壁。
  15. 只喝水的人家住在抽Blend的人的隔壁。

現在問,誰養魚呢?

解答(9)



(10) 地下情

學習重點:命題之間的相同、反對和矛盾關係

M小姐氣質高雅,是辦公室中9個男性(A、B、C、D、E、F、G、H、I)心目中共同的偶像,而且在這9人之中,有 一個人正偷偷地和M約會著。下面分別是這9個男人的談話,事後得知只有4個人說的話是真的。那麼,從下面的 對話中,你能推斷出誰是M的情人嗎?

提示:請注意命題之間「反對關係」和「矛盾關係」這兩者的分別。兩個命題是「反對」命題, 如果它們不能同真(但卻可能同假)。例如,上述H和I的說話便是反對命題,它們不能同真,但卻可能同假。兩 個命題是「矛盾」命題,如果它們的關係是如果其中一個真,則另一個必假。例如「J是M的情人」和「J不是M 的情人」便是一對矛盾命題,只要證明了其中一個命題真,則可知另一個命題假。反之亦然,即只要證明了其 中一個命題假,則可知另一個命題真。

解答(10)



(11) 真假難分

學習重點:在推理中靈活運用「正負得負,負負得正」的原理

(a) 在你前往「生命之國」的最後一段旅途中,你來到了一個分岔口。你知道這分岔口上的兩條路其中一條是 通向「生命之國」,而另一條則是通向「死亡之國」。在分岔口上站著兩個人,其中一個人專講真話,另一個 專講假話。你不知道哪條路是「生命之路」,也不知道那兩人中的哪一個專講真話;但那兩人知道哪條路是「 生命之路」,也互相知道對方的特性。現在你可以向其中一人問一條問題,你應如何發問,從而找出「生命之 路」?

(b) 在一個島上住著三個人,一個永遠說真話(姑稱之為T),一個永遠說假話(姑稱之為F),一個則有時說真話 ,有時說假話(他說真話或假話的可能性完全是隨機Random的,姑稱之為R)。這三個人互相知道對方的特性,但 只有R才知道自己接下來會說真話還是假話。現在你可以問三條是非問題(即以「是」或「否」回答的問題),每 條問題均只准向其中一人發問。這三人都懂得你的語言,但他們只會用"da"或"ga"回答你。這兩個詞其中一個 代表「是」,另一個代表「否」,但你不知哪一個是「是」,哪一個是「否」。如果你問了一個他們不知道答 案的問題,他們就會不回答。你應如何發問,從而確定這三個人的身份呢?

注意

  1. 這三個人智力正常,具有一般人的常識。他們會盡其所知回答你的問題。
  2. F和R在說假話時會「誠實」地說假話,即剛好與其知識相反的答案。
  3. 你可以「隨機應變」地發問,即你所問的問題以及發問的對象可視乎被問者的答案而變化。


解答(11)



(12) 死亡命令

學習重點:當且僅當命題

在一個神秘國度中住著兩類人,一類人有兩隻眼,另一類人有三隻眼。他們沒有鏡子或其他方法知道自己屬於 哪一類人,也不知道這兩類人的總人數,但他們知道確實存在這兩類人。他們全部人每天早上都必定會到市集 聚會。他們全部視力正常,能看到其他人有多少隻眼,而且每天都會見到所有其他人,但卻從不會以任何方式 告訴對方他的身份(這是國家的法律啊)。有一天下午國王發了一道命令,要所有三眼人自殺。國王的命令當晚 便傳達至所有人民。

命令下達後第二天早上,他們如常來到市集,發覺沒有人自殺。第三天早上也發現沒有人自殺。如是者到了第 九天早上,兩眼人發現所有三眼人消失了(他們全部自殺了)。請問這個國家共有多少個三眼人呢?

注意:所有人都是有高度推理能力和絕對服從國王命令的人,每天去完市集回家後便會根據當 天所見作出判斷。如果肯定自己是三眼人的話,便會於當晚自殺。

解答(12)


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