謎題解答(5)


解答(a)部分其實可以不用任何數學知識,單憑普通推理便可以了。其實只要稍為改變思考答題的角度,便能夠看出一些端倪。由於不許任何兩個火星人(M)站在一起,他們的位置只可能是下圖中空格的位置:

_J_J_J_J_J_

例如把3個M放入第1、2、3個空格中,得MJMJMJJJ,這就是其中一種「合格」排法。只要我們細心數數,不難得出20種「合格」排法。以下列出這20種排法:

MJMJMJJJ   MJMJJMJJ   MJMJJJMJ   MJMJJJJM   MJJMJMJJ
MJJMJJMJ   MJJMJJJM   MJJJMJMJ   MJJJMJJM   MJJJJMJM
JMJMJMJJ   JMJMJJMJ   JMJMJJJM   JMJJMJMJ   JMJJMJJM
JMJJJMJM   JJMJMJMJ   JJMJMJJM   JJMJJMJM   JJJMJMJM

可是上述這種「直觀」方法不能幫助我們解答(b)部分。要解答(b)部分,還得使用排列和組合的知識。不過在解釋答案前,筆者想在這裡闡明,雖然排列和組合有重大的區別,即「排列」問題要考慮次序而「組合」問題則不用考慮次序,但是我們不能把這兩者的分別看得太死,以為凡是和排隊有關的問題就必定是「排列」問題。其實某個問題是否和次序有關,完全視乎我們看問題的角度,不能一概而論。因此,有時同一個問題從某個角度看是「排列」問題,從另一個角度卻可能成了「組合」問題。事實上,「排列」問題本身便含有「組合」的因素。舉例說,從4個物件A、B、C、D中任意抽2個出來排列,這是典型的排列問題,排列總數為P(4,2) = 4!/(4-2)! = 12,即共有12種排法。可是我們亦可以從另一個角度看這問題,其實我們可以把這個問題分為兩個步驟看:第一個步驟是先從4個物件中任意抽2個出來(不管其次序),第二個步驟則是把在上一步驟所得的2個物件排次序。第一個步驟明顯是一個「組合」問題,即C(4,2),而第二個步驟則是一個「全排列」問題,即P(2,2)(註1)。由於在第一個步驟中所得的每個組合均須進行排列,我們可以把上述兩數相乘得

C(4,2) x P(2,2) = 4!/(2!2!) x 2!/0! = 4!/2! = 12

結果跟上面求得的P(4,2)完全相同(註2)。由此可見,「排列」和「組合」問題雖然各不相同,但卻互有關連,解題時必須靈活變通,細心思考。

好了,現在讓我們重新看看(a)部分。這部分的問題其實就是把3個M放入6個空格的問題。從另一個角度看,這亦即是從6個空格(姑且稱這6個空格為1、2、3、4、5、6)中任意抽3個出來的問題。舉例說,假如我們抽2、4、6這3個空格用來放置M,那麼便得排列JMJJMJJM。由於在此問題中,空格2、4、6跟6、4、2或4、2、6等等沒有任何分別,同樣都可得到JMJJMJJM這個排列,因此空格的序號跟次序無關。由此可見,這是一個「組合」問題,所以(a)部分的答案是

C(6,3) = 6!/(3!3!) = 6x5x4x3x2x1 / (3x2x1x3x2x1) = 20

這跟前面用「直觀」方法求得的答案完全吻合。有了解答(a)部分的鍛練後,(b)部分便不難了。雖然在(b)部分中,每個木星人和火星人各不相同(例如M1J1J3M3J5M2J2J4跟M1J1J2M2J3M3J4J5便不一樣,應算作兩種不同的排列),問題好像非常複雜,但如果我們把問題分為三個步驟看,那麼問題便變得容易解了。第一個步驟是,從上述6個空格中抽3個出來放置M,此一步驟的總數即(a)部分的答案C(6,3)=20。第二個步驟是把從第一個步驟所得的3個M的組合任意排序,其排列總數為P(3,3) = 3!/0! = 3x2x1 = 6。第三個步驟則是把5個J任意排序,其排列總數為P(5,5) = 5!/0! = 5x4x3x2x1 = 120。由於上述三個步驟各自獨立,而且前一步驟所得的每一個結果都要進行下一步驟,所以(b)部分的答案是

C(6,3) x P(3,3) x P(5,5) = 20 x 6 x 120 = 14400



註1:數學上把從n個物件中抽n個出來排列的問題稱為「全排列」問題。

註2:事實上不難證明P(n,r) = C(n,r) x P(r,r)。

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