謎題解答(3)


在這道題中,筆者會應用數學證明中常常用到的兩種技巧。第一種技巧是著名的「反證法」(Proof by Contradiction),其原理是這樣的,假設你要證明一條命題(在數學中稱一個事實為一條「命題」Proposition或Statement)。你首先假設該命題的否定命題,然後基於這個假設繼續進行推理。如果在推理過程中產生矛盾,那麼由於數學是不容許存在矛盾的,你便可斷定造成矛盾的必定是最初假設的那個否定命題,這即是說那個否定命題是錯的,從而間接證明了原來的命題是正確的。

第二種技巧是,有時在推理過程中,我們會碰到超過一種可能成立的情況(Case)。這時候我們便要羅列所有可能的情況,逐一考察,看看哪些情況真的能成立。如果只有一個情況成立,則有唯一的解答(Unique Solution)。如果有超過一個情況成立,則解答存在但並不唯一。如果所有情況均不成立,則沒有解答。

現在先讓我們研究一下謎題的(a)部分。為方便讀者參考,以下重複顯示本題的附圖。

先看看4號的情況。根據4號的回答,我們可以推知站在他前面的3個人中,至少有一個戴著紅帽子。讓我們把這句子稱為命題1:

命題1:在1號、2號、3號之中,至少有一個戴著紅帽子。

現用「反證法」證明命題1如下:首先假設命題1的否定(相反)命題,即假設在1號、2號、3號之中,沒有一個戴著紅帽子。基於這項假設,我們可以得出,1號、2號、3號所戴帽子的顏色必然為兩頂黃色和一頂藍色。但是假如情況真是這樣,那麼當4號看見這情況,他應該能推出他自己所戴的帽子是紅色的(因為在6頂帽子中,除了兩頂黃色和一頂藍色外,其他帽子都是紅色的),因此他應該答「知道」。可是他答「不知道」,由此我們得出一個矛盾,這個矛盾必然是來自最初假設的那個否定命題,因此那個否定命題是錯的,從而命題1是正確的。

上述筆者用了較多筆墨寫這個證明,目的是讓那些不熟悉「反證法」的讀者了解這種證明方法的真諦。希望這些讀者能仔細了解,以下的證明將不會那麼詳細。

接著我們考慮3號的情況。同樣,根據3號的回答,我們可以得出以下命題:

命題2:在1號和2號之中,至少有一個戴著紅帽子。

同樣,我們用「反證法」證明如下:首先假設在1號和2號之中,沒有一個戴著紅帽子。那麼根據剛才證完的命題1,3號應能得知自己戴的帽子必定是紅色,即3號應該答「知道」,但實際上他答「不知道」,由此命題2得證。

接著考慮2號的情況。根據2號的回答,我們可以得出以下命題(亦即(a)的答案):

命題3:1號戴著紅帽子。

同樣命題3可以用「反證法」證明。假設1號戴的不是紅帽子,那麼根據命題2,2號應能推出他自己戴的帽子是紅色的。可是2號的答案是「不知道」,此一矛盾使命題3得證。

經過上述討論後,(b)部分變得容易解答了。同樣,先從4號開始,只有一個情況能令4號肯定地回答「知道」,就是他前面3個人的帽子顏色是兩頂黃色和一頂藍色,由此他可以肯定自己戴的是紅帽子。我們試將這結論記為:

命題4:4號戴著紅帽,1號、2號和3號帽子的顏色是兩黃一藍。

接著考慮3號。有兩種情況能讓3號肯定自己帽子的顏色,這兩種情況是:

情況1:1號和2號戴的都是黃帽子,由此3號可推知他的帽子是藍色的。
情況2:1號和2號帽子的顏色是一黃一藍,由此3號可推知他的帽子是黃色的。

由於這兩種情況均可能成立,我們便要分別考察這種兩情況,先考察情況1。在此情況下,2號看見1號戴著黃色的帽子,可是他卻無法據此斷定自己的帽子一定是黃色。因為當他聽到3號說「知道」時,他應推斷有上述兩種可能情況。如果是情況1,則他的帽子是黃色;如果是情況2,則他的帽子是藍色。既然2號無法斷定自己帽子的顏色,他便不可能答「知道」,所以情況1不成立。

接著考察情況2。這裡又有兩個可能情況:2號看見1號戴著黃帽,或者2號看見1號戴著藍帽。上段已討論過,當2號看見1號戴黃帽時,他不能斷定自己帽子的顏色。因此現在只剩下最後一個可能:2號看見1號戴著藍帽。在此情況下,基於命題4,2號必能斷定自己的帽子是黃色的。最後,當1號聽到2號答「知道」時,他也必能斷定自己的帽子是藍色的。

綜合以上討論,我們可以得知(b)部分只有一個答案,就是1號戴藍帽,2號戴黃帽,3號戴黃帽,4號戴紅帽。


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