謎題解答(2)


這道題初看好像很難,因為8個人握手的可能性實在太多了。只要大家細心分析,你將會發現題目所給的條件其實大大限制了這種可能性,最後得出唯一的答案。其實解推理題(或數學題)有時不能操之過急,不能祈望一眼便看出解題思路,而要從最易入手的地方出發,一步一步進行抽絲剝繭式的推理。

現在就讓我們來抽絲剝繭吧。這道題有兩個非常重要的條件,現將之列出如下:

條件1:每個人都不會跟自己握手,也不會跟自己的配偶握手,而且不會跟同一個人握手多於一次。
條件2:7個人(不包括陳先生)的握手次數各不相同。

基於條件2,該7個人的握手次數應該是7個不同的整數。又基於條件1,這7個數中最大的數只能是6。因此這7個數必定是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。為了方便敘述,我們不妨根據各人的握手次數分別把這7個人稱為「阿0」、「阿1」、......「阿6」。請注意陳先生不是「阿0」到「阿6」之中的任何一個。

接著我們考慮這7個人的可能分佈,先從最極端的「阿0」和「阿6」開始。根據上述命名法,「阿0」沒有跟任何人握過手。我們不妨稱此為結論1:

結論1:「阿0」沒有跟任何人握過手。

基於條件1,每個人最多只能跟6個人握手,當中不能包括他的配偶,這即是說「阿6」必須與他的配偶以外的其餘6個人逐一握手。換句話說,我們得到以下結論2:

結論2:「阿6」配偶以外的其餘6個人(包括陳先生)都跟「阿6」握過手。

綜合以上結論1和結論2,我們得出以下結論3:

結論3:「阿6」和「阿0」是一對夫婦。

請注意上述這一步是非常關鍵的,以下的推理都是繼續沿著這個思路走下去,不明白上述這一步的讀者請再細心閱讀,讓自己真正明白了才繼續看下去。

接著我們考慮「阿1」和「阿5」。由於「阿1」只跟一個人握過手,根據結論2,我們得到:

結論4:「阿1」只跟「阿6」握過手。

由於「阿5」必須與他配偶以外的5個人握手,但根據結論1和結論4,這5個人不能包括「阿0」和「阿1」,因此我們得到:

結論5:「阿5」跟「阿2」、「阿3」、「阿4」、「阿6」和陳先生握過手。

因此上述5個人都不可能是「阿5」的配偶,又基於結論3,我們必得:

結論6:「阿5」和「阿1」是一對夫婦。

接著我們又考慮「阿2」和「阿4」。由於「阿2」只跟兩個人握過手,根據結論2和結論5,我們必得:

結論7:「阿2」只跟「阿6」和「阿5」握過手。

由於「阿4」必須與他配偶以外的4個人握手,但根據結論1、結論4和結論7,這4個人不能包括「阿0」、「阿1」和「阿2」,因此我們得到:

結論8:「阿4」跟「阿3」、「阿5」、「阿6」和陳先生握過手。

由此可見上述4個人都不可能是「阿4」的配偶,又基於結論3和結論6,我們必得:

結論9:「阿4」和「阿2」是一對夫婦。

最後剩下「阿3」。由於其餘的人已兩兩配對,我們必得

結論10:「阿3」跟陳先生是一對夫婦。

至此我們得到(b)的答案了:陳太太(即「阿3」)共握了三次手。接著綜合以上結論1、結論2、結論4、結論5、結論7、結論8和結論10,可以得知陳先生只跟「阿6」、「阿5」和「阿4」握過手,因此(a)的答案是:陳先生共握了三次手。

其實如果用圖表示這道題的解答,可能會更容易明白。這裡我們借用圖論(Graph Theory)的作法,用8個點(Vertex)代表這4對夫婦(並排的兩點代表一對夫婦),並用連接兩點的線(Edge)代表曾經握手的兩個人(見下圖)。首先我們任意取一點代表「阿0」(見圖1)。然後考慮哪一點可以代表「阿6」。由於「阿6」那一點必須與6其餘6個點相連(但不包括「阿0」那一點),因此我們只能把代表「阿6」和「阿0」的點畫成如圖1那樣。

接著我們任意選取與代表「阿6」那點相連的一點作為「阿1」(見圖2),那麼這點便不能再與其他點相連了。然後我們考慮哪一點可以代表「阿5」,結果只能畫成如圖2那樣(我用紅色代表新增的線)。讀者請想想為何其他的點不可能成為「阿5」。

接著我們又任意選取與「阿6」和「阿5」那兩點相連的一點作為「阿2」(見圖3),請注意這點不能再與其他點相連。然後我們考慮哪一點可以代表「阿4」,結果只能畫成如圖3那樣。所有其他點均不可能代表「阿4」。

最後,從圖3可見,還剩下兩個未確定歸屬的點。這兩個點必定是代表陳先生和陳太太,而陳太太必定就是「阿3」。從圖3亦可看到,剩下的這兩個點都與其餘3個點相連,而且也已不可能再在圖上加任何線(請想想為何?)。因此我們可以得出結論,陳先生和陳太太都跟3個人握過手。

從這道題我們又學習到甚麼?解推理題其實跟偵探破案有點相似,首先我們必須清楚有哪些條件是已知的,接著嘗試從這些已知條件出發,以抽絲剝繭的方式一步一步推出必然的結論,直至得到我們希望得到的結果。而在每一步我們都要非常小心,避免推理出錯。當然我們也須具備邏輯思維的能力,而這種能力是需要我們去鍛鍊的。本人覺得,這條謎題是一條頗佳的推理謎題,從中可以看到如何進行一步一步的推理,值得向你的朋友推介。


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