謎題解答(1)


這道題初看上去好像很嚇人,其實答案非常簡單。解題的關鍵在於你是否能看出1, 1 x 2, 1 x 2 x 3, 1 x 2 x 3 x 4, .... 1 x 2 x 3 x 4 x .... 1958這組數的個位數的變化趨勢。其實,你只要試試乘開首幾個數,便能看出一些端倪:

1 x 2 = 2
1 x 2 x 3 = 6
1 x 2 x 3 x 4 = 6 x 4 = 24
1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 24 x 5 = 120
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 120 x 6 = 720
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 720 x 7 = xxx0

看到這裡,大家應該看出答案是1 x 2 x 3 x 4 x 5及以上的數的個位數均為0。因此,1 + 1 x 2 + 1 x 2 x 3 + 1 x 2 x 3 x 4 + ...... + 1 x 2 x 3 x 4 x ...... x 1958的個位數等於開首4個數的和的個位數,即

1 + 2 + 6 + 4的個位數,即3

其實只要想深一層,你根本無需進行上述那個「金字塔式」的運算也能看得出上述答案。因為1 x 2 x 3 x 4 x 5這個數含有2和5這兩個因子,而2 x 5 = 10。我們知道任何整數乘以10,哪怕那是一個天文數字,必然得到一個個位數為0的數。因此解答這道題時只需把首4個數加起來再求其個位數便行了,這裡的1958只是一個嚇唬人的煙幕。即使數目再大一點,答案仍是一樣。

從這道謎題我們學習到甚麼?其實大多數人在初看到這道題時都會給它嚇壞了,以為是一條需要高深數論(Number Theory)知識的難題,因而望而卻步;有些人則可能走入死胡同,想盡各種解題方法,卻看不到原來解答是那麼簡單。有些人可能會認為,並非每個人都能像上述解答那樣輕易「轉腦筋」,這畢竟需要一點天才。

其實,解答這類謎題並不需要很多天才,最重要的是願意嘗試。大多數人只要願意進行上述「金字塔式」運算,便遲早能夠看出答案,並且意會到箇中奧妙,因為他們遲早會留意到乘出來的結果總是以0為個位數。為何會這樣呢?因為有10的因子存在。而他們進一步便會發現這道題原來很簡單,只需少許運算便行了。

其實學習數學和解數學題也常常如此。我們在接觸一個陌生的概念或面對一條看上去艱深的題目時,很多時候都會給這些概念或題目嚇怕而望而卻步,或者走入死胡同。其實學習數學有一個很重要的技巧,就是把概念或問題「特殊化」(Specialize,亦可叫作「具體化」),即把一個抽象或一般的概念轉化為一個具體易明的概念,嘗試從這個具體易明的概念入手,參透出原來概念的某些側面。雖然這有點像瞎子摸象,但這個「特殊化」方法往往能啟發我們對原來概念的了解。

「特殊化」方法還有一個好處,就是使我們首先不用對陌生的概念產生畏懼感。就以上述這道題來說。很多人一看見1 x 2 x 3 x 4 x ...... x 1958便已心生畏懼,但假如我們是從1 x 2, 1 x 2 x 3等等開始,便能克服這種畏懼。因此,筆者以為,很多數學或推理題目其實不是考驗答題者的天才,而是考驗他們能否克服當前的畏懼感,願意拿起筆去試試算,並從而看出解題的端倪。


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