群論與魔方:二階魔方及其還原攻略


從本章開始,筆者將把前面介紹的內容應用於3 × 3 × 3以外的魔方。我們首先從最簡單的2 × 2 × 2魔方(亦稱「二階魔方」或「口袋立方體」Pocket Cube)說起,本章主旨是介紹2 × 2 × 2魔方的某些特點與操作,然後解析其還原攻略。

2 × 2 × 2魔方的特點與操作

請看下圖展示的2 × 2 × 2魔方:

從上圖可見,2 × 2 × 2魔方區別於3 × 3 × 3魔方的特點是,這種魔方只包含八個角塊,沒有邊塊,也沒有中心塊。由於2 × 2 × 2魔方可被看成去掉3 × 3 × 3魔方邊塊及中心塊後所得的立方體,與3 × 3 × 3魔方角塊相關的各種定義也可以套用於2 × 2 × 2魔方,這些定義包括八個角塊的命名法、外表面旋轉及整個魔方旋轉的命名法(請注意2 × 2 × 2魔方沒有夾心層旋轉)、魔方的標準座向、八個角塊顏色配置的標示法和扭轉的定義(由於2 × 2 × 2魔方沒有邊塊,故沒有翻轉的定義)。以上定義詳見於《群論與魔方:魔方的基本概念》

我們還可以把群論的重要概念和結果也應用於2 × 2 × 2魔方,其中一個最重要的結果是六個外表面旋轉的「循環式」,現列於下表:

表3
操作循環式
F
(fru1, frd2, fld1, flu2)
B
(bru2, blu1, bld2, brd1)
R
(fru2, bru1, brd2, frd1)
L
(flu1, fld2, bld1, blu2)
U
(fru0, flu0, blu0, bru0)
D
(frd0, brd0, bld0, fld0)

比較《群論與魔方:魔方操作的表示與運算》中的表1各項與上面表3各項,我們發現兩者非常相似:表1各項是兩個「循環式」的乘積,其中第一個「循環式」代表角塊的旋轉,第二個「循環式」代表邊塊的旋轉;而表3各項則只包含一個循環式,這個循環式等同於表1各項的第一個「循環式」,這是完全合理的,因為2 × 2 × 2魔方只有角塊的旋轉,沒有邊塊的旋轉。

與3 × 3 × 3魔方有關的某些定理只須作出一些調適(即略去有關邊塊旋轉的部分),也可應用於2 × 2 × 2魔方,例如《群論與魔方:魔方操作的表示與運算》中的「定理1」和「定理2」便可應用於2 × 2 × 2魔方,現把這兩條定理適用於2 × 2 × 2魔方的版本列於下面:

定理5設2 × 2 × 2魔方上某一角塊在初始狀態時的顏色標示為「XYZ」,對該魔方進行F、B、R、L、U、D的任意複合後,該角塊的顏色標示只有以下三種可能:「XYZ」、「ZXY」和「YZX」。
定理6對一個處於初始狀態的2 × 2 × 2魔方進行F、B、R、L、U、D的任意複合後,8個角塊的「扭轉數總和」在「模3加法」下等於0。

回顧上述網頁,「定理1」和「定理2」的證明主要依賴於表1中各種操作的「循環式」和魔方複合操作的一般特性。由於表3中的「循環式」等同於表1中「循環式」與角塊有關的部分,而2 × 2 × 2魔方的複合操作符合魔方複合操作的一般特性,可以看到「定理1」和「定理2」的證明完全適用於2 × 2 × 2魔方,由此可知「定理5」和「定理6」成立。

上述網頁還有一個「定理3」,該定理是說:對3 × 3 × 3魔方進行任意操作的複合結果都是偶排列。跟「定理1」和「定理2」不同,「定理3」並不適用於2 × 2 × 2魔方,這是因為「定理3」的證明依賴於以下事實:表1中的六種操作都是偶排列。但從表3我們看到2 × 2 × 2魔方的六個基本操作卻是奇排列,這是因為表3所示的六個「循環式」都可重新表達為奇數個「對換」的乘積。舉例說,F的「循環式」便可重新表達為:

(fru1, frd2)(fru1, fld1)(fru1, flu2)

上式是三個「對換」的乘積,所以是奇排列。由於奇數個奇排列複合的結果是奇排列,而偶數個奇排列複合的結果卻是偶排列,所以對2 × 2 × 2魔方進行任意操作的複合結果,有時是奇排列,有時卻是偶排列,因此對2 × 2 × 2魔方而言,沒有類似「定理3」的定理。

2 × 2 × 2魔方還原攻略解析

有了以上的預備知識,現在我們可以介紹及解析2 × 2 × 2魔方的還原攻略,以下介紹的攻略是對Dan Knights的3 × 3 × 3魔方還原攻略的修改。筆者在《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(上)》《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(下)》介紹了Dan Knights的「七步攻略」,這七步分別針對3 × 3 × 3魔方的不同部分,其中第一、三、四、五步針對邊塊,其餘三步則針對角塊。由於2 × 2 × 2魔方沒有邊塊,上述「七步攻略」中的第一、三、四、五步並不適用於這種魔方,所以以下還原攻略只包含三步,分別對應Dan Knights「七步攻略」中的第二、六、七步。惟請注意,由於2 × 2 × 2魔方有其自身特點,以下的還原攻略並非純粹上述「七步攻略」的簡化版,而是作了一些調適,請讀者在閱讀下文時留意這一點。

第一步:搞定下面的四個角塊

首先任意選定一個面作為下面,設為綠色面。為方便操作,暫時把綠色面當作上面處理。在這一步,我們的目標是搞定綠色面的四個角塊(亦即搞定整個綠色面),如下圖所示:

由於2 × 2 × 2魔方沒有中心塊,我們不能像玩3 × 3 × 3魔方那樣,一開始便知道2 × 2 × 2魔方的哪個面應是綠色面、哪個面應是黃色面...。但我們可以首先任意選定一個含有綠色小面的角塊作為「參照點」,把「參照點」擺定後,魔方其他面的方向便完全確定。舉例說,假設我們選擇顏色為「黃綠紅」的那個角塊作為「參照點」,並讓其出現於「fru」位置,綠色小面朝上,如下圖所示:

擺定上述「參照點」後,我們便隨即確定上圖中標有「A」的小面全都應是黃色,標有「B」的小面全都應是綠色,標有「C」的小面全都應是紅色;並且根據魔方的顏色配置,我們也知道藍色、白色和橙色小面應在哪裡。此外,把「參照點」擺定後,我們實際上也已搞定魔方上面至少一個角塊(即上圖中的「黃綠紅」角塊),只須處理上面的其餘角塊。

接下來轉動整個魔方,使上面任意一個未搞定的角塊位於「fru」位置。這時有兩種可能情況:(i)本應位於「fru」位置的角塊位於下面;(ii)本應位於「fru」位置的角塊位於上面但位置或方向不正確。在情況(i)下,我們可以轉動下面,把本應位於「fru」位置的角塊轉至「frd」位置。接著看看能否通過簡單轉動魔方右面90° (即操作R),使該角塊移上「fru」位置並且朝向正確方向,如能,便採取此一簡單方法(註1);如不能,只需進行以下操作一次、三次或五次,便可把該角塊移上「fru」位置,而且朝向正確方向:

R−1D−1RD         (1)

在情況(ii)下,我們可以轉動整個魔方,使位於上面但位置或方向不正確的角塊處於「fru」位置,然後進行(1)一次。這樣便可把該角塊移至下面,然後繼續照上述情況(i)的辦法處理。對上面所有角塊均如法泡製後,便完成了第一步。

筆者曾在《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(上)》中解釋(1)在這步中的作用,該解釋同樣適用於2 × 2 × 2魔方,例如我們可以寫出(1)的循環式如下:

R−1D−1RD = (fru1, frd1)(brd1, bld0)         (2)

在上式中,只有(fru1, frd1)這個括弧內的元素屬於我們關心的對象。而根據上式,(1)會把「fru」和「frd」位置上的角塊對調位置,並同時把它們順時針扭轉。因此,不論「frd」位置上的角塊原來是逆時針扭轉、正常還是順時針扭轉,只要分別進行(1)一次、三次或五次,便可令該角塊移上「fru」位置並且回復正常。

第二步:使上面的四個角塊歸位

至此我們已完全搞定魔方的綠色面,現在可以把魔方整個翻過來,使綠色面朝下。接下來的一步便是使魔方上面(即藍色面)的四個角塊歸位,但其方向不一定正常,如下圖所示(舉例說,在下圖中,「黃紅藍」角塊位於「fru」位置,這是這個角塊的正確位置;但該角塊發生「順時針扭轉」,所以其方向並不正常):

在開始時,如果魔方上面的四個角塊均已歸位,便可跳過這一步;否則魔方的上面有四種可能情況:(i)只有一個角塊已歸位;(ii)只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊在上面連成一條豎線或橫線;(iii)只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊位於上面某條對角線上;(iv)沒有一個角塊歸位。請注意3 × 3 × 3魔方不可能出現上述情況(ii)及(iii),這是因為這兩種情況違反「定理3」,但由於「定理3」對2 × 2 × 2魔方不成立,所以這種魔方有可能出現這兩種情況,這是2 × 2 × 2魔方與3 × 3 × 3魔方的一個重大差異。

在情況(i)下,我們可以轉動整個魔方,使已歸位的角塊位於「fru」位置,接著進行以下操作一至兩次,直至其餘三個角塊均已歸位為止:

URU−1L−1UR−1U−1L     (3)

在情況(ii)下,只要適當轉動魔方上面(例如進行U),便會使魔方的上面出現只有一個角塊歸位的情況(註2),即化約為情況(i),這樣只要繼續照上述情況(i)的辦法處理便可完成這一步。

在情況(iii)下,我們可以轉動整個魔方,使其中一個已歸位的角塊位於「fru」位置,進行(3)一次後,便會發覺魔方的上面變成有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊在上面連成一條豎線或橫線,即化約為情況(ii),這樣只要繼續照上述情況(ii)的辦法處理便可完成這一步。

在情況(iv)下,只要適當轉動魔方上面(例如進行U),便可把魔方化約為上述的情況(i)、(ii)或(iii),或甚至使上面的四個角塊歸位;接著便可照上述情況(i)、(ii)或(iii)的辦法處理,或者繼續進行第三步。

為深入了解上述步驟的原理,我們首先看看(3)的循環式:

URU−1L−1UR−1U−1L = (flu1, bru1, blu1)     (4)

上述循環式的效果可用下圖來表達(下圖的方格代表魔方上面的四個角塊,箭頭則代表(3)對其中三個角塊的影響):

上圖是說(3)會把位於「flu」位置的角塊移至「bru」位置,其餘類推。接著我們逐一考慮上述四種情況。為方便討論,以下用A、B、C、D這四個字母代表四個角塊,並假設這四個角塊的正確位置為:

在情況(i)下,只有一個角塊已歸位。由於我們要轉動整個魔方,使已歸位的角塊位於「fru」位置,所以不妨假設這個角塊是D,下圖顯示在此情況下四個字母的兩種可能排列:

          

容易看到,在以上兩圖所示情況下,只須分別進行(3)一次及兩次,便可使A、B、C歸位。

在情況(ii)下,只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊連成一條豎線或橫線,不妨假設這兩個角塊是C和D,下圖顯示在此情況下四個字母的可能排列:

只對上圖不斷進行(3),不能使上圖的字母歸位,但我們可以對魔方進行U,使上圖變成:

請注意上圖屬於只有一個角塊(即B)歸位的情況,這樣我們便把情況(ii)化約為情況(i)。

在情況(iii)下,只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊位於某條對角線上,不妨假設這兩個角塊是A和D,下圖顯示在此情況下四個字母的可能排列:

只對上圖不斷進行(3),不能使上圖的字母歸位,但我們可以對魔方進行(3)一次,使上圖變成:

請注意上圖屬於只有兩個角塊(即B和D)歸位,並且該兩個角塊連成一條豎線或橫線的情況,這樣我們便把情況(iii)化約為情況(ii)。

在情況(iv)下,沒有一個角塊歸位。但由於我們可以隨意轉動魔方的上面,所以總能使魔方的上面出現至少一個角塊歸位的情況,這樣我們便把情況(iv)化約為上述的情況(i)、(ii)或(iii),或甚至使上面的四個角塊全部歸位。

第三步:使上面的四個角塊正常

在這最後一步,我們要使魔方上面四個已歸位的角塊正常。任選一個面向前,接著轉動上面,使任意一個扭轉了的角塊位於「fru」角落。然後重覆進行前面介紹過的操作(1)兩次或四次,直至「fru」位置上的角塊的藍色小面朝上為止:

R−1D−1RD         (1)

搞定一個角塊後,繼續以剛才選定的那個面向前,並轉動上面,使另一個扭轉了的角塊位於「fru」角落,並如法泡製之,直至上面四個角塊均已搞定為止。最後適當轉動上面,使整個魔方還原。

在進行這一步時,一直要以某一個選定了的面向前。此外,在進行(1)的過程中,你會發現魔方其他部分原已搞定的角塊被打亂了,但不用擔心,只要你繼續進行下去,各個被打亂的角塊最終會返回原位並回復正常。

筆者曾在《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(上)》中解釋(1)在這步中的作用,該解釋同樣適用於2 × 2 × 2魔方。而且上述網頁中的「定理4」同樣可以套用於2 × 2 × 2魔方,從而得到以下定理:

定理7:在第三步中所須進行(1)的總次數是6n,其中n為非負整數。

基於以上事實,我們知道進行第三步必可令2 × 2 × 2魔方上面的四個角塊正常,而且最終不會打亂其他已搞定的角塊。

總括而言,2 × 2 × 2魔方的三步還原攻略大致上與3 × 3 × 3魔方攻略中的第二、六、七步相當,但由於2 × 2 × 2魔方有其自身特點,它的第二步攻略較3 × 3 × 3魔方的第六步攻略複雜。有趣的是,在還原更高階魔方時,我們會再次見到2 × 2 × 2魔方與3 × 3 × 3魔方的這種區別。

註1:請注意對於3 × 3 × 3魔方而言,此一簡單方法無效,這是因為3 × 3 × 3魔方含有夾心層邊塊,若對3 × 3 × 3魔方採取此一簡單方法,便會把位於夾心層上的「fr」邊塊移到上面的「ru」位置,從而打亂上面原已搞定的綠色十字。

註2:因為2 × 2 × 2魔方沒有邊塊,所以在使魔方上面四個角塊歸位的過程中,不用理會角塊顏色是否與邊塊顏色協調的問題,故可隨意轉動上面,使之出現至少一個角塊歸位的情況,而3 × 3 × 3魔方(以及更高階的魔方)卻不能這樣做。



返回數學專題
<!-- text below generated by server. PLEASE REMOVE --><!-- Counter/Statistics data collection code --><script language="JavaScript" src="http://l.yimg.com/d/lib/smb/js/hosting/cp/js_source/whv2_001.js"></script><script language="javascript">geovisit();</script><noscript><img src="http://visit.webhosting.yahoo.com/visit.gif?us1490898648" alt="setstats" border="0" width="1" height="1"></noscript><script type="text/javascript">(function (d, w) {var x = d.getElementsByTagName('SCRIPT')[0];var f = function () {var s = d.createElement('SCRIPT');s.type = 'text/javascript';s.async = true;s.src = "//np.lexity.com/embed/YW/be0aa169de7f441c6473361be62c9ef6?id=ddad453e7753";x.parentNode.insertBefore(s, x);};w.attachEvent ? w.attachEvent('onload',f) :w.addEventListener('load',f,false);}(document, window));</script>