群論與魔方:魔方花式(下)


上一章介紹了五種較簡單的魔方花式,本章將繼續介紹另外五種花式,其中有些花式頗為複雜。像上一章一樣,我們將提供每一種花式的公式及其「循環式」,並簡單解釋其原理。

6. 頂峰(Peak)

這種花式在魔方的前、右、上三面交界處和後、左、下三面交界處分別形成兩個像水塔形狀的圖案,一個塔頂向上,一個塔頂向下,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

FU2LFL−1BLUB−1R−1L−1UR−1D−1F−1BR2 = (fru0, bld0)(fr1, bl1)(fu0, ld0)(ru0, bd0)     (6)

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是把位於「fru」和「bld」角落的角塊對調,並同時把鄰接這兩個角塊的六個邊塊也兩兩對調位置,從而在「fru」和「bld」這兩個角落的鄰近範圍出現與別不同的顏色,形成兩個像水塔形狀的圖案。

7. 方中方(Cube in a Cube)

這種花式在魔方的前、右、上三面交界處和後、左、下三面交界處分別形成兩個顏色與別不同的2 × 2 × 2魔方,從而出現大魔方內含兩個小魔方的景象,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

UBUR−1FRU2B2R−1B−1D L−1D−1B2R = (flu2, bru2, frd2)(blu1, brd1, fld1)(lu1, br0, fd1)(bu1, rd1, fl0)     (7)

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是使位於前、右、上三面交界處和後、左、下三面交界處的兩個角塊、六個邊塊和六個中心塊保持不動,並把其餘六個角塊分兩組循環換位,六個邊塊也分兩組循環換位。這樣,保持不動的角塊、邊塊和中心塊的顏色便與周圍的顏色有所不同,看來像是兩個內崁於大魔方的小魔方一樣。

8. 超級翻轉(Superflip)

這種花式把魔方的12個邊塊全部都翻轉,並保持其餘八個角塊和六個中心塊不動,如下圖所示:

以下為上述花式的公式:

[(RMU)4RCUC−1]3     (8)

上式包含兩層括號,外層括號的3次冪代表須進行「(RMU)4RCUC−1」操作三次,而內層括號的4次冪則代表在每次進行這個操作時,都要進行「RMU」操作四次。此外,上式還用到《群論與魔方:魔方的基本概念》中介紹過的「整個魔方旋轉」RC和UC−1。由於這種旋轉等同於朝同一方向逐一旋轉兩個外層和一個夾心層(註1),而且兩個外層旋轉和一個夾心層旋轉所影響的角塊、邊塊和中心塊互不相干,因此我們可以把「整個魔方旋轉」分解為三個旋轉的乘積。

舉例說,繞一條穿過前面的軸順時針旋轉90° (此即FC),便等同於先後順時針旋轉前面90°,順時針旋轉夾處前、後兩面的夾心層90°,和逆時針旋轉後面90°,因此我們可以把FC分解為F、FM和B−1的乘積。以下列出三個「整個魔方旋轉」的分解公式(註2):

FC = FFMB−1     (9)
RC = RRML−1     (10)
UC = UUMD−1     (11)

此外,我們還要用到群論上有關複合乘積逆元的公式:設X和Y為某個群中的兩個元素,那麼我們有

(XY)−1 = Y−1X−1     (12)

把(10)和(11)代入(8)並利用公式(12),便可把(8)改寫成以下形式,並可算出其「循環式」如下:

[(RMU)4RRML−1DUM−1U−1]3 = (fu1)(bu1)(bd1)(fd1)(lu1)(ru1)(fr1)(br1)(rd1)(fl1)(ld1)(bl1)     (13)

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是把12個邊塊翻轉,並使其他角塊、中心塊保持不動,正可達致所需的效果。

9. 超級扭轉(Supertwist)

這種花式把魔方的八個角塊全部都扭轉,並保持其餘12個邊塊和六個中心塊不動,如下圖所示:

以下為上述花式的公式:

[LFC(FM)2(RM)2D−1B2R2]2     (14)

上式也用到「整個魔方旋轉」FC。把(9)代入上式,便可把上式改寫成以下形式,並可算出其「循環式」如下:

[LFFMB−1(FM)2(RM)2D−1B2R2]2 = (flu2)(fld1)(bld2)(blu1)(fru1)(frd2)(bru2)(brd1)     (15)

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是把八個角塊扭轉(一半順時針,一半逆時針),並使其他邊塊、中心塊保持不動,正可達致所需的效果。

10. 六色同堂(6-Colour Cube)

還原魔方的目的是要令魔方的每個面只出現一種顏色,「六色同堂」則是要使魔方的每個面都出現六種顏色。由於六種顏色在九個小面上可以有很多可能配置,如要令這種花式呈現對稱美,並不是簡單的事。下圖顯示一個符合此要求的花式。在此花式中,每個面上的四個角塊都同色,其餘四個邊塊和中心塊各不同色,不僅符合了「六色同堂」的基本要求,而且所得圖案有一種對稱美,就像一個五彩繽紛(準確點說,應為「六」彩繽紛)的禮物包裹。

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

 UFRD2B2D2F2D−1LDFD−1LBU2RF
=(fru0, bld0)(flu0, fld0)(blu0, frd0)(bru0, brd0)(fu1, bu1)(lu1, ru1)(fr0, bl0)(fd1, bd1)(fl1, br1)(rd1, ld1)     (16)

從上述「循環式」和上圖可以看到,上式的作用是保持六個中心塊不動,並同時把八個角塊兩兩對調位置,從而使本來位於前面四個角落上的藍色小面與左面四個角落上的紅色小面對調位置;本來位於後面四個角落上的綠色小面與右面四個角落上的橙色小面對調位置;本來位於上面四個角落上的黃色小面與下面四個角落上的白色小面對調位置。這樣便使每個面上的四個角塊同色,但與中心塊不同色。

此外,上式也把12個邊塊兩兩對調位置並作適當翻轉,從而使這些邊塊在各個外表面上各呈現不同顏色,而且與各個外表面上的中心塊和四個角塊均不同色,從而達致具對稱美的「六色同堂」圖案。

註1:從操作的角度看,旋轉整個魔方當然比逐一旋轉兩個外層和一個夾心層簡便得多;但從計算「循環式」的角度看,我們必須把「整個魔方旋轉」看成三個旋轉的複合。

註2:由於BC = FC−1,LC = RC−1,DC = UC−1,我們只需列出FC、RC和UC的公式。另請注意,以下三條公式中等號右邊相乘的各項可以調換次序。



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