群論與魔方:魔方花式(上)


玩魔方的最基本目標當然就是把擰亂的魔方還原過來,但在已熟習還原的技法後,我們或許已不再滿足於這個基本目標,而希望更上一層樓,發掘更多更有挑戰性的玩法,其中一種玩法就是擰出魔方的各種「花式」。所謂「魔方花式」,是指用五彩繽紛的魔方角塊、邊塊和中心塊拼湊而成的美麗樣式。

本章和下一章的目的,是介紹幾種簡單但有代表性的魔方花式。筆者將提供可擰出這些花式的公式,並寫出這些公式的「循環式」。這些「循環式」可透過對魔方的操作進行複合及求逆運算求得,《群論與魔方:魔方操作的表示與運算》的表1載列了魔方六個基本操作的「循環式」。但除了這六個基本操作外,以下還須用到《群論與魔方:魔方的基本概念》中介紹過的「夾心層旋轉」。為方便討論,以下把六個基本操作和三個「夾心層旋轉」(註1)的「循環式」列於下表(下表是對上述表1的擴充):

表2
操作循環式
F
(fru1, frd2, fld1, flu2)(fr0, fd0, fl0, fu0)
B
(bru2, blu1, bld2, brd1)(br0, bu0, bl0, bd0)
R
(fru2, bru1, brd2, frd1)(fr1, ru1, br1, rd1)
L
(flu1, fld2, bld1, blu2)(fl1, ld1, bl1, lu1)
U
(fru0, flu0, blu0, bru0)(fu0, lu0, bu0, ru0)
D
(frd0, brd0, bld0, fld0)(fd0, rd0, bd0, ld0)
FM
(ru1, rd1, ld1, lu1)(r, d, l, u)
RM
(fu1, bu1, bd1, fd1)(f, u, b, d)
UM
(fr1, fl1, bl1, br1)(f, l, b, r)

上表最後三行顯示,「夾心層旋轉」只會影響「邊塊」和「中心塊」,而且由於「中心塊」無所謂「扭轉」或「翻轉」,所以上表中代表「中心塊」的字母無需加下標。

以下在介紹各種花式時,為清楚顯示魔方六個面上的圖案,筆者會顯示從兩個相反角度觀看魔方的景象,分別顯示魔方的前、右、上三面和後、左、下三面。惟請注意,以下顯示的魔方的「標準座向」是以藍色面向前,綠色面向後,橙色面向右,紅色面向左,黃色面朝上,白色面朝下,如下圖所示(下圖還標出六個中心塊和八個角塊在兩個景象中的對應位置):

上述魔方的「標準座向」可能跟讀者手上的魔方有所不同,因此讀者根據以下公式所得圖案的顏色配搭可能跟圖中所示不同。但這不要緊,最重要的是能擰出花式的形狀。

此外,為了解以下公式對魔方的作用,讀者還須重溫筆者在《群論與魔方:魔方的基本概念》介紹過的魔方邊塊和角塊的顏色標示法、「翻轉」及「扭轉」的定義,以及在《群論與魔方:魔方操作的表示與運算》中引入的「定理1」(略經修改):

定理1設某一角塊和某一邊塊在初始狀態時的顏色標示分別為「XYZ」和「VW」,經任意扭動(這裡指表2所示的操作)魔方後,該角塊的顏色標示只有以下三種可能:「XYZ」、「ZXY」和「YZX」,該邊塊的顏色標示則只有以下兩種可能:「VW」和「WV」。

利用上述顏色標示法、「翻轉」及「扭轉」的定義和「定理1」,我們便容易從某一操作的「循環式」確定任一角塊和邊塊經該操作後其各個小面的朝向。舉例說,設某一操作的「循環式」為(fru1, bru2),現把該操作應用於處於上述「標準座向」下的魔方,那麼根據這個「循環式」,這個操作的作用就是把位於「前右上」角落的「藍黃橙」角塊與「後右上」角落的「橙黃綠」角塊對調位置,並發生「扭轉」。根據「逆時針扭轉」的定義和上述定理,我們知道「藍黃橙」角塊經上述操作後,必然變為「黃橙藍」角塊。根據角塊的顏色標示法,這即是說這個角塊從原來藍色面向前、黃色面朝上和橙色面向右變成黃色面向右、橙色面朝上、藍色面向後。

讀者還須注意,下述每種花式都有多種變體,而每種變體又有不只一種擰法,因此下列公式只是實現每種花式的眾多可能公式之一。讀者如有興趣,可參考有關書籍或網頁介紹的其他公式,或自行創作出新的公式。

1. 點(Dot)

我們首先從簡單的「點」花式開始,這種花式在魔方六個面的中央形成一個顏色與別不同的點,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

RMFM−1RM−1FM = (f, u, r)(b, d, l)     (1)

上述「循環式」顯示,上述公式的作用是把前、上、右三面的「中心塊」循環換位,並同時把後、下、左三面的「中心塊」也循環換位,因此利用上述公式確可擰出所需花式。

2. 對角線(Diagonal)

這種花式在魔方的四個面上形成一條顏色與別不同的對角線,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

(RLFB)3 = (fru0, blu0)(brd0, fld0)(fr0, bl0)(ru0, lu0)(br0, fl0)(rd0, ld0)(fd0, bd0)(fu0, bu0)     (2)

上式寫成複合操作「RLFB」的三次冪,代表進行這個複合操作三次。

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是保留魔方的前、後、右、左這四個面上處於某條對角線上的兩個角塊和一個中心塊不動,並把其餘的角塊和邊塊移至相反一面的相應位置,從而在這四個面上形成一條顏色與別不同的對角線。

3. 棋盤(Chessboard)

這種花式在魔方的六個面上形成兩種顏色居間出現的圖案,就像棋盤那樣,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

RM2FM2UM−2 = (fu0, bd0)(bu0, fd0)(ru0, ld0)(rd0, lu0)(fr0, bl0)(fl0, br0)     (3)

上式中的UM−2是(UM−1)2的簡寫,即進行UM−1兩次。

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是保留魔方六個面上的中心塊和四個角塊不動,並把四個邊塊移至相反一面的相應位置,從而形成每一面的中心塊和四個角塊屬同一色,而其餘四個邊塊屬另一色的棋盤圖案。

4. 十字(Cross)

這種花式在魔方的六個面各形成一個顏色與別不同的十字,就像用絲帶包裹的禮物一樣,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

UR2U2FMD2R2D2FM−1U = (fru0, bld0)(flu0, fld0)(blu0, frd0)(bru0, brd0)     (4)

從上述「循環式」可以看到,上式的作用是保留魔方六個面上的中心塊及四個邊塊(這些中心塊和邊塊形成一個十字)不動,並把位於上排的四個角塊與位於下排的四個角塊對調位置,從而在每一面形成一個顏色與別不同的十字。

5. 直條紋(Stripe)

這種花式在魔方的六個面上各形成三條不同顏色的直線,猶如「三色旗」一般,如下圖所示:

以下為上述花式的公式及其「循環式」:

 URU2FMU2R−1FBL2UFM−1RL−1B−1D
=(fru1, bru2)(flu1, blu2)(brd2, bld1)(frd2, fld1)(fu0, bu0)(lu1)(ru1)(rd0, ld0)(fd1)(bd1)     (5)

從上述「循環式」可以看到,上式的作用有三:(1)在前、後、右、左四個面中各保持某條夾處中間的直線不動,這裡共涉及4條直線;(2)把前面和後面的頂行對調位置,右面和左面的底行對調位置(對調時適當扭轉有關角塊),從而在前、後、右、左四個面中各形成一條新的直線,共4條直線;此外,由於參與對調的四個邊塊(即「fu」、「bu」、「rd」、「ld」)不發生翻轉,所以原在上面和下面夾處中間的黃色和白色直線保持不變,這裡又涉及2條直線;(3)把其餘四個邊塊(即「lu」、「ru」、「fd」、「bd」)翻轉,使它們的兩個小面分別與兩旁角塊的兩個小面同色,從而形成8條直線。總上所述,上述操作合共形成4 + 4 + 2 + 8 = 18條直線,正是所需的圖案。

註1:由於BM = FM−1,LM = RM−1,DM = UM−1,我們只需列出FM、RM和UM的「循環式」。


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