群論與魔方：魔方花式(上)

玩魔方的最基本目標當然就是把擰亂的魔方還原過來，但在已熟習還原的技法後，我們或許已不再滿足於這個基本目標，而希望更上一層樓，發掘更多更有挑戰性的玩法，其中一種玩法就是擰出魔方的各種「花式」。所謂「魔方花式」，是指用五彩繽紛的魔方角塊、邊塊和中心塊拼湊而成的美麗樣式。

本章和下一章的目的，是介紹幾種簡單但有代表性的魔方花式。筆者將提供可擰出這些花式的公式，並寫出這些公式的「循環式」。這些「循環式」可透過對魔方的操作進行複合及求逆運算求得，《群論與魔方：魔方操作的表示與運算》的表1載列了魔方六個基本操作的「循環式」。但除了這六個基本操作外，以下還須用到《群論與魔方：魔方的基本概念》中介紹過的「夾心層旋轉」。為方便討論，以下把六個基本操作和三個「夾心層旋轉」(註1)的「循環式」列於下表(下表是對上述表1的擴充)：

上表最後三行顯示，「夾心層旋轉」只會影響「邊塊」和「中心塊」，而且由於「中心塊」無所謂「扭轉」或「翻轉」，所以上表中代表「中心塊」的字母無需加下標。

以下在介紹各種花式時，為清楚顯示魔方六個面上的圖案，筆者會顯示從兩個相反角度觀看魔方的景象，分別顯示魔方的前、右、上三面和後、左、下三面。惟請注意，以下顯示的魔方的「標準座向」是以藍色面向前，綠色面向後，橙色面向右，紅色面向左，黃色面朝上，白色面朝下，如下圖所示(下圖還標出六個中心塊和八個角塊在兩個景象中的對應位置)：

上述魔方的「標準座向」可能跟讀者手上的魔方有所不同，因此讀者根據以下公式所得圖案的顏色配搭可能跟圖中所示不同。但這不要緊，最重要的是能擰出花式的形狀。

此外，為了解以下公式對魔方的作用，讀者還須重溫筆者在《群論與魔方：魔方的基本概念》介紹過的魔方邊塊和角塊的顏色標示法、「翻轉」及「扭轉」的定義，以及在《群論與魔方：魔方操作的表示與運算》中引入的「定理1」(略經修改)：

利用上述顏色標示法、「翻轉」及「扭轉」的定義和「定理1」，我們便容易從某一操作的「循環式」確定任一角塊和邊塊經該操作後其各個小面的朝向。舉例說，設某一操作的「循環式」為(fru₁, bru₂)，現把該操作應用於處於上述「標準座向」下的魔方，那麼根據這個「循環式」，這個操作的作用就是把位於「前右上」角落的「藍黃橙」角塊與「後右上」角落的「橙黃綠」角塊對調位置，並發生「扭轉」。根據「逆時針扭轉」的定義和上述定理，我們知道「藍黃橙」角塊經上述操作後，必然變為「黃橙藍」角塊。根據角塊的顏色標示法，這即是說這個角塊從原來藍色面向前、黃色面朝上和橙色面向右變成黃色面向右、橙色面朝上、藍色面向後。

讀者還須注意，下述每種花式都有多種變體，而每種變體又有不只一種擰法，因此下列公式只是實現每種花式的眾多可能公式之一。讀者如有興趣，可參考有關書籍或網頁介紹的其他公式，或自行創作出新的公式。

1. 點(Dot)

我們首先從簡單的「點」花式開始，這種花式在魔方六個面的中央形成一個顏色與別不同的點，如下圖所示：

以下為上述花式的公式及其「循環式」：

上述「循環式」顯示，上述公式的作用是把前、上、右三面的「中心塊」循環換位，並同時把後、下、左三面的「中心塊」也循環換位，因此利用上述公式確可擰出所需花式。

2. 對角線(Diagonal)

這種花式在魔方的四個面上形成一條顏色與別不同的對角線，如下圖所示：

以下為上述花式的公式及其「循環式」：

上式寫成複合操作「RLFB」的三次冪，代表進行這個複合操作三次。

從上述「循環式」可以看到，上式的作用是保留魔方的前、後、右、左這四個面上處於某條對角線上的兩個角塊和一個中心塊不動，並把其餘的角塊和邊塊移至相反一面的相應位置，從而在這四個面上形成一條顏色與別不同的對角線。

3. 棋盤(Chessboard)

這種花式在魔方的六個面上形成兩種顏色居間出現的圖案，就像棋盤那樣，如下圖所示：

以下為上述花式的公式及其「循環式」：

上式中的U_M⁻²是(U_M⁻¹)²的簡寫，即進行U_M⁻¹兩次。

從上述「循環式」可以看到，上式的作用是保留魔方六個面上的中心塊和四個角塊不動，並把四個邊塊移至相反一面的相應位置，從而形成每一面的中心塊和四個角塊屬同一色，而其餘四個邊塊屬另一色的棋盤圖案。

4. 十字(Cross)

這種花式在魔方的六個面各形成一個顏色與別不同的十字，就像用絲帶包裹的禮物一樣，如下圖所示：

以下為上述花式的公式及其「循環式」：

從上述「循環式」可以看到，上式的作用是保留魔方六個面上的中心塊及四個邊塊(這些中心塊和邊塊形成一個十字)不動，並把位於上排的四個角塊與位於下排的四個角塊對調位置，從而在每一面形成一個顏色與別不同的十字。

5. 直條紋(Stripe)

這種花式在魔方的六個面上各形成三條不同顏色的直線，猶如「三色旗」一般，如下圖所示：

以下為上述花式的公式及其「循環式」：

從上述「循環式」可以看到，上式的作用有三：(1)在前、後、右、左四個面中各保持某條夾處中間的直線不動，這裡共涉及4條直線；(2)把前面和後面的頂行對調位置，右面和左面的底行對調位置(對調時適當扭轉有關角塊)，從而在前、後、右、左四個面中各形成一條新的直線，共4條直線；此外，由於參與對調的四個邊塊(即「fu」、「bu」、「rd」、「ld」)不發生翻轉，所以原在上面和下面夾處中間的黃色和白色直線保持不變，這裡又涉及2條直線；(3)把其餘四個邊塊(即「lu」、「ru」、「fd」、「bd」)翻轉，使它們的兩個小面分別與兩旁角塊的兩個小面同色，從而形成8條直線。總上所述，上述操作合共形成4 + 4 + 2 + 8 = 18條直線，正是所需的圖案。

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