本章繼續介紹Dan Knights七步攻略的第四至第七步，並應用前面介紹過的群論知識來解釋這些步驟的理據。完成第三步後，我們已搞定魔方的下面和夾心層，只餘下上面未搞定。由於本章要用到《群論與魔方：魔方操作的表示與運算》中介紹的「定理2」和「定理3」，現把這兩條定理重述於下：
| 定理2： | 對一個處於初始狀態的魔方進行F、B、R、L、U、D的任意複合後，8個角塊的「扭轉數總和」在「模3加法」下等於0，12個邊塊的「翻轉數總和」在「模2加法」下等於0，而6個中心塊則維持不動。 |
定理3：對魔方進行F、B、R、L、U、D的任意複合的結果都是偶排列。
此外，本章假設魔方在「標準座向」下，藍色面朝上，綠色面朝下，紅色面向前，橙色面向後，白色面向左，黃色面向右。
這一步的目標是要使魔方上面的四個邊塊正常(即令這些邊塊的藍色小面朝上)，但不一定處於正確位置。完成這一步後，魔方的上面會出現一個藍色十字，如下圖所示：
在進行這一步前，如果魔方上面的四個邊塊均正常，便可跳過這步；否則轉動魔方的上面，使之出現如下圖所示的其中一種情況：
上面最左圖代表沒有一個邊塊正常，其餘兩圖代表只有兩個邊塊正常，其中中間圖代表這兩個邊塊的藍色小面與藍色中心塊形成一個「L」形，而最右圖則代表這兩個邊塊的藍色小面與藍色中心塊形成一條直線。請注意在上面四個邊塊中，不可能出現只有一個或三個邊塊正常的情況，這是因為在這兩種情況下，魔方的「翻轉數總和」分別為3和1，即在「模2加法」下不等於0，違反上述「定理2」，所以上圖窮盡了所有可能情況。
接著重覆進行以下操作，請注意每完成以下操作一次，都要適當轉動上面，使之出現上圖所示其中一種情況。你會發現只要進行以下操作一至三次，便可使魔方的上面出現藍色十字：
為深入了解上述操作的原理，以下寫出(9)的循環式：
讓我們看看為何(9)可達致所需效果。根據(10)，(9)只會影響上面的角塊和邊塊，由於暫時無須理會上面四個角塊的情況，我們只須考慮(10)的最後一個括弧。該括弧顯示，(9)會把fu位置上的邊塊移至ru並且發生翻轉，把ru位置上的邊塊移至bu並且不發生翻轉，以及把bu位置上的邊塊移至fu並且發生翻轉。據此容易看到，當魔方的上面呈現上述最左圖的情況時，進行(9)一次(並再進行U2)便會把它變成中間圖所示的情況；當魔方呈現中間圖的情況時，進行(9)一次便會把它變成最右圖所示的情況；當魔方呈現最右圖的情況時，進行(9)一次便會得到藍色十字。總括而言，進行(9)一至三次，便可使魔方的上面出現藍色十字。
在這一步，我們要令魔方上面的四個正常邊塊歸位(即處於正確位置)，如下圖所示：
首先轉動整個魔方，使紅色面向前。接著轉動上面，使「紅藍」邊塊歸位。這時如果「黃藍」邊塊尚未歸位，則進行以下操作一至兩次，直至這個邊塊歸位(即回到「ru」位置)為止：
接著轉動整個魔方，使白色面向前。如果「白藍」邊塊尚未歸位，則再進行(11)一次，接著進行U，便可令上面的四個邊塊全部歸位。
為深入了解上述操作的原理，以下寫出(11)的循環式：
跟第四步的情況相似，我們只需考慮(12)的最後一個括弧。該括弧顯示，(11)會把ru位置上的邊塊移至bu，bu位置上的邊塊移至lu，以及lu位置上的邊塊移至ru。由於上述移位全都不牽涉翻轉，所以我們不用擔心(11)會令四個正常邊塊發生翻轉。我們用以下的「九宮格」來代表(11)的作用：
上圖代表魔方上面的俯視圖，其中「fu」、「ru」、「bu」和「lu」代表四個邊塊位置，箭頭代表(11)的移位作用。容易看到，如果魔方以紅色面向前並且「紅藍」邊塊已歸位而「黃藍」邊塊尚未歸位，那麼「紅藍」邊塊必然在「fu」位置，而本應位於「ru」位置的「黃藍」邊塊必然在「bu」或「lu」位置，因此只要進行(11)一至兩次，必可令它歸位。
接著考慮「紅藍」、「黃藍」邊塊皆已歸位，而其餘兩個邊塊尚未歸位的情況，我們用以下的平面圖來代表這個情況：
上圖代表以白色面向前時魔方上面的俯視圖，圖中標示了「紅藍」、「黃藍」、「白藍」和「橙藍」這四個邊塊所在的位置。容易看到，在上圖所示的情況下對魔方進行(11)後，便可使魔方的上面變成以下狀況：
接著只要進行U，便可使魔方上面的四個邊塊全部歸位。
這一步的目標是使魔方上面的四個角塊歸位，但其方向不一定正常，如下圖所示(舉例說，在下圖中，「藍黃紅」角塊位於fru位置，這是這個角塊的正確位置；但該角塊發生「逆時針扭轉」，所以其方向並不正常)：
在開始時，如果魔方上面的四個角塊均已歸位，便可跳過這一步；否則魔方的上面只有兩種可能情況：(i)只有一個角塊已歸位；(ii)沒有一個角塊歸位。請注意不可能出現只有兩個角塊已歸位的情況，這是因為根據《群論與魔方：魔方操作的表示與運算》中的討論，這情況等於把兩個角塊對調位置，而對調兩個角塊等於進行一次對換，屬於奇排列，違反「定理3」。
在情況(i)下，我們可以轉動整個魔方，使已歸位的角塊位於「fru」位置，接著進行以下操作一至兩次，直至其餘三個角塊均已歸位為止：
在情況(ii)下，我們可以任何一面為前面並進行(13)一次，便可使魔方的上面出現一個角塊歸位的情況，即化約為情況(i)，這樣只要繼續照上述情況(i)的辦法處理便可完成這一步。
為深入了解上述操作的原理，以下寫出(13)的循環式：
上式顯示(13)只會影響「flu」、「bru」和「blu」位置上的角塊，而這三個位置都在魔方的上面。雖然(13)牽涉順時針扭轉，但由於在這一步我們不用理會角塊的扭轉情況，我們可以用以下「九宮格」來代表(13)的作用：
為方便討論，以下用A、B、C、D這四個字母代表四個角塊，並假設這四個角塊的正確位置為(以下把下圖所示的排列稱為「正確排列」)：
接著逐一考慮上述的情況(i)和(ii)。在情況(i)下，只有一個角塊已歸位。由於我們要轉動整個魔方，使已歸位的角塊位於「fru」位置，所以不妨假設這個角塊是D。下圖顯示在此情況下四個字母的兩種可能排列：
容易看到，在以上兩圖所示情況下，只須分別進行(13)一次及兩次，便可使A、B、C歸位。
在情況(ii)下，沒有一個角塊歸位。在A、B、C、D於四個角落的24種可能排列中，只有以下三種滿足情況(ii)且等價於偶排列(根據「定理3」，我們只須考慮偶排列)：
上面最左圖是把「正確排列」中頂行和底行上兩個角塊分別對調的結果；中間圖是把「正確排列」中左列和右列上兩個角塊分別對調的結果；而最右圖則是把「正確排列」中兩條對角線上兩個角塊分別對調的結果，所以全都等價於偶排列。其餘21種排列不是不滿足情況(ii)，就是等價於奇排列，例如以下排列
可被看成把上面最左圖中的A和C對調的結果，所以它等價於一個奇排列。
容易看到，對於上述三種滿足情況(ii)的排列，以任何一面為前面進行(13)一次，都可使魔方的上面出現一個角塊歸位的情況，這是因為(13)同時涉及「九宮格」中頂行、左列和一條對角線上角塊的移動，所以必能使其中一個錯位的角塊歸位。此外，由於在進行(13)時，總有一個角塊保持不動，所以進行(13)一次不可能令全部四個角塊歸位。總上所述，進行(13)的作用就是把情況(ii)化約為情況(i)，所以只要繼續照情況(i)的辦法處理，必可達到這一步的目標。
在這最後一步，我們要使魔方上面四個已歸位的角塊正常。任選一個面向前，接著轉動上面，使任意一個扭轉了的角塊位於「fru」角落。然後重覆進行前面介紹過的操作(3)兩次或四次，直至「fru」位置上的角塊的藍色小面朝上為止：
搞定一個角塊後，繼續以剛才選定的那個面向前，並轉動上面，使另一個扭轉了的角塊位於「fru」角落，並如法泡製之，直至上面四個角塊均已搞定為止。最後適當轉動上面，使整個魔方還原。
在進行這一步時，有兩點需要注意。第一，在整個過程中，一直要以某一個選定了的面向前。第二，在進行(3)的過程中，你會發現魔方其他部分原已搞定的角塊／邊塊被打亂了，但不用擔心，只要你繼續進行下去，各個被打亂的角塊／邊塊最終會「神奇地」返回原位並回復正常。
為揭開這一步的奧秘，現先把(3)的循環式重列於下：
現在看看為何(3)能達致所需的效果。根據前面第二步的討論，(3)會把「fru」和「frd」位置上的角塊對調位置，並同時把它們順時針扭轉。如前所述，我們可以用1和2分別代表順時針扭轉和逆時針扭轉，並把某一角塊經複合操作後的最終扭轉數看成「模3加法」的結果。如果「fru」位置上的角塊原來是順時針扭轉的，經進行(3)兩次後，它仍在「fru」位置，並且因1 +3 1 +3 1 = 0，它會回復正常；如果它原來是逆時針扭轉的，經進行(3)四次後，它仍在「fru」位置，並且因2 +3 1 +3 1 +3 1 +3 1 = 0，它也會回復正常。總括而言，經進行(3)兩次或四次後，必可使「fru」位置上的角塊在原位回復正常。
從上述討論中我們還可觀察到一點：當上面某角塊正常時，其扭轉數是0，須進行(3)的次數也是0；當某角塊順時針扭轉時，其扭轉數是1，須進行(3)的次數是2；當某角塊逆時針扭轉時，其扭轉數是2，須進行(3)的次數是4。總上所述，對上面每個角塊所須進行(3)的次數剛好等於該角塊扭轉數的兩倍。而根據「定理2」，在第七步開始前上面各角塊的「扭轉數總和」在「模3加法」下等於0，即3的倍數，由此可知在第七步中所須進行(3)的總次數必然是6的倍數，我們把這個結果總結為：
定理4：在第七步中所須進行(3)的總次數是6n，其中n為非負整數。
接著我們看看為何在進行第七步時看似被重新打亂的角塊／邊塊最後會「神奇地」返回原位並回復正常。事實上，(4)顯示(3)除了影響「fru」角塊外，的確還會影響「frd」、「brd」和「bld」角塊以及「fr」、「rd」和「bd」邊塊。我們首先考慮「frd」角塊，在進行第七步前，這個角塊原來是正常的。完成第七步時，這個角塊應曾與「fru」位置上的角塊對調6n次，並曾順時針扭轉6n次，因此最終它必定返回原位並回復正常。
其次考慮「brd」和「bld」角塊以及「fr」、「rd」和「bd」邊塊。在(4)中，這些角塊和邊塊分別組成一個2循環和一個3循環。不難驗證(在下式中，I代表「恆等操作」，即不對魔方進行任何操作)，
這即是說，進行(3)六次對這些角塊和邊塊的影響等同於沒有進行任何操作，由此根據「定理4」，可知在完成第七步後，這些角塊和邊塊必定返回原位並回復正常。
總上所述，Dan Knights攻略的巧妙之處在於它利用了魔方的群論特點，從而使它的第二步和第七步可以使用同一個操作，這樣可大大減省對這些操作的記憶。因此Dan Knights的攻略雖然不是最快捷的，但其簡單易學的特點卻使它廣受歡迎。
