群論與魔方:Dan Knights攻略解析(上)


具備前面各章的知識後,我們便可以揭開破解魔方攻略的奧秘。當今世上有多種多樣破解魔方的攻略,本章的討論是根據在香港最流行、可在「玩具反斗城」免費任取、由Dan Knights設計的「七步攻略」,這個攻略可在以下網址下載:http://www.fgbradleys.com/rules/Rubik's%20Cube.pdf。以下將介紹Dan Knights的七步攻略,並解釋每一步的理據。

第一步:搞定下面的四個邊塊

首先任意選定一個面作為下面,設為綠色面。為方便操作,首先把綠色面向上,即暫時把下面當作上面處理。在這一步,我們的目標是搞定魔方綠色面的四個邊塊,從而令魔方的上面出現綠色十字,如下圖所示的情況:

請注意我們的目標不僅是要令魔方的下面出現綠色十字,而且這個十字上的四個邊塊須放在正確位置,例如「黃綠」邊塊須放在黃色面與綠色面交界處,如上圖所示。

這一步的要旨就是按「紅綠」、「白綠」、「橙綠」、「黃綠」的次序逐一使這四個邊塊歸位。Dan Knights沒有說明這一步的具體步驟,而是讓讀者自行領會,這是因為在開始時魔方的各面尚未搞定,我們有較大的自由度扭動魔方,以下提供一些秘訣。設我們要搞定「紅綠」邊塊,首先找出「紅綠」邊塊的位置,如果它並非已在正確位置,便把它轉至下面;然後轉動下面,把「紅綠」邊塊轉至剛好位於紅色中心塊下面;然後轉動紅色面(註1),使「紅綠」邊塊轉至上面的正確位置。對於其餘的邊塊,也照樣如法泡製之。

在上述過程中,有可能出現某邊塊已回到正確位置,但卻發生翻轉的情況,如下圖中「黃綠」邊塊的情況:

此時我們可以轉動整個魔方(註2),使翻轉了的邊塊位於「ru」位置(即上圖中「黃綠」邊塊所處的位置),然後進行以下操作(以下略去代表「複合」的符號「•」),使該邊塊朝向正確的方向:

R−1UF−1U−1         (1)

以下讓我們看為何上述操作可以達致所需效果。利用《群論與魔方:魔方操作的表示與運算》中的表1和排列的複合運算,可以求得(1)的循環式:

R−1UF−1U−1 = (fru0, bru2, fld0, frd2, brd2)(fr0, rd1, br1, fl1, fd0)(ru1)         (2)

由於第一步的目的是要搞定魔方上面的四個邊塊,所以我們只須理會(1)對這四個邊塊的影響,即看看(1)會否把原已被搞定的邊塊重新搞亂,以及(1)能否把翻轉了的「ru」邊塊回復正常。在(2)中,只有(ru1)這個括弧內的元素屬於我們關心的對象。換句話說,除了「ru」邊塊外,(1)對魔方上面其餘三個邊塊沒有任何影響。而且,在(2)中「ru」的「翻轉數」為1。由於1 +2 1 = 0,這代表(1)確會把翻轉了的「ru」邊塊回復正常。綜上所述,(1)能達致所需的效果。

第二步:搞定下面的四個角塊

在這一步,我們繼續暫時把下面(即綠色面)當作上面處理。這一步的目標是搞定綠色面的四個角塊,同時不影響上一步已搞定的綠色十字,從而最終搞定整個綠色面,如下圖所示:

首先轉動整個魔方,使上面任意一個未搞定的角塊位於「fru」位置。這時有兩種可能情況:(i)本應位於「fru」位置的角塊位於下面;(ii)本應位於「fru」位置的角塊位於上面但位置或方向不正確。在情況(i)下,我們可以轉動下面,把本應位於「fru」位置的角塊轉至「frd」位置。例如在下圖中,「橙綠黃」角塊本應位於「fru」位置,現已把它轉至「frd」位置:

接著進行以下操作一次、三次或五次,便可把位於「frd」位置的角塊移上「fru」位置,而且朝向正確方向:

R−1D−1RD         (3)

在情況(ii)下,我們可以轉動整個魔方,使位於上面但位置或方向不正確的角塊處於「fru」位置,然後進行(3)一次。這樣便可把該角塊移至下面,然後繼續照上述情況(i)的辦法處理。對上面四個角塊均如法泡製後,便完成了第二步。

為深入了解上述操作的原理,以下寫出(3)的循環式:

R−1D−1RD = (fru1, frd1)(brd1, bld0)(fr1, rd1, bd0)         (4)

現在我們可以揭開(3)的奧秘,首先考慮情況(i)。由於到目前為止被搞定的只有魔方上面的所有邊塊和部分角塊,而我們希望把「frd」角塊移上「fru」位置,故只須理會(3)對「frd」角塊以及魔方上面邊塊和角塊的影響。在(4)中,只有(fru1, frd1)這個括弧內的元素屬於我們關心的對象。換句話說,除了「fru」角塊外,(3)對魔方上面其餘的角塊和邊塊沒有任何影響。

至於「fru」和「frd」位置上的角塊,根據(4),(3)會把這兩個角塊對調位置,並同時把它們順時針扭轉;而且容易看到,凡進行(3)奇數次都可達致把這兩個角塊對調位置的效果。此外,根據《群論與魔方:魔方操作的表示與運算》,我們可以用「扭轉數」0、1和2分別代表正常、順時針扭轉和逆時針扭轉,並把某一角塊經複合操作後的最終扭轉數看成「模3加法」的結果。因此,如果「frd」位置上的角塊原來是逆時針扭轉的,經進行(3)一次後,因2 +3 1 = 0,它便會移上「fru」位置並且回復正常;如果它原來是正常的,經進行(3)三次後,因0 +3 1 +3 1 +3 1 = 0,它便會移上「fru」位置並且回復正常;如果它原來是順時針扭轉的,經進行(3)五次後,因1 +3 1 +3 1 +3 1 +3 1 +3 1 = 0,它便會移上「fru」位置並且回復正常。總括而言,經進行(3)一次、三次或五次,便可達致所需效果。

接著考慮情況(ii)。如前所述,(3)會把「fru」和「frd」位置上的角塊對調位置,而對魔方上面其他角塊和邊塊沒有任何影響,所以只要轉動整個魔方,使位於上面但位置或方向不正確的角塊處於「fru」位置,然後進行(3)一次,便可把它移至下面。這樣做等於把情況(ii)化約為情況(i),所以只要繼續照情況(i)的辦法處理,必可把這個角塊搞定。

第三步:搞定夾心層的四個邊塊

至此我們已完全搞定魔方的綠色面,現在我們可以把魔方整個翻過來,使綠色面朝下。接下來的一步便是要搞定魔方夾心層上的四個邊塊,如下圖所示:

首先轉動整個魔方,使夾心層上任意一個未搞定的邊塊位於「fr」位置。這時有兩種可能情況:(i)本應位於「fr」位置的邊塊位於上面;(ii)本應位於「fr」位置的邊塊位於夾心層上但位置或方向不正確。在情況(i)下,我們可以轉動上面,把本應位於「fr」位置的邊塊移至「fu」或「ru」位置,使它的一個小面與魔方前面或右面的中心塊同色且上下並排,如以下兩圖中「紅黃」邊塊的情況:

        

如出現上面左圖的情況(以下稱為情況ia),只要進行以下操作一次,便可把位於「fu」位置的邊塊移至「fr」位置,而且朝向正確方向:

URU−1R−1U−1F−1UF         (5)

如出現上面右圖的情況(以下稱為情況ib),只要進行以下操作一次,便可把位於「ru」位置的邊塊移至「fr」位置,而且朝向正確方向:

U−1F−1UFURU−1R−1         (6)

在情況(ii)下,我們可以轉動整個魔方,使位於夾心層上但位置或方向不正確的邊塊處於「fr」位置,然後進行(5)或(6)一次。這樣便可把該邊塊移至上面,然後繼續照上述情況(i)的辦法處理。對夾心層上四個邊塊均如法泡製後,便完成了第三步。

為深入了解上述操作的原理,以下寫出(5)和(6)的循環式:

URU−1R−1U−1F−1UF = (flu1, blu2, bru0)(fu0, fr0, bu1, ru0, lu1)         (7)
U−1F−1UFURU−1R−1 = (flu0, bru2, blu1)(fu0, bu1, ru0, fr1, lu0)         (8)

現在我們可以揭開(5)和(6)的奧秘,首先考慮情況(ia)。在此情況下,「fu」位置上的邊塊處於正常狀態(請重溫《群論與魔方:魔方的基本概念》中有關「正常」和「翻轉」的定義)。由於到目前為止我們已搞定魔方的整個下面和部分夾心層,而我們希望把「fu」邊塊移至「fr」位置,故只須理會(5)對「fu」邊塊以及魔方下面和夾心層角塊和邊塊的影響。因此在(7)中,我們只須理會(fu0, fr0, ...)這部分,而這一部分正是要把「fu」位置上的邊塊移至「fr」位置,並且不發生翻轉,所以(5)可以達致所需的效果。

其次考慮情況(ib)。在此情況下,「ru」位置上的邊塊處於翻轉狀態。由於已搞定魔方的整個下面和部分夾心層,而我們希望把「ru」邊塊移至「fr」位置,故只須理會(6)對「ru」邊塊以及魔方下面和夾心層角塊和邊塊的影響。因此在(8)中,我們只須理會(... ru0, fr1, ...)這部分,而這一部分正是要把「ru」位置上的邊塊移至「fr」位置,並且發生翻轉。由於把翻轉了的邊塊再翻轉一次可以使該邊塊回復正常,所以(6)可以達致所需的效果。

最後考慮情況(ii)。根據(7)和(8),(5)和(6)會把「fr」位置上的邊塊分別移至「bu」和「lu」位置,而對魔方下面和夾心層上的其他角塊和邊塊沒有任何影響,而「bu」和「lu」都是魔方上面的位置,所以只要轉動整個魔方,使位於夾心層上但位置或方向不正確的邊塊處於「fr」位置,然後進行(5)或(6)一次,便可把它移至上面。這樣做等於把情況(ii)化約為情況(i),所以只要繼續照情況(i)的辦法處理,必可把這個邊塊搞定。

註1:由於扭動魔方的六個外表面不會影響六個中心塊,所以六個中心塊可起著確定魔方六個面的作用,因此紅色面就是中心塊為紅色的那個面。

註2:在Dan Knights的攻略中,經常用到「轉動整個魔方」這個操作,這是為了使破解魔方的步驟更易於掌握。 惟請注意,在轉動整個魔方後,魔方的「標準座向」便改變了(因為六個中心塊的位置改變了)。由於根據《群論與魔方:魔方的基本概念》,魔方的「正主色」、「次主色」、「扭轉」、「翻轉」等概念的定義均依賴於「標準座向」,所以每次在轉動整個魔方後,上述概念須根據新的「標準座向」重新定義。



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