群論與魔方:超級魔方還原的補充說明(上)


筆者在前面四章介紹了「超級魔方」的基本概念和還原技巧。在介紹這些概念和技巧時,為免使討論過於冗長而影響閱讀,略去了一些細節。由於讀者應已對「超級魔方」有一基本了解,現在可以對這些細節作較深入的討論。

奇數階超級魔方的絕對/相對奇偶性

「絕對奇偶性」和「相對奇偶性」是「超級魔方」的重要性質,與「超級魔方」相關的四條重要定理(重列於下)都要用到這兩個概念,所以有必要對這兩個概念作更詳細的說明(在以下各式中,R-Parity和A-Parity分別代表「相對奇偶性」和「絕對奇偶性」;Ci、C、E0和C0分別代表「四角中心塊」、角塊、「正中邊塊」和「正中中心塊」軌道;P1和P2代表配成一對的「配對中心塊」軌道,M1和M2代表與P1、P2處於相同「非正中夾心層」的「十字中心塊」軌道;Ei和Mi分別代表處於同一「非正中夾心層」的「非正中邊塊」和「十字中心塊」軌道):

定理18:R-Parity(Ci) = 0

定理19:R-Parity(P1) = R-Parity(P2) = R-Parity(M1) +2 R-Parity(M2)

定理20:A-Parity(Ei) = R-Parity(Mi)

定理21:A-Parity(C) = A-Parity(E0) = A-Parity(Ci) = A-Parity(C0)

筆者在《群論與魔方:超級魔方的性質與操作(下)》介紹上述兩種奇偶性的計算方法時,都是使用「奇數階超級魔方」作為示例。這種計算方法以「超級魔方」的某個標準座向作為基礎,由於「奇數階超級魔方」即使在擰亂後仍可以透過其「正中中心塊」的相對位置來確定標準座向,上述計算方法適用於「奇數階超級魔方」的任何情況。可是,「偶數階超級魔方」的情況卻有所不同。筆者在《群論與魔方:偶數階超級魔方的還原攻略》中曾指出,可以把「2n階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「2n+1階超級魔方」。但由於這種魔方隱去了「正中夾心層」,不能根據其「正中中心塊」來確定標準座向,那麼如何計算上述兩種奇偶性?

為解答上述問題,先要了解正常「奇數階超級魔方」的一些特點。以下先為魔方確定一個標準座向如下:紅色正中中心塊向前、藍色正中中心塊朝上、黃色正中中心塊向右(並同時確定了橙色正中中心塊向後、綠色正中中心塊朝下、白色正中中心塊向左)。下圖展示一個處於初始狀態和標準座向的「七階超級魔方」的六個面(以下的討論雖然是以「七階超級魔方」作為例子,但基於魔方結構的相似性,不難把以下結果推廣到其他「超級魔方」):

為方便計算和驗證,現把上圖中七個具代表性的魔方部件軌道上的字母與其名稱的對應關係列於下表:

表9
軌道(類型)部件上的字母與其名稱的對應關係
00 (正中中心塊)
A-f, E-u, I-r, M-l, Q-d, U-b
02-06 (非正中邊塊)
AE-fu1, BL-fr5, CR-fd5, DO-fl1, EI-ru1, FD-fu5, GN-lu5, HW-bu1, IA-fr1, JH-ru5, KV-br5. LS-rd1, MQ-ld5, NX-bl1, OF-lu1, PC-fl5, QU-bd5, RP-ld1, SB-fd1, TK-rd5, UM-bl5, VT-bd1, WJ-br1, XG-bu5
03 (角塊)
AEI-fru, BLS-frd, CPR-fld, DFO-flu, GNX-blu, HJW-bru, KTV-brd, MQU-bld
05 (四角中心塊)
A-f11, B-f51, C-f55, D-f15, E-u11, F-u51, G-u55, H-u15, I-r11, J-r51, K-r55, L-r15, M-l55, N-l15, O-l11, P-l51, Q-d55, R-d15, S-d11, T-d51, U-b55, V-b15, W-b11, X-b51
08 (配對中心塊)
A-f21, B-f52, C-f45, D-f14, E-u21, F-u52, G-u45, H-u14, I-r21, J-r52, K-r45, L-r14, M-l45, N-l14, O-l21, P-l52, Q-d45, R-d14, S-d21, T-d52, U-b45, V-b14, W-b21, X-b52
11 (十字中心塊)
A-f31, B-f53, C-f35, D-f13, E-u31, F-u53, G-u35, H-u13, I-r31, J-r53, K-r35, L-r13, M-l35, N-l13, O-l31, P-l53, Q-d35, R-d13, S-d31, T-d53, U-b35, V-b13, W-b31, X-b53
12 (正中邊塊)
AL-fr3, BR-fd3, CO-fl3, DE-fu3, FN-lu3, GW-bu3, HI-ru3, JV-br3, KS-rd3, MX-bl3, PQ-ld3, TU-bd3

現在假設把上述魔方擰亂,由於我們總能把魔方整個轉動,使魔方六個面的「正中中心塊」符合標準座向(即紅色正中中心塊向前、藍色正中中心塊朝上等等),所以可以使用以前介紹的方法計算魔方各部件軌道的「絕對/相對奇偶性」。現在考慮「絕對奇偶性」的計算結果和以下問題:能否把魔方六個面上的「正中中心塊」調動位置,但不改變其他部件的位置,而且不影響其他部件軌道原有的「絕對奇偶性」?筆者在《群論與魔方:魔方花式(上)》曾介紹一種名為「點(Dot)」的魔方花式,正符合我們的需要。以下是實現上述花式的公式及其「循環式」(在下式中,m代表「正中夾心層」):

RmFm−1Rm−1Fm = (f, u, r)(b, d, l)     (1)

從上述「循環式」可見,上述操作的結果是把魔方六個面上的「正中中心塊」對調位置而不影響其他部件的位置。由於上述循環式表現為兩個包含三個元素的括弧,以下把上述操作稱為「雙重三循環操作」。反過來看,我們也可以把上述操作看成使六個面中的所有小面(「正中中心塊」除外)一起移動的結果,如下圖所示:

下表列出(1)對「七階超級魔方」中六個具代表性軌道「絕對奇偶性」的影響(為簡明起見,下表沒有顯示各個角塊的「扭轉數」和邊塊的「翻轉數」):

軌道(類型)用以計算「絕對奇偶性」的循環式奇偶性
02-06 (非正中邊塊)
(fr1, ru1, fu1)(fr5, ru5, fu5)(fl1, rd1, bu1)(fl5, rd5, bu5)(fd1, br1, lu1)(fd5, br5, lu5)(bl1, ld1, bd1)(bl5, ld5, bd5)
0
03 (角塊)
(frd, bru, flu)(fld, brd, blu)
0
05 (四角中心塊)
(f11, r11, u11)(f15, r15, u15)(f51, r51, u51)(f55, r55, u55)(b11, l11, d11)(b15, l15, d15)(b51, l51, d51)(b55, l55, d55)
0
08 (配對中心塊)
(f14, r14, u14)(f21, r21, u21)(f45, r45, u45)(f52, r52, u52)(b14, l14, d14)(b21, l21, d21)(b45, l45, d45)(b52, l52, d52)
0
11 (十字中心塊)
(f13, r13, u13)(f31, r31, u31)(f35, r35, u35)(f53, r53, u53)(b13, l13, d13)(b31, l31, d31)(b35, l35, d35)(b53, l53, d53)
0
12 (正中邊塊)
(fr3, ru3, fu3)(fl3, rd3, bu3)(fu3, fr3, ru3)(fd3, br3, lu3)
0

從上表可見,(1)對各部件軌道的影響都呈現為偶排列,因此不會改變魔方各部件軌道的「絕對奇偶性」。其實(1)只是多個魔方「雙重三循環操作」之一,如果把(1)中的Rm和Fm換成它們的逆或把它們對調次序,便可得到其他「雙重三循環操作」。現將各種可能「雙重三循環操作」列於下表(註1):

表10
雙重三循環操作循環式編號
RmFm−1Rm−1Fm
(f, u, r)(b, d, l)
(1)
RmFmRm−1Fm−1
(f, u, l)(b, d, r)
(2)
Rm−1FmRmFm−1
(f, d, r)(b, u, l)
(3)
Rm−1Fm−1RmFm
(f, d, l)(b, u, r)
(4)
Fm−1RmFmRm−1
(f, r, u)(b, l, d)
(5)
FmRmFm−1Rm−1
(f, l, u)(b, r, d)
(6)
FmRm−1Fm−1Rm
(f, r, d)(b, l, u)
(7)
Fm−1Rm−1FmRm
(f, l, d)(b, r, u)
(8)

上表已窮盡「正中中心塊」的所有可能「雙重三循環操作」。由於上表中的循環式全都具有相同的結構,可知這些「雙重三循環操作」全都不會改變魔方各部件軌道的「絕對奇偶性」。現在考慮把上表中的「雙重三循環操作」互相複合後會得到甚麼結果。容易看到其中有些複合只會得出上表中已有的結果,例如

(1) • (2) = (f, l, d)(b, r, u)

上式右端等同(8)的結果。某些複合會變成恆等變換,例如

(1) • (5) = (f)(b)(r)(l)(u)(d)

某些複合則會產生新的結果,例如

(1) • (6) = (r, l)(u, d)

上述複合操作的結果是把兩對不相鄰面上的「正中中心塊」對調位置而不影響其他部件的位置。由於上述循環式表現為兩個「對換」,以下把上述操作稱為「雙重對換操作」。現將各種可能「雙重對換操作」列於下表(註2):

表11
雙重對換操作循環式編號
(1) • (6)
(r, l)(u, d)
(9)
(1) • (7)
(f, b)(u, d)
(10)
(1) • (8)
(f, b)(r, l)
(11)

上表已窮盡「正中中心塊」的所有可能「雙重對換操作」。這些操作全都是「雙重三循環操作」複合而成的結果,而如前所述,所有「雙重三循環操作」對各部件軌道的影響都呈現為偶排列。由於偶排列與偶排列複合的結果也是偶排列,由此可知上述「雙重對偶操作」全都不會改變魔方各部件軌道的「絕對奇偶性」。

除了以上介紹的「雙重三循環操作」和「雙重對換操作」外,某些使「正中中心塊」調動位置的操作會破壞魔方的原有結構,因此是不可能實現的。舉例說,循環式為(f, r, u)或(f, r, u, l, d)的操作會令紅色正中中心塊不再位於橙色正中中心塊的對面;循環式為(f, b)或(f, r, b, l)(u, d)的操作則會令紅色、藍色、黃色正中中心塊不再按順時針方向排佈於三個相鄰的面上,上述操作都會破壞魔方的結構,我們無需考慮這些操作。此外,還有一些操作雖然沒有破壞魔方的結構,但會改變其他部件軌道的「絕對奇偶性」。舉例說,循環式為(f, r, b, l)或(f, u)(b, d)(r, l)等的操作都不會破壞魔方的結構,但這些操作都可以改寫成奇數個「對換」的乘積,根據前面的討論,這些操作會改變其他部件軌道的「絕對奇偶性」,但其改變非常有限。以下以循環式為(f, r, b, l)的操作為例說明這一點。為方便討論,以下把此一抽象操作稱為ODD,即

ODD = (f, r, b, l)     (12)

下圖展示對一個處於初始狀態的「七階超級魔方」應用ODD並使六個「正中中心塊」符合標準座向後的情況(請注意由於ODD是不可能實現的,所以下圖只能用文字標示六個「正中中心塊」的新位置):

下表列出ODD對「七階超級魔方」中六個具代表性軌道「絕對奇偶性」的影響:

軌道(類型)用以計算「絕對奇偶性」的循環式奇偶性
02-06 (非正中邊塊)
(fr1, fl1, bl1, br1)(fr5, fl5, bl5, br5)(fu1, lu1, bu5, ru5)(fu5, lu5, bu1, ru1)(fd1, ld1, bd5, rd5)(fd5, ld5, bd1, rd1)
0
03 (角塊)
(fru, flu, blu, bru)(frd, fld, bld, brd)
0
05 (四角中心塊)
(f11, l11, b51, r51)(f15, l15, b11, r11)(f51, l51, b55, r55)(f55, l55, b15, r15)(u11, u51, u55, u15)(d11, d15, d55, d51)
0
08 (配對中心塊)
(f14,l14, b21, r21)(f21, l21, b52, r52)(f45, l45, b14, r14)(f52, l52, b45, r45)(u14, u21, u52, u45)(d14, d45, d52, d21)
0
11 (十字中心塊)
(f13, l13, b31, r31)(f31, l31, b53, r53)(f35, l35, b13, r13)(f53, l53, b35, r35)(u13, u31, u53, u35)(d13, d35, d53, d31)
0
12 (正中邊塊)
(fr3, fl3, bl3, br3)(fu3, lu3, bu3, ru3)(fd3, ld3, bd3, rd3)
1

從上表可見,ODD對魔方大多數部件軌道的影響均呈現為偶排列,僅對「正中邊塊」軌道呈現為奇排列。由於ODD的上述特性違反「定理21」,所以這種操作是不可能實現的(但在下文讀者將會看到,ODD對研究「偶數階超級魔方」的「絕對/相對奇偶性」有重要的作用)。請注意其他不會破壞魔方結構但會改變其他部件軌道「絕對奇偶性」的「正中中心塊」移位操作都可以表達為表10或表11中的操作與ODD的複合,例如我們有

(f, u)(b, d)(r, l) = (2) • ODD

由於(2)和ODD對魔方大多數部件軌道的影響都呈現為偶排列,從上式可知(f, u)(b, d)(r, l)對這些軌道的影響也呈現為偶排列。由此可以推知,所有由表10或表11中的操作以及ODD互相複合而成的操作都不會影響魔方大多數部件軌道的「絕對奇偶性」,最多只會改變「正中邊塊」軌道的「絕對奇偶性」。

接下來考慮「相對奇偶性」的計算結果和以下問題:能否使魔方六個面上的「正中中心塊」調動位置且改變方向,但不改變其他部件的位置和方向,而且不影響其他部件軌道原有的「相對奇偶性」?由於在上面我們已找到了使「正中中心塊」調動位置但不改變其他部件位置的操作(即表10和11中的操作),以下只需集中考慮使「正中中心塊」改變方向但不改變其他部件方向的操作。筆者在《群論與魔方:超級魔方的性質與操作(下)》中介紹的「雙中心旋轉公式」「單中心旋轉公式」正符合我們的需要。不過,上述兩條公式是改變整個「中心區」而非僅「正中中心塊」的方向,所以必須對這兩條公式作一些修改,筆者在上述網頁中已提出修改的方法,現把這方法應用於「七階超級魔方」,從而得到以下公式:

L−1L1−1L2−1 RR1R2 F−1F1−1F2−1 BB1B2 U−1U1−1U2−1 DD1D2 LnL1nL2n D−1D1−1D2−1 UU1U2 B−1B1−1B2−1 FF1F2 R−1R1−1R2−1 LL1L2 U−nU1−nU2−n = (u3n)(ln)(12)
(UU1U2 RR1R2 LL1L2 U2U12U22 R−1R1−1R2−1 L−1L1−1L2−1)2 = (u2)(13)

下圖展示對一個處於初始狀態的「七階超級魔方」應用(12)(以1代上該公式的變項n)並使六個「正中中心塊」符合標準座向後的情況:

從上圖可以看到,(12)僅對上面(即藍色面)和左面(即白色面)上「非正中中心塊」軌道的「相對奇偶性」產生影響,下表列出(12)對「七階超級魔方」中三個具代表性軌道的影響:

軌道(類型)用以計算「相對奇偶性」的循環式奇偶性
05 (四角中心塊)
(u11, u51, u55, u15)(l11, l15, l55, l51)
0
08 (配對中心塊)
(u14, u21, u52, u45)(l14, l45, l52, l21)
0
11 (十字中心塊)
(u13, u31, u53, u35)(l13, l35, l53, l31)
0

從上表可見,(12)對各部件軌道的影響都呈現為偶排列,因此不會改變魔方各部件軌道的「相對奇偶性」。容易驗證(13)的情況也一樣,因此也不會改變魔方各部件軌道的「相對奇偶性」。其實(12)和(13)分別只是實現「雙中心旋轉」和「單中心旋轉」的眾多可能公式之一,由於容易把這兩條公式推廣到其他情況,而且這些情況的總數頗大,本網頁無意列舉所有可能公式,只需指出這些公式全都具有與(12)或(13)相同的形式,因此這些「雙中心旋轉」或「單中心旋轉」全都不會改變魔方各部件軌道的「相對奇偶性」。此外,根據筆者在《群論與魔方:奇數階超級魔方的還原攻略》中介紹的方法,我們還可以透過對「雙中心旋轉公式」和「單中心旋轉公式」的複合應用,使魔方的六個「正中中心塊」改變方向至「旋轉總和」為偶數的各種可能情況,而且這些複合操作全都不會改變其他部件的方向,也不會影響其他部件軌道的「相對奇偶性」。至於「旋轉總和」為奇數的可能操作(例如循環式為(u2n)(ln)或(u3)的操作),由於這些操作會改變其他部件軌道的「相對奇偶性」,我們不予考慮。

偶數階超級魔方的絕對/相對奇偶性

有了上述概念,我們便可以討論如何確定「偶數階超級魔方」的「絕對/相對奇偶性」。如前所述,「偶數階超級魔方」可以被看成隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」,以下討論如何為一個隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」計算各部件軌道的「絕對/相對奇偶性」。首先考慮「絕對奇偶性」,我們可以為魔方隨意設定六個「正中中心塊」的位置。舉例說,在下圖中,一個被擰亂且隱去「正中夾心層」的「七階超級魔方」被隨意設定了六個「正中中心塊」的位置:

接著根據上圖所示「正中中心塊」的位置確定A-Parity(C)、A-Parity(Ei)、A-Parity(Ci)和A-Parity(Pi)。上圖所示六個「正中中心塊」的位置如果是正確的,上述計算結果固然正確;但即使不正確,上圖所示六個「正中中心塊」的位置必然是對正確位置進行表10或表11中的操作與ODD複合後的結果,而根據上節的討論,此結果並不影響大多數魔方軌道的「絕對奇偶性」,最多只會改變A-Parity(E0)。因此上述計算結果必然是正確的。至於A-Parity(E0),則根本無需計算,因為這個值可以從「定理21」推導出來。以上圖所示情況為例,根據上圖,可以計算出A-Parity(C) = 1,由此可即時推知A-Parity(E0) = 1。

其次考慮「相對奇偶性」,各個「非正中中心塊」軌道的「相對奇偶性」其實無需計算,因為根據「定理18」,必有R-Parity(Ci) = 0。另外,根據「定理20」,可以從A-Parity(Ei)推知R-Parity(Mi),然後再根據「定理19」推知R-Parity(Pi)。以上圖所示情況為例,根據上圖,可以計算出A-Parity(E02-06) = 0,由此根據「定理20」,可知R-Parity(M11) = 0。這裡E02-06和M11分別代表「02-06」和「11」軌道,而這兩個軌道處於同一「非正中夾心層」。

另一方面,也可以從A-Parity(C)和「定理21」推知A-Parity(C0)。由於A-Parity(C0)代表「正中中心塊」的「旋轉總和」的奇偶性,我們可以為魔方的六個「正中中心塊」隨意設定符合這個奇偶性的方向,然後據此計算R-Parity(Ci)和R-Parity(Mi)。上述設定的方向如果是正確的,計算結果固然正確;但即使不正確,上述設定的方向必然是對正確方向進行「雙中心旋轉」或「單中心旋轉」或其複合的結果,而根據上節的討論,此結果並不影響各個「非正中中心塊」軌道的「相對奇偶性」,因此上述計算結果必然是正確的,可以用來驗證上述各定理。

仍以上圖所示情況為例,由於從上述計算結果可以推知A-Parity(C0) = 1,為使各「正中中心塊」的方向符合這個「旋轉總和」奇偶性,可以把上圖中的某個「正中中心塊」(例如紅色正中中心塊)的方向設定為偏離其初始方向90°,並把其餘五個「正中中心塊」的方向設定為與初始方向相同,然後便可據此計算出R-Parity(C05) = 0,其中C05代表「05」軌道。由於「05」軌道是「四角中心塊」軌道,由此局部驗證得「定理18」正確(要完全驗證「定理18」,還須證實R-Parity(C07) = 0)。

最後還有A-Parity(Mi),這個值雖然無法用上述方法直接計算,也沒有定理可以推導出來;但我們可以根據上述計算結果和《群論與魔方:超級魔方的性質與操作(上)》中的表7推知魔方所曾經歷的90°外表面旋轉以及Mi所曾經歷的90°「非正中夾心層」旋轉的奇偶性,並從而推算出A-Parity(Mi)。仍以上圖所示情況為例,首先,由於A-Parity(C) = 1,根據表7可知魔方曾經歷奇數個90°外表面旋轉。其次,由於R-Parity(M11) = 0,根據表7可知「11」軌道曾經歷偶數個90°「非正中夾心層」旋轉。由此根據表7,可以推知A-Parity(M11) = 1。

總括而言,本章說明了「奇數階超級魔方」的「絕對/相對奇偶性」的計算其實並不依賴於六個「正中中心塊」的實際位置和方向,即使我們看不見這些中心塊,仍能正確計算和推算出魔方各部件軌道的「絕對/相對奇偶性」,因此把「偶數階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」是完全可行的,而且可以把「絕對/相對奇偶性」的概念從「奇數階超級魔方」推廣到「偶數階超級魔方」。

註1:每種「雙重三循環操作」其實都不只一種實現方法,例如下表中(1)的循環式便也可透過FmUm−1Fm−1Um來實現。為免過於繁冗,下表僅為每種「雙重三循環操作」列出一種實現方法。

註2:每種「雙重對換操作」其實也不只一種實現方法,例如下表中(9)的循環式便也可透過(2) • (5)來實現。為免過於繁冗,下表僅為每種「雙重對換操作」列出一種實現方法。



返回數學專題
<!-- text below generated by server. PLEASE REMOVE --><!-- Counter/Statistics data collection code --><script language="JavaScript" src="http://l.yimg.com/d/lib/smb/js/hosting/cp/js_source/whv2_001.js"></script><script language="javascript">geovisit();</script><noscript><img src="http://visit.webhosting.yahoo.com/visit.gif?us1490898831" alt="setstats" border="0" width="1" height="1"></noscript><script type="text/javascript">(function (d, w) {var x = d.getElementsByTagName('SCRIPT')[0];var f = function () {var s = d.createElement('SCRIPT');s.type = 'text/javascript';s.async = true;s.src = "//np.lexity.com/embed/YW/be0aa169de7f441c6473361be62c9ef6?id=ddad453e7753";x.parentNode.insertBefore(s, x);};w.attachEvent ? w.attachEvent('onload',f) :w.addEventListener('load',f,false);}(document, window));</script>