群論與魔方:偶數階超級魔方的還原攻略


在本章,筆者將介紹還原「偶數階超級魔方」的技巧並解釋其原理。由於前面各章引入的概念和定理有很多只適用於「奇數階超級魔方」,這些概念和定理必須作出修改,才能應用於「偶數階超級魔方」,因此「偶數階超級魔方」的還原過程有某些「奇數階超級魔方」所無的複雜性。以下將沿用筆者在《群論與魔方:奇數階超級魔方的還原攻略》中提出的還原魔方六大步驟。

在開始討論還原攻略前,我們首先有以下觀察。第一,由於「二階超級魔方」完全沒有中心塊,根據《群論與魔方:超級魔方的性質與操作(上)》中的表6,「二階超級魔方」的還原方法跟「二階普通魔方」沒有分別,因此以下只需討論四階或以上的「偶數階超級魔方」的還原攻略。第二,雖然「偶數階超級魔方」沒有「正中夾心層」(因而也沒有「正中邊塊」、「正中中心塊」和「十字中心塊」),但我們可以把「偶數階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」。舉例說,我們可以把「四階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「五階超級魔方」,請比較以下左、右兩圖:

利用上述觀察,我們便可以把「奇數階超級魔方」的某些概念和定理,特別是「絕對/相對奇偶性」的概念和相關定理,推廣應用至「偶數階超級魔方」。以下介紹「偶數階超級魔方」的還原攻略。

第I步:搞定首四個面的中心區

由於「偶數階超級魔方」沒有「正中中心塊」,所以可以隨意選擇把哪一種顏色的小面放在第一個要處理的面,但其他面的顏色便會因此而受到制約。除此以外,「偶數階超級魔方」還原攻略的第I步跟「奇數階超級魔方」基本相同,所以無需詳細說明。

第IIa步:搞定第五個面的中心區

這一步跟「奇數階超級魔方」的第IIa步一樣,也是使用以下「(XYZ)公式」設法搞定第五個面的中心區,無需詳細說明:

順-逆-順(XYZ)公式Ux−1 R Uz−1 R−1 Ux R Uz R−1 = (X, Y, Z)(1)
逆-順-逆(XYZ)公式Ux−1 R−1 Uz−1 R Ux R−1 Uz R = (X, Y, Z) (2)

第IIb步:搞定第六個面的中心區

在還原「奇數階超級魔方」的過程中,這一步實際由三小步組成,而且要應用以下兩條定理和一條公式(在下式中,R-Parity代表「相對奇偶性」,Ci代表任意「四角中心塊」軌道,P1和P2代表配成一對的「配對中心塊」軌道,M1和M2代表P1、P2所在「非正中夾心層」的「十字中心塊」軌道):

定理18:R-Parity(Ci) = 0     (3)

定理19:R-Parity(P1) = R-Parity(P2) = R-Parity(M1) +2 R-Parity(M2)     (4)

單邊換位公式:Lx−1 U2 Lx−1 U2 F2 Lx−1 F2 Rx U2 Rx−1 U2 Lx2 = (fux1, bux1)(ux*, ux'*)     (5)

在還原「偶數階超級魔方」時,這一步同樣分為三小步。

第一小步:檢查各個「非正中中心塊」軌道是否全部都是偶排列

由於「偶數階超級魔方」沒有「正中中心塊」,這一小步有一些獨特之處。首先,由於「四階超級魔方」除了「四角中心塊」外,沒有其他中心塊;而根據「定理18」,「四角中心塊」軌道總是偶排列,所以只有六階或以上的「偶數階超級魔方」才須進行這一小步。對於「四階超級魔方」,可以直接跳至第二小步。

其次,對「偶數階超級魔方」進行檢查時存在一個問題。請比較以下兩圖:

在檢查上面左圖所示的「七階超級魔方」時,由於「A.00」正中中心塊順時針旋轉了90°,所以在列出各軌道的字母排佈時,應從紅色面的右下角開始。據此,「04」、「08」和「11」軌道的字母排佈分別為「ADCB」、「CBAD」和「CBAD」,均屬奇排列;「10」軌道的字母排佈則是「ABCD」,屬偶排列(請注意我們無須檢查「05」和「07」軌道,因為它們是「四角中心塊」軌道,總是偶排列)。

但當我們嘗試檢查上面右圖所示的「六階超級魔方」時,會發現右圖根本沒有「正中中心塊」,那麼應從哪一角落開始列出各軌道的字母排佈?這時「05」和「07」四角中心塊軌道的字母排佈可提供有用的線索。如果從紅色面的右上角開始,將發現「05」和「07」軌道的字母排佈分別為「BCDA」和「DABC」,均屬奇排列,但這違反「定理18」。事實上,不難驗證,若從紅色面的左下角開始,也會同樣得到奇排列;但若從紅色面的右下角或左上角開始,將會得到偶排列,因此正確的檢查方法是從紅色面的右下角或左上角開始。現在若從右下角開始,將會發現「04」和「08」軌道的字母排佈分別為「ADCB」和「CBAD」,均屬奇排列。

總括而言,對「偶數階超級魔方」進行第一小步時,要從紅色面找出某一個角落使得從該角落開始列出的「四角中心塊」軌道的字母排佈為偶排列。然後便可從這個角落逐一列出各個「配對中心塊」軌道的字母排佈,以檢查它們是否全屬偶排列。如是,便可以跳至第三小步,否則便要進行第二小步。

第二小步:使各個「非正中中心塊」軌道均變成偶排列

筆者在《群論與魔方:奇數階超級魔方的還原攻略》中曾指出,根據「定理19」,「配對中心塊」的「相對奇偶性」取決於「十字中心塊」的「相對奇偶性」,因此在進行第二小步時,只需理會「十字中心塊」的「相對奇偶性」。事實上,我們可以把進行第二小步的過程看成求解十字中心塊「相對奇偶性」的聯立方程。仍以上面左圖所示的「七階超級魔方」為例,我們可以把該圖中所示紅色面「10」和「11」十字中心塊軌道的情況與「定理19」結合,從而得出下列方程組(在下式中,M10和M11分別代表「10」和「11」十字中心塊軌道):

R-Parity(M10) +2 R-Parity(M11) = 1     (6)
R-Parity(M10) = 0(7)
R-Parity(M11) = 1(8)

上列方程(6)是把R-Parity(P4) = 1和R-Parity(P8) = 1代入「定理19」後所得的結果,這裡P4和P8分別代表「04」和「08」配對中心塊軌道(請注意在上面左圖中,「04」和「08」軌道配成一對,而且與「10」和「11」軌道處於同一「非正中夾心層」);方程(7)和(8)則是從上面左圖觀察所得的結果。請注意上述聯立方程根本無需費勁求解,因為上列方程(7)和(8)直接提供了所需答案。根據此答案,我們只需對M11所在的「非正中夾心層」應用「單邊換位公式」(5),即轉動整個魔方,使紅色面朝上,並把1代入(5)中的變項x (因為「11」軌道位於從外向內數第1個「非正中夾心層」),然後進行(5)一次,便可把「11」軌道(並連同「04」和「08」軌道)變成偶排列。

如果我們把「偶數階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」,便可把上述求解聯立方程的概念推廣至「偶數階超級魔方」,並為「偶數階超級魔方」寫出相應的聯立方程。但由於「偶數階超級魔方」沒有「十字中心塊」,這些聯立方程並不包含如上面(7)和(8)那種把答案直接表達出來的方程。因此,就六階或以上的「偶數階超級魔方」而言,相關的聯立方程不是無需費勁便可求解。為了對「偶數階超級魔方」有更深入的了解,以下假設一個「十階超級魔方」的實例,請看下圖:

上圖顯示隱去「正中夾心層」的「十一階超級魔方」的某個面,用以模擬「十階超級魔方」的第六個面,其中加了網底的部分就是隱去的「正中夾心層」。在上圖中,「配對中心塊」P1與P6,P2與P5,P3與P4,P7與P10,P8與P9,P11與P12各配成一對。根據「定理19」,配成一對的「配對中心塊」有相同的「相對奇偶性」,因此上述六對「配對中心塊」共可提供六個「相對奇偶性」。由於「配對中心塊」的「相對奇偶性」可以從「十階超級魔方」上直接讀取,這六個「相對奇偶性」表現為常數。現在假設R-Parity(P1) = 1,R-Parity(P2) = 1,R-Parity(P3) = 0,R-Parity(P7) = 0,R-Parity(P8) = 1,R-Parity(P11) = 1。由此根據「定理19」,可以寫出以下聯立方程(註1):

R-Parity(M1) +2 R-Parity(M2) = 1     (9)
R-Parity(M1) +2 R-Parity(M3) = 1(10)
R-Parity(M1) +2 R-Parity(M4) = 0(11)
R-Parity(M2) +2 R-Parity(M3) = 0(12)
R-Parity(M2) +2 R-Parity(M4) = 1(13)
R-Parity(M3) +2 R-Parity(M4) = 1(14)

接下來便要求解上述聯立方程。上述方程組雖然包含六條方程,但這六條方程是「線性相關」的(註2)。這是因為(12) = (9) + (10),(13) = (9) + (11),(14) = (10) + (11) (註3)。撇除方程(12)、(13)和(14),剩下包含四個未知項的三條「線性獨立」的方程,這樣的聯立方程有多於一組解。一個求解方法是首先假設R-Parity(M1)等於0或1,然後利用方程(9)、(10)和(11)逐一求出R-Parity(M2)、R-Parity(M3)和R-Parity(M4),由此便可得出上述聯立方程的兩組解:

R-Parity(M1) = 1, R-Parity(M2) = 0, R-Parity(M3) = 0, R-Parity(M4) = 1

R-Parity(M1) = 0, R-Parity(M2) = 1, R-Parity(M3) = 1, R-Parity(M4) = 0

利用上面任何一組解,便可把上述「十階超級魔方」第六個面的「配對中心塊」軌道變成偶排列。舉例說,如果利用上述第一組解,便要對M1和M4所在的「非正中夾心層」應用「單邊換位公式」(5);如果利用第二組解,便要對M2和M3所在的「非正中夾心層」應用「單邊換位公式」(5)。

請注意在上述兩組解中,雖然只有一組正確反映隱去的「十字中心塊」軌道的「相對奇偶性」(以下稱為「正確解」),但無論採取哪一組解,都可使各個「配對中心塊」軌道變成偶排列(請讀者自行驗證這一點)。至於「十字中心塊」軌道,如根據「正確解」應用「單邊換位公式」(5),會使所有「十字中心塊」軌道均變成偶排列;如根據非「正確解」應用「單邊換位公式」(5),則會使所有「十字中心塊」軌道均變成奇排列。但由於對「偶數階超級魔方」而言,「十字中心塊」軌道是隱藏的,所以這不會引致問題。

總括而言,在對「2n階超級魔方」(n ≥ 3)進行第二小步時,首先根據「配對中心塊」的「相對奇偶性」以及「定理19」寫出聯立方程。基於「模2算術」的特點,撇除方程組中「線性相關」的方程後,會剩下包含n − 1個未知項的n − 2條「線性獨立」的方程(在下式中,k1 ... kn − 2代表值為0或1的常數):

R-Parity(M1) +2 R-Parity(M2) = k1
R-Parity(M1) +2 R-Parity(M3) = k2
......
R-Parity(M1) +2 R-Parity(Mn − 1) = kn − 2

上述方程組有兩組解,根據任何一組解應用「單邊換位公式」(5),便可使各個「配對中心塊」軌道變成偶排列。

第三小步:應用「(XYZ)公式」使每個軌道的排佈回復正常

這一小步跟「奇數階超級魔方」的第三小步一樣,也是使用「(XYZ)公式」以及上一章「表8」提供的技巧設法使每個軌道的排佈回復正常,無需詳細說明。

第III步:搞定首10條邊的邊區

這一步的程序與還原「普通魔方」的第III步沒有實質分別,無需特別說明。

第IV步:搞定其餘兩條邊的邊區

這一步的程序與還原「普通魔方」的第IV步沒有實質分別,可能需運用上述公式(5)或以下公式(請注意「偶數階超級魔方」不能應用「中邊翻轉公式」):

雙邊換位公式F2 Lx−1 F B−1 R2 F−1 B Rx Lx F B−1 R2 F−1 B Rx−1 F2 = (fux1, bux1)(fux'1, bux'1)(15)
單邊翻轉公式Rx2 B2 U2 Lx U2 Rx−1 U2 Rx U2 F2 Rx F2 Lx−1 B2 Rx2 = (fux1, fux'1)(ux*, ux'*)(16)
雙邊翻轉公式U−1 F R−1 U F−1 Rx−1 Lx F U−1 R F−1 U Rx Lx−1 = (fux1, fux'1)(bux1, bux'1)(17)

筆者在上一章曾指出,雖然公式(5)和(16)會影響已搞定的中心區,但根據「定理20」,在進行這一步時,魔方不可能出現須單用(5)或(16)的情況,即要麼(5)和(16)根本無需運用,要麼(5)和(16)要一起運用。在上述兩種情況下,已搞定的中心區均不會重新被搞亂。以下是「定理20」的內容(在下式中,A-Parity代表「絕對奇偶性」,Ei和Mi分別代表處於同一「非正中夾心層」的「非正中邊塊」軌道和「十字中心塊」軌道):

定理20:A-Parity(Ei) = R-Parity(Mi)     (18)

以上是「奇數階超級魔方」的情況,「偶數階超級魔方」的情況又如何?根據筆者在上面的討論,在完成第IIb步的第二小步後,各個「十字中心塊」軌道要麼全部變成偶排列,要麼全部變成奇排列。由於在完成第IIb步直至開始進行第IV步的過程中,所有中心區均沒有再被搞亂,因此所有R-Parity(Mi)均等於0或均等於1,由等式(18)可知所有A-Parity(Ei)亦均等於0或均等於1。當所有A-Parity(Ei)均等於0時,魔方不會出現僅須運用(5)或(16)的情況;但當所有A-Parity(Ei)均等於1時,便可能出現此等情況,例如下圖所示情況:

上面左圖顯示一個「六階超級魔方」,這個魔方的「N.02-X.06」與「P.02-C.06」邊塊對調了位置,同時「U.01-M.09」和「N.01-X.09」邊塊也發生了翻轉。上面右圖則顯示用以模擬左圖情況的「七階超級魔方」,這個魔方的「正中夾心層」大部分都被隱去,僅露出藍色面上八個「十字中心塊」。從該圖可見,這些「十字中心塊」軌道都呈現奇排列,這是造成左圖情況的原因。為搞定上面左圖的邊塊,須對從外向內數第1層「非正中夾心層」運用「單邊換位公式」(5)(即把1代入(5)中的變項x),然後轉動整個魔方,使橙色面向後,並對從外向內數第2層「非正中夾心層」運用「單邊翻轉公式」(16)(即把2代入(16)中的變項x)。請注意上述操作雖然要對魔方的不同「非正中夾心層」單用(5)或(16),但由於操作涉及所有「非正中夾心層」,其總體效果是令魔方上面所有處於對稱位置的中心行對調位置,因此上面的中心區不會被打亂。

總括而言,在對「2n階超級魔方」(n ≥ 3)進行第IV步時,要麼出現須對從外向內數第1至n − 1層「非正中夾心層」各運用公式(15)、(17)或連用公式(5)和(16)的情況,要麼出現須對從外向內數第1至n − 1層「非正中夾心層」各單用公式(5)或(16)的情況。在上述兩種情況下,中心區均不會被重新打亂。

第V步:使各個角塊和邊區歸位並朝向正確方向

我們通過進行以下七小步來完成這一步:

第一小步:搞定下面的四個邊區
第二小步:搞定下面的四個角塊
第三小步:搞定夾心層的四個邊區
第四小步:使上面的四個邊區正常
第五小步:使上面的四個邊區歸位
第六小步:使上面的四個角塊歸位
第七小步:使上面的四個角塊正常

跟「普通魔方」一樣,在進行上述七小步的過程中,偶數階和奇數階「超級魔方」存在一些差異,這些差異發生於第四和第六小步。首先,在進行第四小步時,「偶數階超級魔方」的上面可能出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的情況(這種情況不可能出現於「奇數階超級魔方」),以下筆者用「定理20」來解釋為何為何會如此。如果把「偶數階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」,那麼在進行第四小步時,有一些(隱去的)「十字中心塊」軌道可能呈現為奇排列。由此根據「定理20」,與該「十字中心塊」軌道處於同一「非正中夾心層」的「非正中邊塊」軌道必然也呈現為奇排列,而一個或三個「邊區」朝向正確方向的情況正是「非正中邊塊」軌道呈現為奇排列的表現。現以下圖為例說明這一點:

上面左圖顯示一個「四階超級魔方」,這個魔方有三個「邊區」朝向正確方向,只有「紅藍」邊區不正確。上面右圖則顯示用以模擬左圖情況的「五階超級魔方」,這個魔方的「正中夾心層」大部分都被隱去,僅露出藍色面上的「05」十字中心塊軌道。從該圖的左上角(註4)開始列出「05」軌道的字母排佈,得到「GFEH」,屬奇排列,這是造成左圖情況的原因。遇有上述情況,可以像處理「偶數階普通魔方」一樣,運用「單邊翻轉公式」(16)(請參閱《群論與魔方:更高階魔方的還原攻略》的介紹)。請注意由於上述操作對魔方的所有「非正中夾心層」同時起作用,所以不會打亂各個已搞定的中心區。

其次,在進行第六小步時,「偶數階超級魔方」可能出現只有兩個角塊已歸位,而其餘兩個角塊錯位的情況(這種情況同樣不可能出現於「奇數階超級魔方」)。以下筆者用「定理21」來解釋為何為何會如此(在下式中,C、E0、Ci和C0分別代表角塊軌道、「正中邊塊」軌道、「四角中心塊」軌道和「正中中心塊」軌道):

定理21:A-Parity(C) = A-Parity(E0) = A-Parity(Ci) = A-Parity(C0)     (19)

如果把「偶數階超級魔方」看成隱去「正中夾心層」的「奇數階超級魔方」,那麼在進行第六小步時,(隱去的)「正中邊塊」軌道可能呈現為奇排列。由此根據「定理21」,角塊軌道必然也呈現為奇排列,而恰好兩個角塊錯位的情況正是角塊軌道呈現為奇排列的表現。現以下圖為例說明這一點:

在上面左圖的「四階超級魔方」中,「藍黃紅」與「藍橙黃」角塊對調了位置(其餘角塊均在正確位置)。上面右圖的「五階超級魔方」則露出了藍色面上的「正中邊塊」,在這些「正中邊塊」中,「黃藍」邊塊與「白藍」邊塊對調了位置(其餘的「正中邊塊」均在正確位置),使「正中邊塊」軌道呈現為奇排列,這是造成左圖情況的原因。遇有上述情況,可以像處理「偶數階普通魔方」一樣,運用《群論與魔方:更高階魔方的還原攻略》中介紹的方法處理。此方法會用到「雙邊換位公式」(15)和「雙邊翻轉公式」(17),這兩種操作都不會打亂魔方上已搞定的中心區。

第VI步:使各個中心區上的圖案回復初始狀態時的方向

跟「奇數階超級魔方」一樣,在這一步我們要用到以下兩條公式(以下兩式中右側的u和l應被理解為「偶數階超級魔方」上面和左面的中心區):

雙中心旋轉公式L−1 R F−1 B U−1 D Ln D−1 U B−1 F R−1 L U−n = (u3n)(ln)(20)
單中心旋轉公式(U R L U2 R−1 L−1)2 = (u2)(21)

雖然「偶數階超級魔方」沒有「正中中心塊」,但「四角中心塊」可以反映每個面的中心區的方向,如下圖所示:

根據上圖中上面和前面的「四角中心塊」,可以判斷上圖所示「六階超級魔方」上面和前面的中心區分別逆時針和順時針旋轉了90°。另一方面,在完成第V步後,所有角塊均已歸位,因此必有A-Parity(C) = 0。由此根據「定理21」,必有A-Parity(Ci) = 0。現在如果把「四角中心塊」的「絕對奇偶性」理解為反映魔方中心區「旋轉總和」的奇偶性(註5),那麼在進行第VI步時,這個「旋轉總和」必為偶數。由此可知,利用上述兩條公式以及上一章介紹的方法,必可最終完成這一步。

註1:方程(9)的理據如下:由於P1和P6出現於包含M1和M2的「非正中夾心層」,而R-Parity(P1) = 1,所以根據「定理19」,可以寫出方程(9)。其餘的方程(10)至(14)也是建基於類似的理據。

註2:根據「線性代數」,一組聯立方程是「線性相關」(linearly dependent)的,當且僅當可以把其中至少一條方程寫成其餘方程的「線性組合」(linear combination),即把這些方程各乘以一個常數然後加起來的結果。一組聯立方程若非「線性相關」,便是「線性獨立」(linearly independent)的。舉例說,以下聯立方程就是「線性相關」的:
x + y = 1     (i)
x + z = 0     (ii)
y − z = 1     (iii)
因為(iii) = (i) − (ii)。

註3:請注意上述聯立方程乃建基於「模2算術」。在「模2算術」下,0 +2 0 = 1 +2 1 = 0,因此對任何未知項k,均有k +2 k = 0。

註4:在該圖中,我們要找出某一個角落使得從該角落開始列出的「03」四角中心塊軌道的字母排佈為偶排列(以符合「定理18」),左上角是這樣的一個角落。

註5:在上一章,筆者把「正中中心塊」的「絕對奇偶性」理解為反映中心區「旋轉總和」的奇偶性,現在我們看到在「偶數階超級魔方」中,「四角中心塊」取代了「正中中心塊」的角色。



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