群論與魔方:超級魔方的性質與操作(下)


在本章,筆者將繼續介紹「超級魔方」的性質與操作,重點是推導「奇數階超級魔方」還原過程中的一些重要事實,並介紹一些新公式(「偶數階超級魔方」的情況會在以後討論「偶數階超級魔方」的還原攻略時再詳細介紹)。

絕對奇偶性和相對奇偶性

「超級魔方」與「普通魔方」的還原過程基本相同,在還原的最初幾步(即《群論與魔方:更高階魔方的還原攻略》所列舉的第I至第IV步)中,我們的目標是搞定六個面的中心區和12條邊的邊區,暫時無須理會各個中心區、邊區和角塊的相互位置。在此一階段,「非正中夾心層」旋轉和外表面旋轉對還原起著很不同的作用,現以下圖為例以作說明:

上面左圖顯示處於初始狀態的「五階超級魔方」,以下我們集中觀察這個魔方的紅色中心區。上面中圖是對左圖進行外表面旋轉F的結果,這個外表面旋轉雖然使某些中心塊改變了位置,但沒有把上述中心區打亂。上面右圖是對左圖進行夾心層旋轉R1的結果,這個夾心層旋轉顯然把上述中心區打亂了。

為表達上述差異,我們把「非正中中心塊」軌道的排列奇偶性區分為「絕對奇偶性」(Absolute Parity)和「相對奇偶性」(Relative Parity)(註1)。在計算這兩種奇偶性時,都要追蹤相關軌道成員在各種旋轉影響下從某一原有位置跑到哪個新位置,這兩種奇偶性的差異在於確定新位置的方法。在計算「絕對奇偶性」時,新位置是指根據魔方某個標準座向(例如規定紅色面向前,藍色面朝上等)而定的的位置;在計算「相對奇偶性」時,新位置則是指相對於各個面上的「正中中心塊」原有方向的位置。現以下圖為例說明上述概念:

上面左圖顯示處於初始狀態的「五階超級魔方」,為方便接下來的討論,該圖還標出了三個中心塊位置:「f21」、「u12」和「u23」。上面右圖是對左圖先後進行外表面旋轉U和「非正中夾心層」旋轉R1的結果,以下我們看「05」軌道的「絕對奇偶性」和「相對奇偶性」。為計算「05」軌道的「絕對奇偶性」,首先注意原來位於「f21」位置的「A.05」中心塊跑到了一個新位置,根據上面左圖所界定的標準座向,這個位置是「H.05」中心塊原來的位置,即「u12」位置。接著追蹤原來位於「u12」位置的「H.05」中心塊跑到哪裡,並如此繼續追蹤下去,便可求得「05」軌道各成員的動向,並用以下循環式表示:

(f21, u12, u21, u32, u23, b12, d21)

由於上列括弧可以改寫成6個「對換」的乘積,「05」軌道在F和R1影響下的「絕對奇偶性」是0 (以下用0和1分別代表偶排列和奇排列)。為計算「05」軌道的「相對奇偶性」,同樣注意原來位於「f21」位置的「A.05」中心塊跑到了一個新位置,相對於藍色面上「E.00」正中中心塊的原有方向,這個位置是「G.05」中心塊原來的位置,即「u23」位置(註2)。接著追蹤原來位於「u23」位置的「G.05」中心塊跑到哪裡,並如此繼續追蹤下去,便可求得「05」軌道各成員的動向,並用以下循環式表示:

(f21, u23, b12, d21)     (1)

由於上列括弧可以改寫成3個「對換」的乘積,「05」軌道在F和R1影響下的「相對奇偶性」是1。

上述例子顯示,任一「非正中中心塊」軌道的「絕對奇偶性」和「相對奇偶性」可以各有不同的值。那麼在還原過程中,應以哪個值為準?答案是在還原「超級魔方」的最初幾步中,應以「相對奇偶性」為準;而在此後的還原步驟中,則應以「絕對奇偶性」為準。這是因為在還原「超級魔方」的最初幾步中,我們只須理會「非正中中心塊」相對於同色「正中中心塊」的位置;但在此後的還原步驟中,我們須把所有魔方部件還原到它們在初始狀態下根據標準座向而確定的位置。「相對奇偶性」滿足以下重要定理:

定理17:「非正中中心塊」軌道的「相對奇偶性」只受「非正中夾心層」旋轉影響,不受任何外表面旋轉影響。

為證明上述定理,首先根據《群論與魔方:超級魔方的性質與操作(上) 》中的公式(7),可以把「非正中夾心層」旋轉對任一「非正中中心塊」軌道的影響寫成一連串括弧的乘積,其中每個括弧均包含4個元素;而外表面旋轉對這些軌道的「相對奇偶性」的影響只是把某些括弧中的某些元素換成其他元素,沒有影響括弧的數目。以上圖所示情況為例,如僅對左圖進行「非正中夾心層」旋轉R1,「05」軌道所受影響可以寫成以下循環式:

(f21, u12, b12, d21)     (2)

比較(1)與(2),可見外表面旋轉F對「05」軌道的「相對奇偶性」的影響只是把(2)中的「u12」換成(1)中的「u23」,沒有影響括弧的數目。其次請注意「相對奇偶性」乃取決於四元素括弧的數目,這是因為儘管兩組包含相同數目的四元素括弧的乘積可以改寫成不同數目的「對換」的乘積,但這兩組乘積所改寫成的「對換」的個數總是具有相同的奇偶性(註3)。由此可見,外表面旋轉不會對「相對奇偶性」產生影響,上述定理證畢。請注意根據「定理17」,在研究「非正中中心塊」軌道的「相對奇偶性」時,只需參考上一章表7中「90°非正中夾心層旋轉」一欄下的資料,這大大簡化了研究。

接下來討論各類「非正中中心塊」軌道的「相對奇偶性」的特點。以下討論將以以下這個「奇數階超級魔方」某一面的示意圖作為示例(在下圖中,P1和P2代表配成一對的某兩個「配對中心塊」軌道,其餘符號所代表的魔方部件請參閱下圖中的「圖例」):

首先考慮「四角中心塊」,根據表7,可即時推出以下定理:

定理18:「四角中心塊」軌道的「相對奇偶性」總是0。

如用R-Parity(X)代表軌道X的「相對奇偶性」,Ci代表任意一個「四角中心塊」軌道,那麼可以把上述定理符號化為:

R-Parity(Ci) = 0     (3)

其次考慮「配對中心塊」與「十字中心塊」的關係。從上圖可見,每一個「非正中夾心層」均有恰好一個「十字中心塊」,而配成一對的兩個「配對中心塊」軌道總是同時出現於包含某兩個「十字中心塊」的「非正中夾心層」上。例如在上圖中,P1和P2總是同時出現於包含M1或M2的「非正中夾心層」上(無論橫看還是豎看),而每次旋轉包含M1或M2的「非正中夾心層」都會對P1和P2的「相對奇偶性」同時產生影響。由此可以推出以下定理:

定理19設P1和P2為配成一對的「配對中心塊」軌道,M1和M2為P1、P2所在「非正中夾心層」的「十字中心塊」軌道,那麼P1和P2的「相對奇偶性」相等,且都等於M1和M2的「相對奇偶性」在模2算術下之和。

上述定理可以符號化為:

R-Parity(P1) = R-Parity(P2) = R-Parity(M1) +2 R-Parity(M2)     (4)

舉例說,假設我們對包含M1的「非正中夾心層」和包含M2的「非正中夾心層」分別進行了偶數次和奇數次90°旋轉,則有R-Parity(M1) = 0和R-Parity(M2) = 1;P1和P2的「相對奇偶性」顯然都是奇排列,即R-Parity(P1) = R-Parity(P2) = 1,而1 = 0 +2 1。

接著考慮「非正中邊塊」與「十字中心塊」的關係。從上圖可見,每個「非正中邊塊」軌道均與一個「十字中心塊」軌道對應,互相對應的軌道總是出現於同一組「非正中夾心層」上。例如在上圖中,E1與M1對應,E2則與M2對應(無論橫看還是豎看),而每次旋轉包含E1和M1的「非正中夾心層」都會對E1的「絕對奇偶性」(註4)和M1的「相對奇偶性」產生相同的影響(E2與M2的關係也是如此)。由此可以推出以下定理:

定理20:處於同一「非正中夾心層」的「非正中邊塊」軌道的「絕對奇偶性」和「十字中心塊」軌道的「相對奇偶性」相等。

如用A-Parity(X)代表軌道X的「絕對奇偶性」,Ei和Mi分別代表處於同一「非正中夾心層」的「非正中邊塊」軌道和「十字中心塊」軌道,那麼可以把上述定理符號化為:

A-Parity(Ei) = R-Parity(Mi)     (5)

接下來討論「四角中心塊」與角塊、「正中邊塊」和「正中中心塊」的關係。根據表7,「四角中心塊」軌道的「絕對奇偶性」不會因任何「非正中夾心層」旋轉而改變(因為任何外表面旋轉對「四角中心塊」軌道的的影響相當於在其原有排列奇偶性上加上一個偶數,而任何數字加上一個偶數不影響原來數字的奇偶性)。此外,我們知道「非正中夾心層」旋轉根本不會觸動角塊和「正中邊塊」;而根據上一章的「定理16」,「正中中心塊」的「旋轉總和」也不會因任何「非正中夾心層」旋轉而改變奇偶性。另一方面,根據表7,90°外表面旋轉會改變「四角中心塊」、角塊和「正中邊塊」的「絕對奇偶性」;而根據「定理16」,「正中中心塊」的「旋轉總和」也會因90°外表面旋轉而改變奇偶性。由此可見,各種旋轉對「四角中心塊」、角塊和「正中邊塊」的「絕對奇偶性」以及「正中中心塊」的「旋轉總和」奇偶性起著相同的作用。現在如果把「正中中心塊」的「旋轉總和」奇偶性稱為其「絕對奇偶性」,那麼我們有以下定理:

定理21:角塊、「正中邊塊」、「四角中心塊」和「正中中心塊」的「絕對奇偶性」相等。

如用C、E0、Ci和C0分別代表角塊軌道、「正中邊塊」軌道、「四角中心塊」軌道和「正中中心塊」軌道,那麼可以把上述定理符號化為:

A-Parity(C) = A-Parity(E0) = A-Parity(Ci) = A-Parity(C0)     (6)

在介紹「超級魔方」的還原攻略時,讀者將看到上述各定理及其相關公式的重要作用。

一些新公式

筆者在前面各章介紹了一種有用的「有借有償法」,這種方法應用於第II步,可把中心塊從一個面移到另一個面的指定位置。由於還原「超級魔方」的過程需大量運用「有借有償法」,我們有必要把此方法公式化,所得公式將稱為「(XYZ)公式」。概言之,「(XYZ)公式」就是要在魔方上實現(X, Y, Z)這個循環式所代表的變換,即把位於X的小面移到Y,把位於Y的小面移到Z,並把位於Z的小面移到X。以下規定X是魔方前面的一個中心塊小面所在的位置,Y是魔方右面與X對應的位置,Z是順時針或逆時針旋轉魔方前面90°後X所到達的位置,其中X和Z必須位於不同的橫行上。「(XYZ)公式」有兩種形式,若Z是順時針旋轉魔方前面90°後X所到達的位置,這條公式採取以下形式,可稱為「順-逆-順(XYZ)公式」

Ux−1 R Uz−1 R−1 Ux R Uz R−1 = (X, Y, Z)     (7)

若Z是逆時針旋轉魔方前面90°後X所到達的位置,則這條公式採取以下形式,可稱為「逆-順-逆(XYZ)公式」

Ux−1 R−1 Uz−1 R Ux R−1 Uz R = (X, Y, Z)     (8)

在以上兩式中,Ux和Uz中的下標x和z分別代表X和Z所在的橫向夾心層,例如設X屬於「f1*」這個「中心行」,即位於前面(從上向下數)第一個橫向夾心層,那麼Ux便應理解為U1。從以上兩式的右端可以看到,「(XYZ)公式」除了實現(X, Y, Z)這個變換外,對魔方的其餘部分沒有任何影響,所以是極為有用的公式。現以下圖所示「五階超級魔方」為例說明上述公式的運用:

假設我們要把上圖中位於「f31」位置的「K.03」中心塊移到「D.03」中心塊的位置(即「r33」位置),因此可以把X設定為「f31」,把Y設定為「r33」。至於Z,我們要看順時針或逆時針旋轉魔方前面90°後「K.03」所到達的位置。一方面,順時針旋轉90°後「K.03」會到達「C.03」所在位置(即「f33」位置),而「C.03」與「K.03」處在同一橫行上,不符合作為Z的條件;另一方面,逆時針旋轉90°後「K.03」會到達「L.03」所在位置(即「f11」位置),而「L.03」與「K.03」不處在同一橫行上,符合作為Z的條件;因此我們把Z設定為「f11」,並使用「逆-順-逆(XYZ)公式」(8)。由於「K.03」和「L.03」分別位於「f3*」和「f1*」這兩個「中心行」上,在應用公式(8)時,要把3和1分別代入公式(8)中的x和z:

U3−1 R−1 U1−1 R U3 R−1 U1 R = (f31, r33, f11)

對上圖所示「超級魔方」進行上述操作,便會得到我們所要的結果,如下圖所示:

以上兩條「(XYZ)公式」都只能進行一組(X, Y, Z)變換,但在條件許可的情況下,可以把上述公式作一些修改,以同時進行多組(X, Y, Z)變換。請先看以下這個X處於同一橫行而Z處於不同橫行的例子:

假設我們要把上圖中位於「f15」位置的「I.05」中心塊和「f12」位置的「J.04」中心塊分別移到「D.05」中心塊的位置(即「r11」位置)和「A.04」中心塊的位置(即「r41」位置),以上確定了一對X和一對Y。至於Z,由於逆時針旋轉90°後「I.05」和「J.04」會分別到達「B.05」所在位置(即「f55」位置)和「C.04」所在位置(即「f25」位置),而「B.05」和「C.04」均與「I.05」和「J.04」不處在同一橫行上,符合作為Z的條件。由於上述一對X同位於「f1*」中心行上,而兩個Z分別位於「f5*」和「f2*」中心行上,在應用公式(8)時,要把1代入x並把5和2代入z,從而得到下式:

U1−1 R−1 U5−1 U2−1 R U1 R−1 U5 U2 R = (f15, r11, f55)(f12, r41, f25)

請注意上式同時達成兩組(X, Y, Z)變換。接著再看一個X處於不同橫行而Z處於同一橫行的例子:

假設我們要把上圖中位於「f13」位置的「I.11」中心塊和「f43」位置的「K.10」中心塊分別移到「D.11」中心塊的位置(即「r31」位置)和「B.10」中心塊的位置(即「r34」位置),以上確定了一對X和一對Y。至於Z,由於順時針旋轉90°後「I.11」和「K.10」會分別到達「B.11」所在位置(即「f31」位置)和「D.10」所在位置(即「f34」位置),而「B.11」和「D.10」均與「I.11」和「K.10」不處在同一橫行上,符合作為Z的條件。由於上述一對X分別位於「f1*」和「f4*」中心行上,而兩個Z同位於「f3*」中心行上,在應用公式(7)時,要把1和4代入x並把3代入z,從而得到下式:

U1−1 U4−1 R U3−1 R−1 U1 U4 R U3 R−1 = (f13, r31, f31)(f43, r34, f34)

請注意上式也同時達成兩組(X, Y, Z)變換。在條件許可的情況下,我們甚至可以同時達成多組(X, Y, Z)變換,這裡不再一一舉例。

嚴格地說,上述「(XYZ)公式」不算是新公式,因為它們只是把「有借有償法」公式化的結果。接下來要介紹兩條專為還原「三階超級魔方」正中中心塊方向而設的新公式。在介紹新公式前,首先要引入一些新符號。由於「超級魔方」的「正中中心塊」有方向之分,以下為代表「正中中心塊」的符號加上下標0、1、2或3,以表示該「正中中心塊」的旋轉狀態,例如「f1」便代表前面的「正中中心塊」順時針旋轉了90°。

第一條公式可稱為「雙中心旋轉公式」,其「循環式」如下:

L−1 R F−1 B U−1 D Ln D−1 U B−1 F R−1 L U−n = (u3n)(ln)     (9)

在上式左端中,U−n是(U−1)n的縮寫,代表把上面逆時針旋轉90° n次。從上述「循環式」可見,上述複合操作的結果是把上面的「正中中心塊」逆時針旋轉90° × n,並同時把左面的「正中中心塊」順時針旋轉90° × n,對其他的「正中中心塊」則沒有影響。請注意在上式右端中,u的下標3n應被理解為模4算術下的乘法。

第二條公式可稱為「單中心旋轉公式」,其「循環式」如下:

(U R L U2 R−1 L−1)2 = (u2)     (10)

從上述「循環式」可見,上述複合操作的結果是把上面的「正中中心塊」順時針旋轉180°。

以上兩條公式雖是專為「三階超級魔方」而設,但其實可以推廣應用於「高階超級魔方」,其關鍵是把「超級魔方」的某些夾心層與外表面組成區塊。以下以「七階超級魔方」為例說明這一點。如果把上述兩條公式原封不動地應用於「七階超級魔方」上,這實際等同於不把任何夾心層與外表面組成區塊,亦即把每個面上的所有中心塊組成一個中心區,這樣運用上述公式的結果是把整個中心區(而非只「正中中心塊」)旋轉。下圖顯示對「七階超級魔方」應用(10)的結果,請注意魔方上面的整個中心區順時針旋轉了180°:

我們也可以把所有「非正中夾心層」與外表面組成一個區塊,這樣運用上述公式的結果是僅把「正中中心塊」(而非整個中心區)旋轉。舉例說,用上述方法對「七階超級魔方」運用(10)實際等於把公式(10)變成以下形式:

(UU1U2 RR1R2 LL1L2 U2U12U22 R−1R1−1R2−1 L−1L1−1L2−1)2     (11)

下圖顯示對「七階超級魔方」應用(11)的結果,請注意魔方的上面只有「正中中心塊」順時針旋轉了180°,其餘中心塊維持不動:

當然,我們還可以僅把較外層的「非正中夾心層」與外表面組成一個區塊。舉例說,僅把「七階超級魔方」的最外層夾心層與外表面組成一個區塊,便等於把公式(10)變成以下形式(請讀者自行想像對「七階超級魔方」運用下式的效果):

(UU1 RR1 LL1 U2U12 R−1R1−1 L−1L1−1)2     (12)

最後,綜合運用上述各種組合,還可以產生某些特殊效果。例如對「七階超級魔方」先後運用公式(11)、(12) 和(10),便會產生下圖所示的效果:

我們可以把魔方的每一面看成由一層層方框組成,例如上圖便標出藍色面上的第一層至第四層方框。請注意在上圖中,第一層和第三層方框旋轉了180°,第二層和第四層方框則維持不動。

註1:其他魔方部件,包括「非正中邊塊」、「正中中心塊」、「正中邊塊」和角塊,並無「絕對奇偶性」和「相對奇偶性」之分。但為方便討論,以下把這些部件軌道的排列奇偶性一律稱為「絕對奇偶性」,其計算方法與正中中心塊「絕對奇偶性」的計算方法相同。

註2:你可以在心中想像把右圖的上面逆時針旋轉90°,這樣便把「E.00」正中中心塊還原到原有方向,這時便可看到「A.05」中心塊是位於「G.05」中心塊原有的位置上。

註3:舉例說,(A, B, C, D)(E, F, G, H)和(A, B, C, D)(A, B, C, D)都是由兩個四元素括弧組成的乘積,但它們可以分別改寫成6個「對換」和2個「對換」的乘積:

(A, B, C, D)(E, F, G, H) = (A, B)(A, C)(A, D)(E, F)(E, G)(E, H)
(A, B, C, D)(A, B, C, D) = (A, C)(B, D)
請注意6和2同為偶數。

註4:請注意根據表7,「非正中邊塊」軌道的排列奇偶性不受任何外表面旋轉影響,因此「非正中邊塊」的「絕對奇偶性」在本質上跟其他魔方部件的「相對奇偶性」十分相似。事實上,如果我們模倣非正中中心塊「相對奇偶性」的計算方法,為「非正中邊塊」設計一種計算「相對奇偶性」的方法,將發現「非正中邊塊」的「相對奇偶性」跟「絕對奇偶性」沒有分別。



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