群論與魔方:超級魔方的性質與操作(上)


到目前為止,筆者討論的魔方都是「普通魔方」,這種魔方上的每一個小面都塗上均勻分佈的顏色,但沒有圖案或符號。由本章開始,筆者將介紹「超級魔方」(Supercube,亦稱「圖畫魔方」Picture Cube),這種魔方的特點是,每一個小面上都有各不相同的不對稱圖案或符號。在本章和下一章,我們首先從總體了解「超級魔方」的一些基本性質與操作。

超級魔方的類別

按照「超級魔方」上各小面圖案/符號的特點,人們把「超級魔方」分為若干個類別,下圖顯示兩種典型「三階超級魔方」類別的代表(註1):

     

上面左圖的「超級魔方」在外表上與「普通魔方」差異不大,六個面上的小面都塗上同一種顏色,只不過這些小面還加了一些識別符號。在上圖中,小面上的符號由一個字母和一個數字組成,數字是該小面所屬「軌道」的編號,而字母則用來識別同一「軌道」的不同小面。舉例說,由於六個面上的「01」軌道各包含四個小面,為區別這些小面,可以把紅色面上的四個小面分別標示為「A.01」、「B.01」、「C.01」和「D.01」,藍色面上的四個小面分別標示為「E.01」、「F.01」、「G.01」和「H.01」,如此類推。上面右圖的「超級魔方」則在外表上與「普通魔方」差異較大,這個魔方的各個面沒有識別顏色,而且各個小面上繪有複雜的圖案,例如上圖這個魔方便以世界地圖作為圖案。為方便指稱,以下把上面左圖和右圖所示「超級魔方」分別稱為「軌道魔方」(Orbit Cube)和「地球魔方」(Earth Cube)。

從表面上看,「地球魔方」似乎比「軌道魔方」較難還原,因為「地球魔方」上的六個面全都是同一種底色,還原時無法根據顏色判斷哪個角塊/邊塊應屬於哪一個面。對於初玩者來說,「地球魔方」的確比「軌道魔方」難玩,這是因為初玩者可能一時難以辨認哪個角塊/邊塊屬於哪一個面。一個解決方法是在擰亂「地球魔方」前,先記下每個小面的圖案,以便在還原時「看圖索驥」。舉例說,在記下「地球魔方」每個小面的圖案後,我們便知道由以下左、中、右三個小面組成的角塊應出現在「fru」位置,並且應分別向前、向右和朝上:

           

不過,除了上述辨認困難外,還原「地球魔方」所需的程序和公式跟還原「軌道魔方」其實沒有分別。從這個角度看,「地球魔方」和「軌道魔方」並無實質差異,兩者都是「超級魔方」的不同版本。因此之故,在以下討論中,筆者將以「軌道魔方」作為示例。

超級魔方與普通魔方的差別

容易看到,「超級魔方」的還原比「普通魔方」複雜,因為「超級魔方」小面上的圖案為還原增添了很多限制,請看下圖所示的「五階超級魔方」:

     

上面左、右兩圖分別顯示處於初始狀態(亦即已還原)和未完全還原的「五階超級魔方」。表面上看,右圖的「超級魔方」好像已還原了,但若仔細比較兩圖的紅色面,便可看到在右圖中,位於正中「f22」位置的「A.00」中心塊上下倒轉了。此外,還有很多中心塊未正確歸位,例如本應位於「f11」位置的「A.03」中心塊跑到了「f33」位置。

上圖展示了「超級魔方」與「普通魔方」中心塊的一些重要差別。首先看「正中中心塊」的情況(註2)。在還原「普通魔方」時,我們根本不用還原「正中中心塊」,因為六個「正中中心塊」的相對位置永遠保持不變,而且沒有特定方向。但對「超級魔方」來說,「正中中心塊」卻有特定方向,在還原「超級魔方」時必須把這些中心塊還原到它們的原有方向。接著看「非正中中心塊」的情況,以下以紅色面「03」軌道上的中心塊為例以作說明,請注意以下觀察也適用於其餘五個面上的各個中心塊軌道。對「普通魔方」來說,紅色面「03」軌道上的四個中心塊沒有任何符號,這四個中心塊可以隨意放入「f11」、「f31」、「f13」和「f33」這四個位置。但對「超級魔方」來說,這四個中心塊卻各有獨特的符號,必須把「A.03」中心塊放在「f11」位置,「B.03」中心塊放在「f31」位置,餘類推。

看到這裡,有些讀者可能會問,當「非正中中心塊」返回正確位置後,其上的符號是否也會像「正中中心塊」那樣可能偏離原有方向?答案是否定的,只需扭動「五階超級魔方」,便可發現「正中中心塊」與「非正中中心塊」的差別。對處於初始狀態和上圖座向的「五階超級魔方」先後進行R2、U2和R2−1,「A.00」中心塊上下倒轉了。但無論如何扭動「五階超級魔方」,只要把「A.03」中心塊移回原來的「f11」位置(即使其他角塊、邊塊和中心塊未歸位),這個中心塊上符號的方向都會與原來一樣,請讀者動手試試看。

「超級魔方」角塊和邊塊的情況又如何?這些角塊和邊塊雖然也各有獨特的符號,但由於每個角塊或邊塊由二至三個各有不同顏色的小面組成,這些顏色排佈已足以區別處於同一軌道的角塊和邊塊。換句話說,角塊和邊塊的顏色排佈唯一確定了它們在「超級魔方」上的位置和方向。以上面左圖為例,我們知道位於「fu1」和「fu3」位置的兩個邊塊屬於同一個軌道,雖然這兩個邊塊都由屬於「01」和「04」軌道的兩個小面組成,但在還原的過程中,我們只能把包含「A.01」和「E.04」小面的邊塊放在「fu1」位置,並且讓「A.01」紅色小面向前,「E.04」藍色小面朝上(假設魔方處於上圖所示的座向)。如果把這個邊塊錯放在「fu3」位置,這個邊塊便會「翻轉」(即「A.01」紅色小面朝上,「E.04」藍色小面向前)。因此,搞定「超級魔方」角塊和邊塊的過程與搞定「普通魔方」角塊和邊塊的過程基本相同,都只需注意角塊和邊塊的顏色排佈,無需理會其小面上符號的方向。

至此我們可以把「超級魔方」各部件的總體還原策略總結成下表:

表6
部件總體還原策略
正中中心塊
不用還原其位置,但要還原其上符號的方向
非正中中心塊
要根據其顏色和所屬軌道還原其位置,但無須理會其上符號的方向
角塊、邊塊
要根據其顏色還原其位置和方向(即消除任何「扭轉」或「翻轉」),但無須理會其上符號的方向

部件軌道排列奇偶性

筆者在《群論與魔方:排列的表示法與運算》一章中引入了「對換」和「排列奇偶性」的概念,並在《群論與魔方:高階魔方的性質與公式》一章中介紹了魔方各種旋轉的公式,例如以下是表4所載F (作為外表面旋轉的代表)和Fi (作為夾心層旋轉的代表)的「循環式」(在下式中,n是魔方的階,j' = n − 1 − j; k' = n − 1 − k):

F =(fru1, frd2, fld1, flu21 ≤ j ≤ n-2(frj0, fdj0, flj'0, fuj'01 ≤ j ≤ floor((n-2)/2)Πj ≤ k ≤ j'-1(fjk, fk'j, fj'k', fkj')(1)
Fi =(rui1, rdi1, ldi1, lui11 ≤ j ≤ n-2(rij, dij, lj'i, uj'i)(2)

此外,筆者還討論了魔方各種旋轉的奇偶性,指出這種奇偶性對不同階魔方的還原過程有重要影響。舉例說,對「奇數階魔方」而言,所有外表面旋轉和夾心層旋轉都是偶排列;對「偶數階魔方」而言,所有夾心層旋轉都是奇排列,外表面旋轉則可以是奇排列,也可以是偶排列,視乎魔方的階而定。上述這種「排列奇偶性」僅籠統地反映旋轉的整體效果,可稱為「整體排列奇偶性」,適合用來討論「普通魔方」的問題。但在討論「超級魔方」的某些問題時,我們需要細致地考慮各種旋轉對各部件軌道的效果,為此我們引入「部件軌道排列奇偶性」的概念。在展開討論前,須先說明以下我們將把「奇數階超級魔方」中的「正中夾心層」旋轉(即Fm、Rm等旋轉,其中2m + 1為魔方的階)剔除於討論之外,因為這樣可以簡化以下的討論,而且這種旋轉完全可以化約為其他旋轉的複合。以「五階超級魔方」為例,「正中夾心層」旋轉Fm便可以化約為F−1F1−1F3−1B(註3)。

此外,我們還要把「非正中中心塊」分為三個小類。為讓讀者容易明白,以下討論會以下圖中的「七階超級魔方」作為示例(下圖右方顯示「七階超級魔方」各個軌道的「特徵數列」):

第一小類「非正中中心塊」的「特徵數列」具有(i, i, n − 1 − i, n − 1 − i)(其中1 ≤ i ≤ floor((n − 2) / 2))的形式,它們分佈於「超級魔方」每個面內部正方形的四個角上,以下稱為「四角中心塊」。例如在下圖中,用黃色方框和綠色方框圍著的「非正中中心塊」便分佈於紅色面上兩個內部正方形的四個角上,它們就是「四角中心塊」。請注意在「超級魔方」每個面的每個「非正中夾心層」上,「四角中心塊」總是成對出現而且屬於同一軌道。例如在下圖中,「A.05」和「B.05」中心塊便成對出現於最右端的縱向「非正中夾心層」上,「A.05」和「D.05」中心塊也成對出現於最頂端的橫向「非正中夾心層」上,如此等等。

第二小類「非正中中心塊」只出現於「奇數階超級魔方」中,它們的「特徵數列」具有(i, m, n − 1 − i, m)(其中m = floor((n − 2) / 2) + 1; 1 ≤ i ≤ floor((n − 2) / 2))的形式,它們分佈於「超級魔方」每個面內部的正中十字上,以下稱為「十字中心塊」。例如在下圖中,用黃色方框和綠色方框圍著的「非正中中心塊」便分佈於紅色面內部的正中十字上,它們就是「十字中心塊」。請注意在「超級魔方」每個面的每個「非正中夾心層」上,「十字中心塊」總是單獨出現。例如在下圖中,「A.11」中心塊便單獨出現於最右端的縱向「非正中夾心層」上,「D.11」中心塊也單獨出現於最頂端的橫向「非正中夾心層」上,如此等等。

第三小類「非正中中心塊」包括不屬「四角中心塊」和「十字中心塊」的「非正中中心塊」,以下稱為「配對中心塊」。它們只出現於六階或以上的「超級魔方」,而且隨著階數增加,會逐漸佔去魔方部件中的絕大部分。「配對中心塊」的特點是兩兩軌道配對(具體地說,若某「配對中心塊」的「特徵數列」具有(a, b, c, d)的形式,則與之配對的「配對中心塊」的「特徵數列」具有(a, d, c, b)的形式),而且在每一「非正中夾心層」上,配成一對的軌道要麼同時不出現,要麼各有一個成員出現於該夾心層的對稱位置上。例如在下圖中,用黃色方框和綠色方框圍著的「非正中中心塊」便是「配對中心塊」,它們分屬「04」和「08」軌道,而且這兩個軌道配對。請注意「A.08」與「B.04」中心塊同現於最右端的縱向「非正中夾心層」的對稱位置上,「A.04」與「D.08」中心塊也同現於最頂端的橫向「非正中夾心層」的對稱位置上,如此等等。

接下來討論外表面旋轉對「超級魔方」各個部件軌道的影響,以下僅討論「奇數階超級魔方」的情況,「偶數階超級魔方」的情況留待以後再介紹。首先考慮角塊,「超級魔方」的8個角塊全屬同一個軌道。在(1)中,以下包含4個元素的括弧代表F對角塊的影響:

(fru1, frd2, fld1, flu2)     (3)

由於任何包含4個元素的括弧均可以改寫成3個「對換」的乘積,可以推知任何90°外表面旋轉對角塊軌道而言都是奇排列。

其次考慮邊塊,「超級魔方」的邊塊可以分為「非正中邊塊」和「正中邊塊」兩大類。每條邊上成對出現於對稱位置的「非正中邊塊」屬於同一個軌道。例如在上圖中,「02-06」軌道和「01-09」軌道便是兩個不同的「非正中邊塊」軌道(註4)。每條邊上單獨出現於正中位置的「正中邊塊」則自成一個軌道。例如在上圖中,「12」軌道便是「正中邊塊」軌道。在(1)中,以下連乘積代表F對邊塊的影響:

Π1 ≤ j ≤ n-2(frj0, fdj0, flj'0, fuj'0)     (4)

在上式中,代表每一「非正中邊塊」軌道的括弧總是成對出現,每一對這樣的括弧都可改寫成6個「對換」的乘積;而代表「正中邊塊」軌道的括弧則單獨出現,這個括弧可改寫成3個「對換」的乘積。由此可以推知任何90°外表面旋轉對各個「非正中邊塊」軌道而言都是偶排列,對「正中邊塊」軌道而言則是奇排列。

接著考慮「非正中中心塊」。在(1)中,以下連乘積代表F對「非正中中心塊」的影響:

Π1 ≤ j ≤ floor((n-2)/2)Πj ≤ k ≤ j'-1(fjk, fk'j, fj'k', fkj')     (5)

上式包含((n − 2)2 − 1) / 4個括弧,每一個括弧各代表一個「非正中中心塊」軌道。由於上式中的每一個括弧均可改寫成3個「對換」的乘積,可以推知任何90°外表面旋轉對各個「非正中中心塊」軌道而言都是奇排列。

接下來討論「非正中夾心層」旋轉對「超級魔方」各個部件軌道的影響。首先考慮角塊和「正中邊塊」,由於「非正中夾心層」旋轉根本不會觸及角塊和「正中邊塊」,任何「非正中夾心層」旋轉對角塊和「正中邊塊」軌道都沒有影響。其次考慮「非正中邊塊」,「超級魔方」的每個「非正中夾心層」上的4個「非正中邊塊」都屬於同一個軌道,所以每個「非正中夾心層」旋轉只會影響一個「非正中邊塊」軌道。在(2)中,以下括弧代表Fi對相關夾心層上「非正中邊塊」(以下把某一夾心層旋轉所在的夾心層稱為該夾心層旋轉的「相關夾心層」)的影響:

(rui1, rdi1, ldi1, lui1)     (6)

由於上式可以改寫成3個「對換」的乘積,可以推知任何90°「非正中夾心層」旋轉對相關夾心層上的「非正中邊塊」軌道而言都是奇排列,對其他「非正中邊塊」軌道則沒有影響。

最後考慮「非正中中心塊」,「n階超級魔方」的每個「非正中夾心層」上均有8個「四角中心塊」,它們屬於同一個軌道;其餘4(n − 4)個「非正中中心塊」則分屬n − 4個「十字中心塊」或「配對中心塊」軌道。在(2)中,以下連乘積代表Fi對相關夾心層上「非正中中心塊」的影響:

Π1 ≤ j ≤ n-2(rij, dij, lj'i, uj'i)     (7)

上式包含n − 2個括弧,其中2個括弧屬於相關夾心層上的「四角中心塊」軌道,其餘n − 4個括弧則分屬相關夾心層上的「十字中心塊」或「配對中心塊」軌道。因此Fi對相關夾心層上「四角中心塊」軌道的影響可表示為6個「對換」的乘積,對相關夾心層上「十字中心塊」和「配對中心塊」軌道的影響則可表示為3個「對換」的乘積。由此可以推知,任何90°「非正中夾心層」旋轉對相關夾心層上的「四角中心塊」軌道而言都是偶排列,對相關夾心層上的「十字中心塊」和「配對中心塊」軌道而言都是奇排列,對其他夾心層上的「非正中中心塊」軌道則沒有影響。

現把上述分析結果總結成下表:

表7
部件部件軌道排列奇偶性
90°外表面旋轉90°「非正中夾心層」旋轉
角塊
奇排列
正中邊塊
奇排列
非正中邊塊
偶排列
奇排列
(僅指相關夾心層上的非正中邊塊)
四角中心塊
奇排列
偶排列
(僅指相關夾心層上的四角中心塊)
十字中心塊
奇排列
奇排列
(僅指相關夾心層上的十字中心塊)
配對中心塊
奇排列
奇排列
(僅指相關夾心層上的配對中心塊)

正中中心塊的旋轉總和奇偶性

根據表6,在還原「超級魔方」時,只有「正中中心塊」小面上符號的方向,我們才需理會。為此,我們需要引入「正中中心塊」方向的定義。可是,對於一個已擰亂的「超級魔方」來說,如何確定其六個「正中中心塊」有否偏離原來方向?這裡我們可以利用「正中中心塊」的特性,就是無論如何扭動「超級魔方」,六個「正中中心塊」的相對位置保持不變。給定一個已擰亂的「超級魔方」,將其任意置於某個座向;再取一個處於初始狀態的「超級魔方」,將其整個轉動,使其座向與上述已擰亂「超級魔方」的座向一致。只要比較這兩個「超級魔方」,便可看到已擰亂「超級魔方」的六個「正中中心塊」上的符號有否偏離原來的方向。現以下圖為例說明上述方法。

     

上面左圖顯示一個已擰亂的「五階超級魔方」,右圖則顯示處於初始狀態的「五階超級魔方」,並且其座向與左圖一致(即都以紅色「正中中心塊」向前,藍色「正中中心塊」朝上,黃色「正中中心塊」向右)。與右圖比較,可以看到在左圖的魔方中,「A.00」中心塊順時針旋轉了90°,「E.00」中心塊逆時針旋轉了90°,「I.00」中心塊則順時針旋轉了180°。現在如果把沒有旋轉、順時針旋轉90°、順時針旋轉180°和逆時針旋轉90°分別記作0、1、2和3,那麼「超級魔方」每個面的「正中中心塊」的旋轉情況便可以用這四個數字中的一個來代表,可稱為這個面的「旋轉數字」。以上圖為例,右圖中處於初始狀態的「超級魔方」每個面的「旋轉數字」顯然都是0;在左圖中,前面、上面和右面的「旋轉數字」則分別是1、3和2。

有時我們要討論「超級魔方」旋轉的次數,此一次數可用「旋轉數字」的倍數來反映。惟請注意,由於旋轉90°(不論順時針還是逆時針)四次等同於沒有旋轉,上述倍數應理解為模4算術下的倍數。舉例說,在模4算術下,3 ×4 3 = 1,此一結果正可解讀為逆時針旋轉90°三次等同於順時針旋轉90°一次。

此外我們還要引入另一個概念,即「超級魔方」六個面「旋轉數字」的總和(以下稱為「旋轉總和」)的奇偶性。以下讀者會看到「旋轉總和」的奇偶性是比「旋轉數字」更重要的概念。仍以上圖為例,上面右圖處於初始態的「超級魔方」的「旋轉總和」顯然是偶數;至於左圖,如果假設其餘三個看不到的面的「旋轉數字」均為0,則該圖六個面的「旋轉總和」(即1 + 3 + 2 = 6)是偶數。

接下來讓我們看看各類旋轉對「旋轉總和」奇偶性的影響。首先考慮外表面旋轉。容易看到,進行任何90°外表面旋轉,會令相應「正中中心塊」的「旋轉數字」加1,因而令「旋轉總和」改變奇偶性。接著考慮「非正中夾心層」旋轉。容易看到,任何「非正中夾心層」旋轉均不會觸動任何「正中中心塊」,因此不會影響任何「旋轉數字」,因而也不會影響「旋轉總和」的奇偶性。我們把上述結果總結為以下定理:

定理16就「超級魔方」而言,任何「非正中夾心層」旋轉均不會改變「旋轉總和」的奇偶性;每個90°外表面旋轉都會令「旋轉總和」改變奇偶性。


註1:以下「超級魔方」的圖片均取自Fun with Rubik's Cube網站。

註2:由於我們可以把已搞定的中心區整體看成一個「正中中心塊」,以下有關「正中中心塊」的討論也適用於已搞定的中心區。請注意「中心區」的概念適用於所有高階(包括奇數階和偶數階)魔方。

註3:這樣做實際等於把魔方限定於某一「標準座向」之下,例如規定紅色「正中中心塊」永遠向前,藍色「正中中心塊」永遠朝上。請注意這樣做只是為了簡化討論,並非鼓勵讀者不要使用「正中夾心層」旋轉。

註4:以下把由「xx」和「yy」小面組成的邊塊軌道稱為「xx-yy」邊塊軌道。



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