本章介紹4 × 4 × 4魔方(又稱「四階魔方」或「復仇立方體」Revenge Cube)的還原攻略。下圖以4 × 4 × 4魔方的紅色面展示這種魔方4個小面軌道的名稱及其「特徵數列」：
請注意「01」和「04」雖然是兩個不同的小面軌道，但由於每個「01」小面都與一個「04」小面組成邊塊，所以所有「01-04」邊塊(亦即所有邊塊)組成一個邊塊軌道。此外，每個「02」小面也與另外兩個「02」小面組成角塊，所以所有角塊組成一個角塊軌道。
4 × 4 × 4魔方的還原攻略基本上沿用上一章介紹的5 × 5 × 5魔方還原攻略。大致而言，由於4 × 4 × 4魔方所含部件少於5 × 5 × 5魔方，其還原攻略的第I至IV步也較5 × 5 × 5魔方的簡單。不過，由於4 × 4 × 4魔方是「偶數階魔方」，在進行還原攻略的第V步時，它又有一些5 × 5 × 5魔方沒有的特殊情況。
筆者在上一章介紹了用於這一步的兩種技巧－「先入後避法」和「先避後入法」，這兩種技巧同樣適用於4 × 4 × 4魔方。此外，由於4 × 4 × 4魔方沒有「居中行」和「非居中行」之分，在處理每個面時我們可以先行處理該面的任一「中心行」。不過，由於4 × 4 × 4魔方沒有「正中中心塊」以識別各個面的顏色，在進行第I步時我們多了一個要注意的事項，那就是各個面的相對顏色分佈。舉例說，如果確定了以紅色面為前面，那麼其右面和左面便分別是黃色面和白色面。如果開始時搞錯了各個「中心區」的顏色，稍後便要把這些「中心區」的顏色重新排佈，從而帶來一些麻煩。
筆者在上一章介紹了用於這一步的「有借有償法」，此法當然也適用於4 × 4 × 4魔方。不過，由於4 × 4 × 4魔方的每個「中心區」只有4個中心塊，只要能把其餘兩個面上未搞定的中心塊排成一行(直行或橫行均可)，便可完全不用「有借有償法」。舉例說，如果4 × 4 × 4魔方的最後兩個「中心區」如下圖所示：
我們固然可以使用「有借有償法」，但更簡單的方法其實是先對上述魔方進行D1RD1−1，使紅色和黃色中心塊各排成兩行，如下圖所示：
接著只要繼續沿用「先避後入法」，即對上述魔方進行D1R2D1−1，便可把最後兩個「中心區」搞定。
在這一步，只要沿用上一章介紹的「先入後避法」和把整個「邊區」翻轉的技巧，便可順利搞定首10條邊的「邊區」。
在這一步，我們要適當採用以下四條公式(其中x可以取1或2為值，x' = 3 − x)：
| 單邊換位公式： | Lx−1 U2 Lx−1 U2 F2 Lx−1 F2 Rx U2 Rx−1 U2 Lx2 = (fux1, bux1)(ux*, ux'*) | (1) |
|---|---|---|
| 雙邊換位公式： | F2 Lx−1 F B−1 R2 F−1 B Rx Lx F B−1 R2 F−1 B Rx−1 F2 = (fux1, bux1)(fux'1, bux'1) | (2) |
| 單邊翻轉公式： | Rx2 B2 U2 Lx U2 Rx−1 U2 Rx U2 F2 Rx F2 Lx−1 B2 Rx2 = (fux1, fux'1)(ux*, ux'*) | (3) |
| 雙邊翻轉公式： | U−1 F R−1 U F−1 Rx−1 Lx F U−1 R F−1 U Rx Lx−1 = (fux1, fux'1)(bux1, bux'1) | (4) |
請注意由於4 × 4 × 4魔方沒有「正中邊塊」，所以這種魔方沒有「中邊翻轉公式」可供應用。另請注意，由於4 × 4 × 4魔方滿足以下定理：
| 定理16： | 對一個處於初始狀態的「n階魔方」任意扭動(包括外表面及夾心層旋轉)後，若某組(共n − 2個)同類邊塊全部齊集於某條邊上，則這些邊塊必然全都處於對稱狀態。 |
上述四條公式必能滿足我們的需要，正如5 × 5 × 5魔方的情況一樣。
這一步的總體原則是把4 × 4 × 4魔方的「中心區」和「邊區」分別當作3 × 3 × 3魔方的中心塊和邊塊處理，並按照以前介紹過的3 × 3 × 3魔方還原攻略進行。大致而言，我們可以把3 × 3 × 3魔方還原攻略中的第一至三步應用於4 × 4 × 4魔方而沒有任何改變，這三步的目標是：
但對於其餘的步驟，則存在一些複雜情況，以下詳細介紹。
筆者在《群論與魔方：高階魔方的性質與公式》中曾指出，「高階魔方」滿足以下定理：
| 定理13： | 對一個處於初始狀態的魔方任意扭動(包括外表面及夾心層旋轉)後，各個角塊的「扭轉數總和」在「模3加法」下等於0，屬於同一個軌道的各個邊塊的「翻轉數總和」在「模2加法」下等於0。 |
把上述定理應用於5 × 5 × 5魔方，我們可以推斷出對這種魔方而言，在進行第四步前，魔方的上面只可能出現零個、兩個或全部四個「邊區」朝向正確方向的情況，不可能出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的情況，因為這後兩種情況違反「定理13」。
可是，對4 × 4 × 4魔方而言，情況卻不是這樣，在進行第四步前，這種魔方的上面的確可能出現下圖所示的兩種情況，即一個或三個「邊區」朝向正確方向(註1)：
這是因為在上圖所示的兩種情況下，「01-04」邊塊的「軌道翻轉數總和」等於6或2，這兩個數字在「模2加法」下都等於0，沒有違反「定理13」，因此這兩種情況是可能出現的(註2)。若出現上圖所示的情況，單靠運用以下公式(即《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(下)》中的公式(10))，魔方的上面只會繼續出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的「困局」(請讀者自行驗證這一點)：
但我們可以借助上面的「單邊翻轉公式」(3)以擺脫上述「困局」。具體地說，若出現上圖右面的情況(即有三個「邊區」朝向正確方向)，那麼只要運用(3)一次，把沒有朝向正確方向的那兩個邊塊翻轉過來，即可完成本步驟。若出現上圖左面的情況(即只有一個「邊區」朝向正確方向)，那麼我們可以隨意運用(3)一次，這樣做的結果是使魔方的上面出現零個或兩個「邊區」朝向正確方向的情況。接下來只要沿用3 × 3 × 3魔方還原攻略第四步的相同方法，即進行(5)一至三次，便可完成本步驟。
對「高階魔方」而言，這一步沒有甚麼特別，只要沿用3 × 3 × 3魔方還原攻略第五步的相同方法，便可順利完成本步驟。
在開始時，如果魔方上面的四個角塊均已歸位，便可跳過這一步；否則魔方的上面有四種可能情況：(i)只有一個角塊已歸位；(ii)只有兩個角塊已歸位，並且該兩個角塊在上面連成一條豎線或橫線；(iii)只有兩個角塊已歸位，並且該兩個角塊位於上面某條對角線上；(iv)沒有一個角塊歸位。請注意「奇數階魔方」不可能出現上述情況(ii)及(iii)，這是因為這兩種情況等於把兩個角塊對調位置，而對調兩個角塊等於進行一次對換，屬於奇排列，違反以下定理：
定理15：對「奇數階魔方」進行任意外表面旋轉及夾心層旋轉的複合結果都是偶排列。
因此在還原3 × 3 × 3魔方和5 × 5 × 5魔方的過程中，當進行第六步時，我們只須考慮上述(i)和(iv)這兩種情況。可是，由於上述定理對4 × 4 × 4魔方不成立，對這種魔方而言，除了情況(i)和(iv)外，還要考慮情況(ii)及(iii)。以下讓我們看看如何對4 × 4 × 4魔方處理情況(i)至(iv)。
在情況(i)下，我們可以轉動整個魔方，使已歸位的角塊位於「fru」位置，接著進行以下操作(即《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(下)》中的公式(14))一至兩次，直至其餘三個角塊均已歸位為止：
在情況(ii)下，我們可以轉動整個魔方，使已歸位的兩個角塊分別位於「fru」和「bru」位置，接著先後運用「雙邊換位公式」(2)和「雙邊翻轉公式」(4)，這樣做會重新打亂上面本已歸位的四個「邊區」，所以接下來要重做第五步，使上面的四個「邊區」歸位。重做第五步後，我們便會發現魔方的上面出現只有一個角塊歸位的情況，即化約為情況(i)，這樣只要繼續照上述情況(i)的辦法處理便可完成這一步。
在情況(iii)下，我們可以轉動整個魔方，使其中一個已歸位的角塊位於「fru」位置，進行(6)一次後，便會發覺魔方的上面變成有兩個角塊已歸位，並且該兩個角塊在上面連成一條豎線或橫線，即化約為情況(ii)，這樣只要繼續照上述情況(ii)的辦法處理便可完成這一步。
在情況(iv)下，我們可以任何一面為前面並進行(6)一次至兩次，這樣便可把魔方化約為上述的情況(i)、(ii)或(iii)，或甚至使上面的四個角塊歸位；接著便可照上述情況(i)、(ii)或(iii)的辦法處理，或者繼續進行第七步。
在上述各段中，情況(i)的處理方法是3 × 3 × 3魔方還原攻略第六步的慣常方法，沒有甚麼特別之處；情況(iii)和(iv)的處理方法則是把該兩種情況化約為其他情況，讀者可自行驗證這裡所介紹的方法確能起化約的作用；這裡只有情況(ii)的處理方法較為特別，以下解釋其原理。
在情況(ii)下，只有兩個角塊已歸位，並且該兩個角塊連成一條豎線或橫線，不妨假設這兩個角塊是「紅藍黃」和「紅藍白」角塊，我們用以下的「俯視圖」來代表這個情況：
在上圖中，藍色字和紅色字分別代表上面四個角塊和四個「邊區」。請注意只對上圖不斷進行(6)，不能使上圖的角塊正確歸位。現在如果轉動整個魔方，使「紅藍白」和「紅藍黃」角塊分別位於「fru」和「bru」位置，並先後運用「雙邊換位公式」(2)和「雙邊翻轉公式」(4)，這樣做等同於把上圖中的「白藍」和「黃藍」邊區對調位置，其結果如以下「俯視圖」所示：
由於魔方上面的四個「邊區」被重新打亂，接下來要重做第五步。在這一步我們首先以紅色面向前，並進行以下操作(即《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(下)》中的公式(12))一次：
根據上式的「循環式」，進行(7)一次後，魔方上面「邊區」和角塊的位置將變成如以下「俯視圖」所示的情況：
接著以白色面向前，再進行(7)一次，其結果如以下「俯視圖」所示：
接著進行U，其結果如以下「俯視圖」所示：
如上圖所示，經上述各步驟後，魔方上面的四個「邊區」已重新歸位，並且出現只有一個角塊(即「橙藍黃」角塊)歸位的情況，即我們已成功把情況(ii)化約為情況(i)，所以接下來只需繼續執行情況(i)的處理方法，便可完成第六步(註3)。
對「高階魔方」而言，這一步沒有甚麼特別，只要沿用3 × 3 × 3魔方還原攻略第七步的相同方法，便可順利完成本步驟。
註1：請注意雖然2 × 2 × 2魔方也是「偶數階魔方」，但由於2 × 2 × 2魔方沒有邊塊，所以不會出現這種情況。事實上，對於2 × 2 × 2魔方，我們根本無需進行第四步。
