群論與魔方:四階魔方及其還原攻略


本章介紹4 × 4 × 4魔方(又稱「四階魔方」或「復仇立方體」Revenge Cube)的還原攻略。下圖以4 × 4 × 4魔方的紅色面展示這種魔方4個小面軌道的名稱及其「特徵數列」:

請注意「01」和「04」雖然是兩個不同的小面軌道,但由於每個「01」小面都與一個「04」小面組成邊塊,所以所有「01-04」邊塊(亦即所有邊塊)組成一個邊塊軌道。此外,每個「02」小面也與另外兩個「02」小面組成角塊,所以所有角塊組成一個角塊軌道。

4 × 4 × 4魔方的還原攻略基本上沿用上一章介紹的5 × 5 × 5魔方還原攻略。大致而言,由於4 × 4 × 4魔方所含部件少於5 × 5 × 5魔方,其還原攻略的第I至IV步也較5 × 5 × 5魔方的簡單。不過,由於4 × 4 × 4魔方是「偶數階魔方」,在進行還原攻略的第V步時,它又有一些5 × 5 × 5魔方沒有的特殊情況。

第I步:搞定首四個面的中心區

筆者在上一章介紹了用於這一步的兩種技巧-「先入後避法」和「先避後入法」,這兩種技巧同樣適用於4 × 4 × 4魔方。此外,由於4 × 4 × 4魔方沒有「居中行」和「非居中行」之分,在處理每個面時我們可以先行處理該面的任一「中心行」。不過,由於4 × 4 × 4魔方沒有「正中中心塊」以識別各個面的顏色,在進行第I步時我們多了一個要注意的事項,那就是各個面的相對顏色分佈。舉例說,如果確定了以紅色面為前面,那麼其右面和左面便分別是黃色面和白色面。如果開始時搞錯了各個「中心區」的顏色,稍後便要把這些「中心區」的顏色重新排佈,從而帶來一些麻煩。

第II步:搞定其餘兩個面的中心區

筆者在上一章介紹了用於這一步的「有借有償法」,此法當然也適用於4 × 4 × 4魔方。不過,由於4 × 4 × 4魔方的每個「中心區」只有4個中心塊,只要能把其餘兩個面上未搞定的中心塊排成一行(直行或橫行均可),便可完全不用「有借有償法」。舉例說,如果4 × 4 × 4魔方的最後兩個「中心區」如下圖所示:

我們固然可以使用「有借有償法」,但更簡單的方法其實是先對上述魔方進行D1RD1−1,使紅色和黃色中心塊各排成兩行,如下圖所示:

接著只要繼續沿用「先避後入法」,即對上述魔方進行D1R2D1−1,便可把最後兩個「中心區」搞定。

第III步:搞定首10條邊的邊區

在這一步,只要沿用上一章介紹的「先入後避法」和把整個「邊區」翻轉的技巧,便可順利搞定首10條邊的「邊區」。

第IV步:搞定其餘兩條邊的邊區

在這一步,我們要適當採用以下四條公式(其中x可以取1或2為值,x' = 3 − x):

單邊換位公式:Lx−1 U2 Lx−1 U2 F2 Lx−1 F2 Rx U2 Rx−1 U2 Lx2 = (fux1, bux1)(ux*, ux'*)(1)
雙邊換位公式:F2 Lx−1 F B−1 R2 F−1 B Rx Lx F B−1 R2 F−1 B Rx−1 F2 = (fux1, bux1)(fux'1, bux'1)(2)
單邊翻轉公式:Rx2 B2 U2 Lx U2 Rx−1 U2 Rx U2 F2 Rx F2 Lx−1 B2 Rx2 = (fux1, fux'1)(ux*, ux'*)(3)
雙邊翻轉公式:U−1 F R−1 U F−1 Rx−1 Lx F U−1 R F−1 U Rx Lx−1 = (fux1, fux'1)(bux1, bux'1)(4)

請注意由於4 × 4 × 4魔方沒有「正中邊塊」,所以這種魔方沒有「中邊翻轉公式」可供應用。另請注意,由於4 × 4 × 4魔方滿足以下定理:

定理16對一個處於初始狀態的「n階魔方」任意扭動(包括外表面及夾心層旋轉)後,若某組(共n − 2個)同類邊塊全部齊集於某條邊上,則這些邊塊必然全都處於對稱狀態。

上述四條公式必能滿足我們的需要,正如5 × 5 × 5魔方的情況一樣。

第V步:使各個角塊和邊區歸位並朝向正確方向

這一步的總體原則是把4 × 4 × 4魔方的「中心區」和「邊區」分別當作3 × 3 × 3魔方的中心塊和邊塊處理,並按照以前介紹過的3 × 3 × 3魔方還原攻略進行。大致而言,我們可以把3 × 3 × 3魔方還原攻略中的第一至三步應用於4 × 4 × 4魔方而沒有任何改變,這三步的目標是:

第一步:搞定下面的四個邊區
第二步:搞定下面的四個角塊
第三步:搞定夾心層的四個邊區

但對於其餘的步驟,則存在一些複雜情況,以下詳細介紹。

第四步:使上面的四個邊區正常

筆者在《群論與魔方:高階魔方的性質與公式》中曾指出,「高階魔方」滿足以下定理:

定理13對一個處於初始狀態的魔方任意扭動(包括外表面及夾心層旋轉)後,各個角塊的「扭轉數總和」在「模3加法」下等於0,屬於同一個軌道的各個邊塊的「翻轉數總和」在「模2加法」下等於0。

把上述定理應用於5 × 5 × 5魔方,我們可以推斷出對這種魔方而言,在進行第四步前,魔方的上面只可能出現零個、兩個或全部四個「邊區」朝向正確方向的情況,不可能出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的情況,因為這後兩種情況違反「定理13」。

可是,對4 × 4 × 4魔方而言,情況卻不是這樣,在進行第四步前,這種魔方的上面的確可能出現下圖所示的兩種情況,即一個或三個「邊區」朝向正確方向(註1):

這是因為在上圖所示的兩種情況下,「01-04」邊塊的「軌道翻轉數總和」等於6或2,這兩個數字在「模2加法」下都等於0,沒有違反「定理13」,因此這兩種情況是可能出現的(註2)。若出現上圖所示的情況,單靠運用以下公式(即《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(下)》中的公式(10)),魔方的上面只會繼續出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的「困局」(請讀者自行驗證這一點):

FRUR−1U−1F−1 = (fru1, flu0)(bru2, blu0)(fu1, ru1, bu0)     (5)

但我們可以借助上面的「單邊翻轉公式」(3)以擺脫上述「困局」。具體地說,若出現上圖右面的情況(即有三個「邊區」朝向正確方向),那麼只要運用(3)一次,把沒有朝向正確方向的那兩個邊塊翻轉過來,即可完成本步驟。若出現上圖左面的情況(即只有一個「邊區」朝向正確方向),那麼我們可以隨意運用(3)一次,這樣做的結果是使魔方的上面出現零個或兩個「邊區」朝向正確方向的情況。接下來只要沿用3 × 3 × 3魔方還原攻略第四步的相同方法,即進行(5)一至三次,便可完成本步驟。

第五步:使上面的四個邊區歸位

對「高階魔方」而言,這一步沒有甚麼特別,只要沿用3 × 3 × 3魔方還原攻略第五步的相同方法,便可順利完成本步驟。

第六步:使上面的四個角塊歸位

在開始時,如果魔方上面的四個角塊均已歸位,便可跳過這一步;否則魔方的上面有四種可能情況:(i)只有一個角塊已歸位;(ii)只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊在上面連成一條豎線或橫線;(iii)只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊位於上面某條對角線上;(iv)沒有一個角塊歸位。請注意「奇數階魔方」不可能出現上述情況(ii)及(iii),這是因為這兩種情況等於把兩個角塊對調位置,而對調兩個角塊等於進行一次對換,屬於奇排列,違反以下定理:

定理15:對「奇數階魔方」進行任意外表面旋轉及夾心層旋轉的複合結果都是偶排列。

因此在還原3 × 3 × 3魔方和5 × 5 × 5魔方的過程中,當進行第六步時,我們只須考慮上述(i)和(iv)這兩種情況。可是,由於上述定理對4 × 4 × 4魔方不成立,對這種魔方而言,除了情況(i)和(iv)外,還要考慮情況(ii)及(iii)。以下讓我們看看如何對4 × 4 × 4魔方處理情況(i)至(iv)。

在情況(i)下,我們可以轉動整個魔方,使已歸位的角塊位於「fru」位置,接著進行以下操作(即《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(下)》中的公式(14))一至兩次,直至其餘三個角塊均已歸位為止:

URU−1L−1UR−1U−1L = (flu1, bru1, blu1)     (6)

在情況(ii)下,我們可以轉動整個魔方,使已歸位的兩個角塊分別位於「fru」和「bru」位置,接著先後運用「雙邊換位公式」(2)和「雙邊翻轉公式」(4),這樣做會重新打亂上面本已歸位的四個「邊區」,所以接下來要重做第五步,使上面的四個「邊區」歸位。重做第五步後,我們便會發現魔方的上面出現只有一個角塊歸位的情況,即化約為情況(i),這樣只要繼續照上述情況(i)的辦法處理便可完成這一步。

在情況(iii)下,我們可以轉動整個魔方,使其中一個已歸位的角塊位於「fru」位置,進行(6)一次後,便會發覺魔方的上面變成有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊在上面連成一條豎線或橫線,即化約為情況(ii),這樣只要繼續照上述情況(ii)的辦法處理便可完成這一步。

在情況(iv)下,我們可以任何一面為前面並進行(6)一次至兩次,這樣便可把魔方化約為上述的情況(i)、(ii)或(iii),或甚至使上面的四個角塊歸位;接著便可照上述情況(i)、(ii)或(iii)的辦法處理,或者繼續進行第七步。

在上述各段中,情況(i)的處理方法是3 × 3 × 3魔方還原攻略第六步的慣常方法,沒有甚麼特別之處;情況(iii)和(iv)的處理方法則是把該兩種情況化約為其他情況,讀者可自行驗證這裡所介紹的方法確能起化約的作用;這裡只有情況(ii)的處理方法較為特別,以下解釋其原理。

在情況(ii)下,只有兩個角塊已歸位,並且該兩個角塊連成一條豎線或橫線,不妨假設這兩個角塊是「紅藍黃」和「紅藍白」角塊,我們用以下的「俯視圖」來代表這個情況:

在上圖中,藍色字和紅色字分別代表上面四個角塊和四個「邊區」。請注意只對上圖不斷進行(6),不能使上圖的角塊正確歸位。現在如果轉動整個魔方,使「紅藍白」和「紅藍黃」角塊分別位於「fru」和「bru」位置,並先後運用「雙邊換位公式」(2)和「雙邊翻轉公式」(4),這樣做等同於把上圖中的「白藍」和「黃藍」邊區對調位置,其結果如以下「俯視圖」所示:

由於魔方上面的四個「邊區」被重新打亂,接下來要重做第五步。在這一步我們首先以紅色面向前,並進行以下操作(即《群論與魔方:Dan Knights攻略解析(下)》中的公式(12))一次:

RUR−1URU2R−1 = (fru1, blu1)(bru0, flu1)(ru0, bu0, lu0)     (7)

根據上式的「循環式」,進行(7)一次後,魔方上面「邊區」和角塊的位置將變成如以下「俯視圖」所示的情況:

接著以白色面向前,再進行(7)一次,其結果如以下「俯視圖」所示:

接著進行U,其結果如以下「俯視圖」所示:

如上圖所示,經上述各步驟後,魔方上面的四個「邊區」已重新歸位,並且出現只有一個角塊(即「橙藍黃」角塊)歸位的情況,即我們已成功把情況(ii)化約為情況(i),所以接下來只需繼續執行情況(i)的處理方法,便可完成第六步(註3)。

第七步:使上面的四個角塊正常

對「高階魔方」而言,這一步沒有甚麼特別,只要沿用3 × 3 × 3魔方還原攻略第七步的相同方法,便可順利完成本步驟。

註1:請注意雖然2 × 2 × 2魔方也是「偶數階魔方」,但由於2 × 2 × 2魔方沒有邊塊,所以不會出現這種情況。事實上,對於2 × 2 × 2魔方,我們根本無需進行第四步。

註2:如果出現零個、兩個或全部四個「邊區」朝向正確方向的情況,「01-04」邊塊的「軌道翻轉數總和」將等於8、4或0,這幾個數字在「模2加法」下都等於0,當然沒有違反「定理13」。

註3:把上面第一幅與最後一幅「俯視圖」比較一下,容易看到上面各個步驟的效果其實就是把魔方上面的四個角塊按順時針方向向前移動了一位(並且不影響四個「邊區」的位置)。請注意2 × 2 × 2魔方也會出現類似的情況,可是由於2 × 2 × 2魔方沒有邊塊,我們可以隨意轉動魔方的上面(例如進行U),便可輕易達到把魔方上面的四個角塊按順時針方向向前移動一位的效果。由此可見,4 × 4 × 4魔方作為一種含有邊塊的「偶數階魔方」,其還原攻略具有2 × 2 × 2魔方和3 × 3 × 3魔方所沒有的複雜性。



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