由本章開始，筆者將介紹如何運用前兩章有關「高階魔方」的基本知識來還原「高階魔方」，本章首先從5 × 5 × 5魔方(又稱「五階魔方」或「教授立方體」Professor Cube)說起。請注意雖然4 × 4 × 4魔方似乎比5 × 5 × 5魔方簡單，但由於4 × 4 × 4魔方是「偶數階魔方」，其還原過程有一些「奇數階魔方」所無的複雜情況，所以先介紹5 × 5 × 5魔方的還原攻略會較為方便。下圖以5 × 5 × 5魔方的紅色面展示這種魔方7個小面軌道的名稱及其「特徵數列」：
請注意「01」和「04」雖然是兩個不同的小面軌道，但由於每個「01」小面都與一個「04」小面組成邊塊，所以所有「01-04」邊塊組成一個邊塊軌道。此外，每個「06」小面也與另一個「06」小面組成邊塊，每個「02」小面也與另外兩個「02」小面組成角塊，所以所有「06-06」邊塊(即正中邊塊)組成一個邊塊軌道，所有角塊則組成一個角塊軌道。
以下介紹還原5 × 5 × 5魔方的五個步驟。為免與前面介紹過的3 × 3 × 3魔方還原攻略的七個步驟相混淆，本章(及此後各章)會用羅馬數字I、II、III等命名「高階魔方」還原攻略的各步驟。以下把每一個面上的9個中心塊看作一個區塊，稱為「中心區」，並把每一條邊上的3個邊塊也看作一個區塊，稱為「邊區」。
這一步的目標是使5 × 5 × 5魔方任意四個面上的所有中心塊歸位。為方便下一步的運作，這四個面的選擇最好能讓餘下的兩個面處於相鄰位置。這一步的要旨就是適當轉動魔方(包括外表面和夾心層旋轉)，逐一把與某個面「正中中心塊」同色的中心塊歸位。此一過程沒有公式可循，讀者必須自行領會，以下提供一些秘訣。
A. 進行第I步時應逐個面處理。在處理某個面時，應先處理「居中行」(即包含「正中中心塊」的中心行，縱行或橫行均可)，然後再處理其餘兩個「非居中行」。在處理「居中行」時，只須把應與「正中中心塊」相鄰的兩個小面依次歸位。在處理「非居中行」時，不要嘗試把屬於該行的三個中心塊逐一歸位，而應先把這三個中心塊逐一移到某個未搞定的面上，並使它們連成一行，然後再把這一整行歸位。下圖是此一秘訣的一個示例(註1)。在下圖中，前面(即紅色面)的「居中行」已搞定。此外，上面也已砌好一個紅色「非居中行」。接下來我們只需進行UL1便可把這整個「非居中行」歸位。
B. 進行第I步時我們要經常使用外表面旋轉和夾心層旋轉把中心塊移來移去，請注意夾心層旋轉可能會破壞另一個面上已搞定的「中心區」(外表面旋轉則沒有這個問題)。因此每次在使用夾心層旋轉移動中心塊後，都要檢查是否搞亂了任何已搞定的「中心區」。如是，我們便要設法恢復被搞亂的「中心區」。以下介紹一種「先入後避法」，這種方法是先把某中心塊移入它要歸位的面，接著移動該中心塊，讓它避開剛才歸位所經過的「通道」，然後再恢復被搞亂的「中心區」。以下用一個具體例子以作示範：
假設我們已如上圖所示搞定前面(即紅色面)和右面(即黃色面)的「中心區」，現在處理上面(即藍色面)。假設我們在後面找到一個藍色中心塊，並已轉到適當位置。接著我們用R1−1，這固然可以把該藍色中心塊從後面移到上面，但同時也把前面靠右的紅色「非居中行」移到下面，從而搞亂了前面的「中心區」，如下圖所示(在下圖中，黃色方框圍著的就是藍色中心塊移到上面須經過的「通道」)：
如要恢復前面的「中心區」，我們必須進行R1。但如果在上圖所示的情況下進行R1，我們勢必把剛移到上面來的藍色中心塊經黃框「通道」重新推回後面，打回原形。為了避免這種順得哥情失嫂意的情況，我們可以首先進行U，把剛移到上面來的藍色中心塊移離它原來靠右的位置，避開黃框「通道」，接著才進行R1，把被移到下面的紅色「非居中行」重新移回前面，如下圖所示：
請注意在上圖中，由於所有藍色中心塊都避開了黃框「通道」，所以在進行R1恢復前面的「中心區」時，藍色中心塊不會經黃框「通道」被推到後面。
C. 如前所述，有時我們要把一整個「非居中行」移入某個面中，但這種移入可能會破壞另一個面上已搞定的「中心區」。當出現這種情況時，我們可以使用一種「先避後入法」，這種方法的原理跟前面介紹的方法正好相反。以下用一個具體例子以作示範：
假設我們已如上圖所示搞定後面(即橙色面，在上圖看不到)和右面(即黃色面)的「中心區」，現在處理上面(即藍色面)。假設我們已在前面砌好一個藍色「非居中行」，並準備把該「非居中行」經上圖所示的黃框「通道」移到上面。請注意如果我們在上圖所示的情況下使用R1，固然可以把該藍色「非居中行」從前面移到上面，但也會同時把後面靠右的橙色「非居中行」移到下面，從而搞亂後面的「中心區」，而且我們無法沿用上面所介紹的「先入後避法」恢復後面的「中心區」。為避免這種順得哥情失嫂意的情況，我們可以先進行F2，讓上述藍色「非居中行」避開黃框「通道」。接著進行R1−1，把後面靠右的橙色「非居中行」移到上面，如下圖所示：
接著進行F2，把上述藍色「非居中行」重新移回靠右的位置。然後進行R1，使該藍色「非居中行」沿黃框「通道」移到上面歸位，並同時把靠右的橙色「非居中行」重新移回後面，從而恢復後面本已搞定的橙色「中心區」，如下圖所示：
這一步的目標是使魔方其餘兩個面上的所有中心塊歸位。請注意由於現時中心塊的活動範圍只有兩個面，我們已不能純粹沿用上一步的方法來處理最後兩個「中心區」。為此筆者介紹一種「有借有償法」，這種方法的特點是從同一個面上的另一行「借入」一個中心塊，並以另一個面上的中心塊「補償」給借出中心塊的那一行。以下以具體例子示範如何運用「有借有償法」。假設現在魔方餘下前面(即紅色面)和右面(即黃色面)的「中心區」尚未搞定，如下圖所示。為方便討論，筆者在下圖的某些小面上標註了一些識別符號。
在上圖中，被藍色方框圍著的那一行欠缺一個紅色小面，我們希望用一個紅色小面取代上圖中標有「+」號的黃色小面。要使用「有借有償法」，必須滿足兩個條件：(i)在把紅色面順時針或逆時針旋轉90°後「+」號小面到達的另一橫行上的位置(即標有「%」號或「&」號的位置)應有一個紅色小面。由於標有「%」號或「&」號的位置都有紅色小面，我們可以任選一個，假設我們選了「%」號小面，這個「%」號小面將會被「借出」；(ii)在黃色面上與「+」號小面對應的位置(即標有「#」號的位置)應有一個紅色小面(如沒有，則可轉動黃色面，直至對應位置出現紅色小面為止)，這個「#」號小面將作為「補償」之用。此外，上圖還包含一句口訣「順-逆-順」，用來提醒我們將要扭動黃色面的次序。「有借有償法」只有兩句口訣：要麼是「順-逆-順」，要麼是「逆-順-逆」。這個例子選擇前者是因為從「+」號小面移到「%」號小面，我們要順時針旋轉90°。接下來開始進行「有借有償法」。首先對紅色面進行U1−1，如下圖所示：
請注意經上述旋轉後，「+」號黃色小面被移到右面，而「#」號紅色小面則被移到後面。接著根據「順-逆-順」口訣，我們順時針旋轉黃色面90°，如下圖所示：
接著進行U2−1，這樣做的結果是，「居中行」把「%」號紅色小面「借」給了藍框行，現在藍框行不再缺少紅色小面了，而「+」號黃色小面則被移到後面，如下圖所示：
藍框行既已「借入」了「%」號小面，便要把它送回原位，因此接下來根據「順-逆-順」口訣，我們逆時針旋轉黃色面90°，如下圖所示：
接著進行U1，這樣做的結果是，不僅把藍框行送回原位，而且把剛才被送到後面的「#」號紅色小面送回來，剛好填補了「居中行」損失了的「%」號紅色小面的位置。這樣「居中行」雖然「借出」了「%」號紅色小面，但卻獲得「#」號紅色小面以作為「補償」，如下圖所示：
「居中行」既已完成它的任務，便要把它放回原位，所以接下來我們根據「順-逆-順」口訣，再次順時針旋轉黃色面90°，如下圖所示：
然後進行U2，這樣便把「居中行」放回原位(註2)，請注意「+」號黃色小面也重新返回右面，如下圖所示：
以下讓我們再看另一個例子，請看下圖：
在上圖中，藍框行欠缺兩個紅色小面，但我們只能逐個處理，因此假設我們先處理標有「+」號的黃色小面。首先檢查「有借有償法」的兩個使用條件：(i)在把紅色面順時針或逆時針旋轉90°後「+」號小面到達的另一橫行上的位置(即標有「&」號的位置)(註3)應有一個紅色小面，這個「&」號小面將會被「借出」；(ii)在黃色面上與「+」號小面對應的位置(即標有「#」號的位置)應有一個紅色小面，這個「#」號小面將作為「補償」之用。此外，上圖還包含一句口訣「逆-順-逆」，這次我們選擇這句口訣是因為從「+」號小面移到「&」號小面，我們要逆時針旋轉90°。接下來開始進行「有借有償法」。首先進行D1，並根據「逆-順-逆」口訣，我們逆時針旋轉黃色面90°，如下圖所示：
接著進行U1−1，這樣做的結果是，黃框行把「&」號紅色小面「借」給了藍框行，如下圖所示：
藍框行既已「借入」了「&」號小面，便要把它送回原位，因此接著根據「逆-順-逆」口訣，我們順時針旋轉黃色面90°，並進行D1−1。這樣做的結果是，把藍框行送回原位，而黃框行雖然「借出」了「&」號紅色小面，但卻獲得「#」號紅色小面以作為「補償」，如下圖所示：
黃框行既已完成它的任務，便要把它放回原位，所以接下來我們根據「逆-順-逆」口訣再次逆時針旋轉黃色面90°，並進行U1，這樣便把黃框行也送回原位，如下圖所示：
繼續運用上述「有借有償法」，必可搞定上圖中未歸位的紅色和黃色小面。
這一步的目標是使魔方的任意10條邊上出現同類邊塊，這裡「同類邊塊」是指小面顏色相同的邊塊。這一步的要旨與第I步很相似，也是適當轉動魔方，使同類邊塊聚在一條邊上。此一過程也沒有公式可循，以下提供一些秘訣。
A. 在轉動魔方的過程中，我們可能會把已搞定的「中心區」或「邊區」重新搞亂。為此，我們可以使用前述「先入後避法」的原理以作補救。以下用一個具體實例示範如何運用此方法：
假設如上圖所示，「fr」邊上已有兩個「綠紅」邊塊，並且我們在「fl」邊的適當位置上也已找到第三個「綠紅」邊塊。現在只要進行U2−1，便可把第三個「綠紅」邊塊沿著上圖中的黃框「通道」移到「fr」邊上，從而搞定由「綠紅」邊塊組成的「邊區」，如下圖所示：
可是這麼一來，我們便把本已搞定的前、後、右、左四個面上的「中心區」重新搞亂了。如要恢復這四個面的「中心區」，我們必須進行U2。但如果在上圖所示的情況下進行U2，我們勢必把剛移到「fr」邊來的「綠紅」邊塊經黃框「通道」重新推回「fl」邊去，打回原形。為了避免這種順得哥情失嫂意的情況，我們必須先以一個未搞定的「邊區」替換現時「fr」邊上已搞定的「綠紅邊區」，我們可以選擇「bu」邊上的「邊區」(請注意我們不可選擇「fu」邊上的「綠黃邊區」，因為這個「邊區」已搞定)。接下來，我們進行R，把已搞定的「綠紅邊區」移到上面，避開黃框「通道」，如下圖所示：
接著進行U和R−1，這樣便把本來位於「bu」邊上的未搞定「邊區」移到「fr」邊上，如下圖所示：
然後進行U2，這樣便恢復了被搞亂的四個「中心區」，而由於「綠紅邊區」此時已遠離黃框「通道」，所以不受影響，如下圖所示：
B. 在進行上述「先入後避法」的程序前，必須先確保魔方的上面有未搞定的「邊區」可供替換將要搞定的「邊區」，以下圖的情況為例：
在上圖中，上面的「fu」、「bu」、「ru」和「lu」邊的「邊區」已全部搞定，沒有一個可以用來替換將要搞定的「綠紅邊區」。因此我們不能在上圖所示的情況下進行「先入後避法」，必須先轉動魔方的後面或下面，讓至少一個未搞定的「邊區」出現於上面，才能開始進行「先入後避法」的程序。
C. 在進行「先入後避法」的程序前，必須先確保有關同類邊塊處於正確的位置和朝向正確的方向，以下面兩圖的情況為例：
在以上兩圖中，「fr」邊上已有兩個「綠紅」邊塊，並且在「fl」邊上也有第三個「綠紅」邊塊，但我們無法進行「先入後避法」，這是因為在上面左圖中，「fl」邊上的「綠紅」邊塊處於不正確的位置且朝向不正確的方向；而在上面右圖中，「fl」邊上的「綠紅」邊塊朝向不正確的方向。遇到上述問題，解決方法是把「fr」或「fl」邊上的整個「邊區」翻轉過來。筆者在《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(上)》曾介紹以下公式：
上述公式的作用是使「ru」邊塊翻轉且不影響上面的其他邊塊(但會影響某些角塊和其他面上的某些邊塊)。只要用「邊區」代替「邊塊」的概念，我們便可以用上述公式把整個「邊區」翻轉過來，方法是轉動整個魔方，使有待翻轉的「邊區」處於「ru」位置，接著應用上式便可。使用上述方法，我們便可把上面左、右兩圖中的情況變為：
經上述翻轉後，接著便可以進行「先入後避法」。
這一步的目標是使魔方其餘的同類邊塊各自聚集在其餘兩條邊上。經過第III步，現在只剩下兩組同類邊塊，分佈於兩條邊上。我們首先轉動魔方，使這兩條邊分別處於「fu」和「bu」這兩條邊上。接下來我們無法再用「先入後避法」去處理這最後兩條邊，但我們可以因應情況，使用上一章介紹的五條公式(其中x可以取1或3為值，x' = 4 − x)：
| 單邊換位公式： | Lx−1 U2 Lx−1 U2 F2 Lx−1 F2 Rx U2 Rx−1 U2 Lx2 = (fux1, bux1)(ux*, ux'*) | (2) |
|---|---|---|
| 雙邊換位公式： | F2 Lx−1 F B−1 R2 F−1 B Rx Lx F B−1 R2 F−1 B Rx−1 F2 = (fux1, bux1)(fux'1, bux'1) | (3) |
| 單邊翻轉公式： | Rx2 B2 U2 Lx U2 Rx−1 U2 Rx U2 F2 Rx F2 Lx−1 B2 Rx2 = (fux1, fux'1)(ux*, ux'*) | (4) |
| 雙邊翻轉公式： | U−1 F R−1 U F−1 Rx−1 Lx F U−1 R F−1 U Rx Lx−1 = (fux1, fux'1)(bux1, bux'1) | (5) |
| 中邊翻轉公式： | F U−1 R F2 R−1 U F−1 R U−1 F2−1 U R−1 = (fu21)(bu21) | (6) |
請注意在上述公式中，(2)和(4)這兩條公式會把「ux」和「ux'」中心行對調位置，但這不要緊，這是因為當我們進行第IV步時，應早已把魔方六個面的「中心區」全部搞定。把任何一個已搞定的「中心區」內的兩個「中心行」對調位置，不會搞亂這個「中心區」內各小面的顏色。另請注意，在上一章筆者證明了下列定理：
| 定理16： | 對一個處於初始狀態的「n階魔方」任意扭動(包括外表面及夾心層旋轉)後，若某組(共n − 2個)同類邊塊全部齊集於某條邊上，則這些邊塊必然全都處於對稱狀態。 |
把上述定理應用於5 × 5 × 5魔方，我們知道，當我們把所有同類邊塊齊集於一條邊後，只有兩種可能情況：要麼三個邊塊全部朝向相同的方向，要麼正中邊塊與分處兩邊的邊塊各自朝向相反的方向，因此上述五條公式必能滿足我們的需要。下圖展示(3)、(5)、(6)這三條公式的主要作用(請注意公式(2)和(4)能達成的作用是公式(3)和(5)的一半，例如公式(3)能對調兩對邊塊，公式(2)則只能對調一對邊塊)：
接下來讓我以具體例子示範如何運用上述公式：
如出現上圖的情況，一般人最直觀的想法是把兩個正中邊塊(即位於「fu2」和「bu2」位置的邊塊)對調位置，但可惜我們沒有這樣的公式。一個折衷的辦法就是把位處兩端的兩對邊塊對調位置(即把「fu1」和「bu1」邊塊對調位置，並把「fu3」和「bu3」邊塊也對調位置)，為此我們可以應用「雙邊換位公式」。使用此公式後，上圖的情況會變為：
在上圖中，所有「藍紅」和「藍橙」邊塊均已各自聚集在同一條邊上，但它們的方向不一致。因此接下來我們可以運用「雙邊翻轉公式」把「fu1」、「fu3」、「bu1」和「bu3」這四個邊塊翻轉過來，或者運用「中邊翻轉公式」把「fu2」和「bu2」這兩個邊塊翻轉過來。假設我們使用後一種方法，所得結果將會是：
至此「fu」和「bu」邊的「邊區」均已搞定。
進行第I至第IV步後，我們的魔方已跟3 × 3 × 3魔方很相似。請看下圖：
如果我們把5 × 5 × 5魔方的「中心區」和「邊區」看成分別對應於3 × 3 × 3魔方的中心塊和邊塊，那麼容易看到上面左右兩圖其實是一模一樣的。因此接下來只需依循筆者在《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(上)》和《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(下)》介紹的3 × 3 × 3魔方還原攻略的七個步驟，便可使各個角塊和邊區歸位並朝向正確方向，從而完成5 × 5 × 5魔方的還原程序。
筆者在上述網頁曾指出，3 × 3 × 3魔方的邊原攻略依賴於兩條定理：「定理2」和「定理3」。現在我們必須確定，5 × 5 × 5魔方也滿足類似的定理。事實上，筆者在上一章已證明了兩條相應的定理，現重述於下：
| 定理13： | 對一個處於初始狀態的魔方任意扭動(包括外表面及夾心層旋轉)後，各個角塊的「扭轉數總和」在「模3加法」下等於0，屬於同一個軌道的各個邊塊的「翻轉數總和」在「模2加法」下等於0。 |
定理15：對「奇數階魔方」進行任意外表面旋轉及夾心層旋轉的複合結果都是偶排列。
特別地，「定理13」可應用於第四步。回顧《群論與魔方：Dan Knights攻略解析(下)》網頁，筆者曾指出對3 × 3 × 3魔方而言，在進行第四步前，魔方的上面要麼出現四個邊塊均朝向正確方向的情況，要麼出現如下圖所示的其中一種情況，即零個或兩個邊塊朝向正確方向：
請注意3 × 3 × 3魔方不可能出現一個或三個邊塊朝向正確方向的情況，因為這兩種情況違反「定理2」。同樣，對5 × 5 × 5魔方而言，在進行第四步前，魔方的上面要麼出現四個「邊區」均朝向正確方向的情況，要麼出現如下圖所示的其中一種情況，即零個或兩個「邊區」朝向正確方向：
請注意5 × 5 × 5魔方不可能出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的情況，我們可以用「定理13」對此作出解釋。由於魔方的所有正中邊塊組成一個軌道，若出現一個或三個「邊區」朝向正確方向的情況，那麼正中邊塊的「軌道翻轉數總和」將等於3或1，這兩個數字在「模2加法」下都不等於0，違反「定理13」。反觀上圖，在上圖所示的三種情況下，正中邊塊的「軌道翻轉數總和」等於4或2，這兩個數字在「模2加法」下都等於0，並沒有違反「定理13」，因此上圖所示的三種情況是可能出現的。
總括而言，「定理13」和「定理15」保證了5 × 5 × 5魔方與3 × 3 × 3魔方具有某些相同性質，因此我們可以把3 × 3 × 3魔方的還原攻略套用於5 × 5 × 5魔方還原攻略的第V步。
