筆者在《廣義量詞系列：時間量化結構》中討論了把「廣義量詞」推廣應用於「時間論域」的問題，並介紹了各種「時間量化結構」。在本章，筆者將把「廣義量詞」推廣應用於「模態邏輯」(Modal Logic)的研究領域，並討論各種「模態量化結構」 (Modal Quantified Structure)。由於「模態邏輯」包含若干個分支理論－「真勢模態邏輯」、「認識模態邏輯」、「道義模態邏輯」(註1)，另外，「祈使邏輯」在某些方面也與「模態邏輯」有共通之處，本文將分節討論這些分支理論的量化結構。
「真勢模態邏輯」(Alethic Modal Logic)是「模態邏輯」中歷史最悠久的分支理論，早在Aristotle時期便已見端倪。「真勢模態邏輯」主要是研究兩個「模態詞」－「必然」和「可能」之間的推理關係。十分有趣的是，「必然」與「可能」之間存在著「謂詞邏輯」中的兩個量詞－「全稱量詞」與「存在量詞」之間的那種推理關係。舉例說，根據「謂詞邏輯」，「全稱量化句」與「存在量化句」存在以下關係：
因此之故，「全稱量詞」與「存在量詞」可以互相定義如下：
「必然模態句」和「可能模態句」也存在類似的關係：
「必然」與「可能」同樣可以互相定義如下：
「真勢模態邏輯」與「謂詞邏輯」這種驚人的相似性驅使哲學家尋求一種方法，把「模態詞」解釋成「量詞」。但「模態詞」究竟是對甚麼進行量化？哲學家兼數學家Leibniz提供了答案。他指出「模態詞」就是對「可能世界」(Possible World)的量化。所謂「可能世界」，就是指一種可能的情況或事態。世事存在各種可能性，每種可能性都構成一個「可能世界」，而真實情況－即「現實世界」(Actual World)只是眾多「可能世界」中的一種。利用「可能世界」的概念，Leibniz把「必然p」解釋成在所有「可能世界」中p都是真的，並把「可能p」解釋成在至少一個「可能世界」中p是真的。這樣便建立了「必然」與「全稱量詞」和「可能」與「存在量詞」的聯繫，從而把「模態詞」解釋成「可能世界論域」(Possible World Domain，以下用W表示)上的量詞，「真勢模態邏輯」與「謂詞邏輯」的相似性乃得以解釋。把「模態詞」解釋成「可能世界論域」上的量詞有其合理性。事實上，在日常語言中，我們有時的確會把「必然p」表達成「在所有情況下皆p」，這裡的「情況」其實就是「模態邏輯」所指的「可能世界」。
「真勢模態邏輯」通常使用符號□和◇分別代表「必然」和「可能」算子，但是由於這兩個算子可以被看成「可能世界論域」上的量詞，我們可以把它們跟量詞"every"和"some"聯繫起來，只要定義適當的「可能世界集合」便行了。為此，我們引入函項World(p)。請注意上述函項跟《廣義量詞系列：時間量化結構》中定義的函項Time(p)非常相似，只不過這個函項的輸出值不是「時段」，而是在「可能世界論域」W中使命題p為真的「可能世界」的集合。有了上述定義，我們便可得到以下等價關係：
請注意上式表現為「第一類泛化量化結構」(以「可能世界論域」W作為「三分結構」的第一論元)，這是因為「p必然真」和「p可能真」表達了一種「絕對模態」，即p的必然性是根據所有「可能世界」的情況而作出判斷的。
利用「可能世界」的概念，我們便可以把「無人稱動詞句」(例如漢語的「下雨」和英語的"It rained."等)分析成某種「量化結構」。從表面上看，「無人稱動詞句」既無量詞，又無主語，只包含一個謂語，似乎不涉及任何量化。現在，我們可以透過引入「現實世界」，把這類句子分析成「可能世界論域」上的「量化結構」。語句「下雨」的意思其實就是「『下雨』這個命題在現實世界中是真的」(註2)，因此「下雨」便可以表達為
在上式中，wACTUAL代表「現實世界」，它在「可能世界論域」中的作用類似一個「專有名詞」。由於「專有名詞」可以表達為含有 "every"的結構，上式又可以表達為以下「三分結構式」：
可是，上述的(1)和(2)兩式是十分粗疏的。在這兩式中，「可能世界論域」W的範圍漫無邊際，它可能包括那些與p不協調(Inconsistent)的「可能世界」，這樣就勢必導致p在某個「可能世界」中既真又假的邏輯矛盾。而且一個無所不包的「可能世界論域」W就像集合論中包含所有集合的集合一樣，容易導致像「羅素悖論」那樣的悖論。為避免上述矛盾，我們必須對「可能世界論域」加以限制。
在20世紀，Kripke引入「相關性」(Accessibility，亦譯作「可達性」)概念，對「可能世界論域」作出限制。所謂「相關性」，是指「可能世界」之間的一種相容關係。在「真勢模態邏輯」中，我們說「可能世界」w與w'是「相關」的，若w'符合在w成立的邏輯規律，這種相容關係可用R(w, w')來表示。語句「p必然真」和「p可能真」不再是根據所有「可能世界」，而是只根據那些與「現實世界」相關的「可能世界」的情況而判斷其真假。因此，我們定義新的「可能世界論域」WA*如下(這裡W帶有下標A以表示這是「真勢模態邏輯」下的「可能世界論域」，以區別於下文要介紹的其他「可能世界論域」)：
在上式中，WA*代表所有與「現實世界」相關的「可能世界」組成的集合。有了上述定義，我們便可以把上面的(1)和(2)修改為：
上面提到，我們把R(w, w')理解為w'符合在w成立的邏輯規律，這裡的「邏輯」是指歷代邏輯學家研究的各種「邏輯」，再加上一些分析性真理(例如數學上的真理)。可是，在日常話語中，人們並不總是單純依靠邏輯進行判斷或推理，而是基於各種知識乃至常識。舉例說，根據「狹義相對論」，任何物質的運動速度不可能超過光速，上述這個命題就是基於現實世界的物理學知識。可是若從純粹邏輯的角度去看，物質運動速度不超過光速卻不是必然的，我們完全可以設想一個存在超光速物質的世界。因此當某人說出「必然p」時，必須搞清楚他是基於甚麼而說出這一語句。
Kratzer在Conditionals一文中提出「模態基集」(Modal Base)的概念，她指出在日常語言中，會話背景會設定一個衡量語句真值的適用範圍，這個範圍就是與講話者心目中的某種知識相容的「可能世界」組成的集合，稱為「模態基集」。容易看到，這裡所定義的「模態基集」其實等同於前面定義的「可能世界論域」WA*，在這裡我們要把R(w, w')理解成，w'符合在w中成立的講話者心目中的某種知識領域。
「模態基集」有時是會話雙方沒有明說出來的共識，有時則透過某些短語具體表達出來。舉例說，當人們以「根據狹義相對論」或「據我所知」作為某句的開首時，他事實上就在設定「模態基集」。前者把「模態基集」設定為那些與「狹義相對論」相容的「可能世界」組成的集合，後者則把「模態基集」設定為那些與講話者的知識相容的「可能世界」組成的集合。當然，在更多的情況下，人們在進行判斷或推理時，並不一定會說明他的依據，但我們總能根據上下文判斷其「模態基集」。
前面討論的模態都是「絕對模態」，在這種模態下，命題p的必然性是根據整個「可能世界論域」WA*而作出判斷，無須參照任何先決條件。這種模態表現為「第一類泛化量化結構」的形式，即以WA*作為「三分結構」中的第一論元。除此以外，我們還可以有「相對模態」。在這種模態下，要判斷命題p的必然性，除了須參照WA*外，還要參照某一先決條件c，這種模態反映了自然語言中「條件句」的語義。
我們首先討論「充分條件」(Sufficient Condition)的情況，這種「條件句」一般帶有由連詞"if" (相當於漢語的「如果」)、"provided that" (相當於漢語的「只要」)、"on condition that" (相當於漢語的「在...的情況下」)等引導的「狀語分句」(以下統稱為「If分句」)。根據Kratzer的Conditionals一文，「If分句」的作用就是限制「模態詞」的量化範圍，即以滿足條件c的所有「可能世界」組成的集合而非整個WA*作為量化範圍。Zuber在Conditionals and the Dual of Presupposition一文中更把「If分句」(即「條件句」的「前件」)理解成主句(即「條件句」的「後件」)的修飾語，因此筆者認為，不妨把「If分句」分析成一種「相交修飾語」。
根據《廣義量詞系列：迭代量詞》，我們可以把語句
表達成以下「三分結構式」：
類似地，我們也可以把「充分條件句」
表達為以下「三分結構式」：
請注意以上兩個「三分結構」具有相似的結構，兩者都把代表「相交修飾語」的集合與第一論元中的集合相交。根據WA*的全集性質，上式又可化簡為
以上討論的「充分條件句」的主句都表達「必然」模態(即我們假設這些「條件句」的主句隱含著"surely"一詞)，但除此以外，「充分條件句」的主句也可表達「可能」模態，例如以下語句
對於這類語句，我們也可應用上述分析法，把「If分句」處理成「相交修飾語」，因此上句的「三分結構式」為(請注意由於上句的主句表達「可能」模態，所以以下「三分結構式」應用"some"而非"every"作為量詞)：
| some(World(SING(j)) ∩ WA*)(World(SING(m))) | |
| ≡ | some(World(SING(j)))(World(SING(m))) |
接著討論「必要條件」(Necessary Condition)的情況，這種「條件句」一般帶有由連詞"only if" (相當於漢語的「只有當」)引導的「狀語分句」，例如
由於根據命題邏輯，
我們可以把上句表達為
可是，由於量詞"every"與"only"互為「逆向反義詞」(兩者分別對應著集合之間的「⊆」和「⊇」關係)，我們又可以把上式變換為
另外，根據
在某些情況下我們亦可把上句表達為
請注意在上式中，我們採用了以下等式：
上式是合理的，這是因為使~p為真的「可能世界集合」應就是那些使p為真的「可能世界集合」的「補集」。
接著討論「充分必要條件」(Sufficient and Necessary Condition)，這種「條件句」一般帶有由"if and only if" (相當於漢語的「當且僅當」)引導的分句，例如
由於這種「條件句」實際上是「充分條件句」與「必要條件句」的合取，我們可以把上句表達為
可是，根據"every"、"only"和"(no except A)"的真值條件，我們有(以下U代表論域)：
| (every and only)(A)(B) | ⇔ A = B |
| ⇔ U ∩ B = A | |
| ⇔ (no except A)(U)(B) |
因此我們又可以把上式變換為
既然「模態詞」"if and only if"對應於量詞"(no except World(p))"，一個自然的推論是，是否有一個「模態詞」對應著量詞"(all except World(p))"？筆者認為是有的，這個「模態詞」就是"except when ... otherwise"。舉例說，語句
便可以表達為
請注意由於
我們實際是把"Except when p, otherwise q."分析成等同於"If and only if p, not q."。
最後討論包含連詞"unless"的「條件句」，例如
這裡採用一般語言學家的說法，把"unless"分析為等同於"if not"，這樣我們便可以把上句表達為
我們還可以把前述各種「條件句」的分析法綜合應用於「多重條件句」。在日常語言中，有時我們會不只使用一個「相交修飾語」，只需把這些「多重修飾語」處理成多重交集便可，例如語句
便可以表達成以下「三分結構式」：
類似地，「多重條件句」中的條件也可以處理成多重交集。但為方便分析，在進行相交前，有時須先把各個條件轉換成適當的「If分句」。試考慮以下「條件句」：
我們首先把"unless John is absent"改寫為"if John is not absent"，這樣我們便看到上句實際包含著兩個「If分句」，把這兩個分句當作「多重修飾語」處理，便可把上句表達為
在上面筆者把「模態詞」解釋成「可能世界論域」上的量詞，但除此以外，我們還可以把「模態詞」理解成表達「經典概率」(Classical Probability)，即把「必然p」理解成事件p發生的概率等於1 (註4)，而「可能p」理解成事件p發生的概率大於0。「模態詞」的「可能世界模型」與「經典概率模型」表面上是兩個不同的模型，但兩者其實是相通的。首先看看「經典概率」的定義，設有一個有限隨機過程可產生N個互斥且機會均等的結果，在這N個結果中有Np個是使事件p為真的結果，則事件p的「經典概率」為
上述定義中的「結果」(Outcome)代表一種可能出現的事態，正可用一個「可能世界」來代表。這樣我們便可得到以下等式：N = |WA*|，Np = |World(p)| (註5)。由此我們得到(請注意World(p) ⊆ WA*)：
由此可見，「可能世界模型」與「經典概率模型」是相通的。有了「概率」的概念，我們便可以把「必然p」和「可能p」表達為以下「三分結構式」：
其中
我們還可以把「經典概率模型」應用於「相對模態」中的「充分條件句」，因為「充分條件句」在某種條件下可以用「概率論」中的「條件概率」(Conditional Probability)來表達，這種概率的定義為
在上式中，Prob(p | c)代表在c真的條件下p真的概率，而Nc ∧ p則代表使c和p同真的結果總數。以下我們證明上式與上一小節介紹的「充分條件句」的「三分結構式」是相通的：
| Prob(p | c) = 1 | ⇔ Nc ∧ p = Nc |
| ⇔ World(c ∧ p) = World(c) | |
| ⇔ World(c) ∩ World(p) = World(c) | |
| ⇔ World(c) ⊆ World(p) | |
| ⇔ every(World(c))(World(p)) |
惟請注意，上述「充分條件句」與「條件概率」的對應關係有一個前提條件，就是c不為假命題(亦即Nc ≠ 0)。根據現代邏輯，當「前件」c假時，「充分條件句」"If c, p"自動取真值。可是，根據上述「條件概率」的定義，當Nc = 0時，Prob(p | c)無定義。造成上述差異的原因是，「條件概率」把「c不假」視作給定的前提，而一般的「充分條件句」卻沒有設定這個前提，由此可見「充分條件句」與「條件概率」這兩個概念並不完全對應。其他「條件句」也可表述為類似的「條件概率」，這裡不作詳細討論。
對於表達某些語句的真值條件，使用「概率」會較為方便。舉例說，以下兩句
的真值條件便可以分別表達為
在上面第一式中，A代表「解答集」，在這裡我們假設可以「概率」的形式回答"how likely"這類問句。當然我們也可以用「可能世界論域」上的「相對數量比較詞」來代表以上兩句的「模態詞」，例如語句(6)便可以表達為
但根據(5)，比值|World(WIN(j))| / |WA*|正等於「概率」Prob(WIN(j))，因此我們可以把上述的「概率」表達法看成上式的一種簡寫。
「經典概率模型」的另一個優點是較容易表達「模糊模態詞」的概念。在自然語言中，有一些詞語可用來表達程度不同的可能性。若把這些詞語按可能性高低排成一個序列，便可構成一個「概率量表」(Probability Scale)。舉例說，在英語中，形容詞"certain"、"almost certain"、"very likely"、"rather probable"、"somewhat unlikely"、"very unlikely"、"almost impossible"、"impossible"等便構成一個「概率量表」(註6)。在上述序列中，除了首尾兩個詞語分別代表確定的概率1和0外，其他詞語都代表某種「模糊概率」(Fuzzy Probability)，故可稱為「模糊模態詞」。
說到這裡，有必要交代一個理論問題。數學界一向認為，「模糊集合」的「隸屬度」與「概率」雖然都是量度「不確定性」(Uncertainty)的量，而且都在區間[0, 1]內取值，但兩者具有很不相同的性質，不可混同，因此我們應如何理解「模糊概率」？以下用一個簡單的例子作為類比，解釋「模糊概率」的意義。設某「論域」以人作為元素，並有「模糊集合」OLD(e(X'))、YOUNG(e(X'))、MIDDLE-AGED(e(X'))等。為了刻劃「論域」中每個元素(人)屬於這些「模糊集合」的程度，我們可以為每一個「模糊集合」定義一個「隸屬度函數」。為了用算式表達這些「隸屬度函數」，我們可以「論域」中每個人的某個量值來作為這些函數的輸入值。對於上述三個「模糊集合」來說，最自然的量值就是每個人的「歲數」。定義了各個「隸屬度函數」後，只要輸入某個人的歲數，便可求得那個人對某個「模糊集合」的隸屬度。
在「模糊數學」中，「模糊概率」一般被處理成「語言概率」(Linguistic Probability)(註7)。「語言概率」的特點是，以「事件」作為「論域」的元素，並以自然語言中表達各種可能性的概念(例如VERY-LIKELY(e(X'))、RATHER-PROBABLE(e(X'))等，此即前述「概率量表」中的詞項)作為「模糊集合」。為了用算式表達這些「模糊集合」的「隸屬度函數」，我們以「論域」中每個元素(事件)的某個量值來作為這些函數的輸入值，最自然的量值就是「論域」中每個事件的「概率」。定義了各個「隸屬度函數」後，只要輸入某個事件的「概率」，便可求得該事件對某個「模糊集合」的隸屬度。由此可見，在「語言概率」中，「隸屬度」與「概率」是分別作為「隸屬度函數」的輸出值和輸入值，兩者雖然在形式上很相似，但扮演很不相同的角色。
舉例說，我們可以把VERY-LIKELY(e(X'))定義為以下「隸屬度函數」：
| 0, | if 0 ≤ x ≤ 0.8 | |
| μ[VERY-LIKELY(e(X'))](x) = | (x − 0.8) / 0.1, | if 0.8 ≤ x ≤ 0.9 (7) |
| 1, | if 0.9 ≤ x ≤ 1 |
設某事件的「概率」為0.85，把這個數值代入上式，便可求得這個事件對VERY LIKELY(e(X'))的隸屬度為0.5。
有了「模糊概率」的概念，我們便可以把含有「模糊模態詞」Q的語句p的真值定為p的概率對Q的隸屬度。舉例說，命題
的真值便可以表達為
假設John勝出的「概率」為0.85，那麼根據上述計算，(8)的真值為0.5。
除了用「模糊概率」刻劃「模糊模態」外，我們也可以把「模糊模態詞」處理成「可能世界論域」上的「模糊量詞」。舉例說，我們可以把"almost certain"、"very likely"、"very unlikely"和"almost impossible"分別對應於「模糊量詞」"almost every"、"a very large proportion of"、"a very small proportion of"和"almost no"，這樣我們便可以把(8)表達為以下「三分結構式」：
上式的意思就是在絕大多數「相關可能世界」中，John勝出是真的。請注意上式的真值其實就是比值|World(WIN(j)| / |WA*|對於"a very large proportion of"的隸屬度，而這個比值正等於Prob(WIN(j))，所以我們最終還是用「模糊概率」刻劃「模糊模態」。由於「模糊數學」已有一套關於「模糊概率」的理論，所以本文以這套理論作為討論「模糊模態詞」語義的主要依據。
至此，筆者已把多種「模態詞」歸結為「可能世界論域」上的量詞，這些量詞包括"every"、"some"、"only"以及各種「相對數量比較詞」。一個自然的推論是，我們能否定義「可能世界論域」上的其他量詞，特別是「絕對數量比較詞」，例如"(exactly n)"、"(all except n)"等？既然「必然」和「可能」分別等同於「在所有情況下」和「在至少一種情況下」，而在自然語言中也的確存在「在剛好三種情況下」、「除了三種情況外，在(其餘)所有情況下」等說法，那麼我們似乎可以把「絕對數量比較詞」引入「可能世界論域」。不過這裡我們有一個困難，以下用一個實例加以說明。假設我們想表達以下語句：
我們能否把「剛好兩種情況」理解為等同於「剛好兩個可能世界」並把上句(不包括括號中的部分)表達為以下集合論表達式(在下式中，SCOLD和c分別代表「責罵」和「陳老師」)：
答案是否定的。這是因為「可能世界」這個概念是就著世界上所有事物的所有可能情況而定義的，世界上每個獨立發生的可能情況的每種排列組合都構成獨一無二的「可能世界」(註8)，因此使「John被陳老師責罵」為真的「可能世界」便不只兩個，而是有「不可數無窮多個」(Uncountably Infinite)。舉例說，下列的w1－w4便對應著不同的「可能世界」：
| w1: John被陳老師責罵，Mary愛Bill，海衛一的表面溫度低於40 K，... |
| w2: John被陳老師責罵，Mary不愛Bill，海衛一的表面溫度高於40 K，... |
| w3: John被陳老師責罵，Mary愛Bill，海衛一的表面溫度低於40 K，... |
| w4: John被陳老師責罵，Mary不愛Bill，海衛一的表面溫度高於40 K，... |
| ... |
上述例子顯示，「可能世界」的概念包含了大量與當前語境無關的內容，例如在上述例子中，Mary是否愛Bill便跟John是否被陳老師責罵沒有直接關係，而海衛一的表面溫度更與John的日常生活沒有絲毫關係(John可能根本不知道「海衛一」是海王星其中一顆衛星的名稱)。可是根據「可能世界」的定義，上述的w1－w4卻要被看成不同的「可能世界」。由此可見，「可能世界」不是表達「情況」的適當概念。為此，我們必須尋求一種只包含世界部分信息的概念。
筆者在這裡借用「情境語義學」(Situation Semantics)中的「情境」(Situation)概念來表達語句(9)所描述的「情況」(註9)。根據Devlin的Situation Theory and Situation Semantics一文，「情境」是「世界」的一部分。我們可以把「情境」看成「縮小的可能世界」模型，這個「縮小的可能世界」只包含與當前語境直接有關的信息(包括某「情境」所涉及的動作行為、參與者、地點、時間等)，而略去大量無關信息。舉例說，「John在2001年1月1日9時正談話」便可以表達為下式(為簡化討論，下式略去John的談話地點的信息)：
在上式中，s1是代表上述「情境」的符號，《 》內的部分稱為「信息條目」(Infon)，它包含多種類型的論元，包括命題、地點、時間等，這些論元各自在不同的論域中取值。「信息條目」表達某種「事態」(State of Affairs)，「事態」是「情境」的組成部分，一個「情境」可以包含多個「事態」。「情境」與「事態」之間的包含關係用符號「|=」表示，例如上式便是說，s1此一「情境」包含「John於2001年1月1日9時正談話」此一「事態」。
可是，「情境」仍然不是表達語句(9)的適當概念，這是因為「情境」此一概念仍然包含過於細致的信息。就以「John談話」為例，John在不同時間不同地點作出的談話便各自構成一個「情境」，這樣我們將有無窮無盡的「情境」。因此我們必須對具有相同特徵的「情境」進行適當的歸併，即把細節上各有不同但基本內容相同的「情境」歸併為同一種「情境類型」(Situation Type)。至於如何歸併，即以甚麼作為「情境類型」中各個「情境」共有的「基本內容」，這完全視乎講話者想要表達的意思。舉例說，如果我們想把John於不同日子上陳老師課時的多次談話視作一個「情境類型」，那麼我們可以定義以下「情境類型」：
筆者在這裡把「情境類型」看作由具有相同特徵的「情境」組成的集合，因此上式被寫成集合的形式。在上式中，帶有「*」號的論元稱為「參數」(Parameter)，它相當於集合定義中的變項，代表該論元可以在所屬論域中取任意值。假如我們把「情境論域」和「時間論域」分別定為「與當前語境相關的情境組成的集合」和「John上陳老師課的時間」，那麼s*和t*便是上述兩個論域中的任意元素，而上式則代表John於上陳老師課時談話的所有「情境」組成的「情境類型」。
接著讓我們考慮以下語句的表達法：
由於「在...的情況下」的語義類似「如果」，我們可以把語句(10)看成某種「充分條件句」。根據上面2.3小節，「充分條件句」可以表達為「可能世界集合」之間的包含關係。由於現在我們的描述對象是「情境類型」而非「可能世界集合」，所以我們把語句(10)看成表達「情境類型」之間的某種包含關係，因此語句(10)應表達為
上式的意思就是，每一個包含John於上陳老師課時談話的「情境」都同時包含著他被陳老師責罵的「情境」，這正是語句(10)要表達的意思。
接著我們引入代表「情境類型」和「情境類型論域」(Situation Type Domain)的符號st和ST，後者代表所有與當前語境相關的「情境類型」組成的集合。現在我們可以把語句(9)表達為以下形式：
請注意在上式中，st作為代表「情境類型」的符號，既是ST的元素，本身又是由「情境」組成的集合。上式的意思是說，存在兩種「情境類型」，這兩種「情境類型」中的每一個「情境」都是John被陳老師責罵的「情境」，這正是語句(9)的意思。
筆者在上節詳細介紹了「真勢模態邏輯」涉及的量化現象，以下筆者將介紹「模態邏輯」的其他分支理論。由於在其他分支理論中，有一些量化現象與前面介紹的大同小異，本文將略去重複的內容，只集中介紹各個分支理論獨有的內容。本節將介紹「認識模態邏輯」的內容。
對於「認識模態邏輯」(Epistemic Modal Logic)的研究對象，歷來有兩種看法，我們或者可以說是有兩種「認識模態邏輯」。第一種「認識模態邏輯」在形式上與「真勢模態邏輯」非常相似，也含有兩個模態詞「必然」和「可能」，例如語句
所表達的就是這種「認識模態」。由於根據2.2小節，我們可以把這種「認識模態」歸結為「真勢模態」的特例，即其「模態基集」是與某種知識或常識相容的「可能世界」的集合，因此筆者認為應把這種「認識模態邏輯」看作「真勢模態邏輯」的次類。第二種「認識模態邏輯」實際由三種「應用邏輯」組成，即有關「信念」、「知識」和「斷定」的邏輯。由於這些「應用邏輯」的研究起步較晚，尚未形成公認一致的體系，以下僅就有關「信念」和「知識」的邏輯作一些簡介。
「信念邏輯」(亦稱「相信邏輯」Doxastic Logic或Belief Logic)和「知識邏輯」(亦稱「知道邏輯」Knowledge Logic)，是對「信念」和「知識」的含義以及相信／知道「主體」(Agent)與其「信念」／「知識」之間的關係進行形式化研究的邏輯分支。由於當今有多種「信念邏輯」和「知識邏輯」的理論框架，並非每一個框架都以「可能世界」作為語義基礎，因此以下只擬簡介Hintikka在Knowledge and Belief - An Introduction to the Logic of the Two Notions一書中提出的對「信念」和「知識」的定義，這些定義都是基於「可能世界」而作出的。由於這兩個概念有相似的結構，以下將一起介紹這兩個概念。
由於「信念／知識模態句」往往涉及一個「主體」(即動詞「相信」／「知道」的主語)，「信念／知識模態詞」常被處理成「二元函項」，這個函項包含兩個論元－「主體」a以及被「相信」／「知道」的「命題」p。這種「模態詞」可稱為「相對信念／知識模態詞」，因為有關「模態句」的真假是相對於a的信念／知識而言的。套用2.2小節的說法，我們可以說這類「模態句」的「模態基集」是以a的信念／知識為依據。
不過，日常語言的「模態句」有時可以把主語略去，例如英語以被動態形式"It is believed / known that"開首的句子以及漢語以「據信／據知」開首的句子。我們可以把這些句子中的「模態詞」處理成只包含「命題」論元p的「一元函項」。這種「模態詞」可稱為「絕對信念／知識模態詞」，這類「模態句」的「模態基集」是以講話者的信念／知識(即他的個人信念／知識或他認為一般人都具有的信念／知識)為依據，我們把這個「模態基集」記為WB* / WK*，以區別於前述「真勢模態邏輯」下的「模態基集」WA*。以下為簡化討論，筆者將集中討論「絕對信念／知識模態詞」。
根據當今的「信念／知識邏輯」，共有兩組「絕對信念／知識模態詞」：LB / LK和MB / MK，它們分別相當於論域WB* / WK*上的「全稱量詞」和「存在量詞」。因此我們有以下等價關係：
這裡要說明一下上述「模態詞」在自然語言中的對應詞項。由於LB(p) / LK(p)表示在所有與講話者的信念／知識相容的「可能世界」中命題p皆真，我們可以把LB / LK理解成對應於自然語言中的「確信」／「確知」(註12)。MB和MK則可被分別理解成對應於「可信」(Plausible)和「可想像」(Conceivable)。這一點是合理的，因為根據前面2.1小節「全稱量詞」與「存在量詞」的互相定義關係，LB(p)與MB(p)以及LK(p)與MK(p)之間應存在以下關係：
而事實上「確信」與「可信」以及「確知」與「可想像」之間也的確存在上述關係：
在「真勢模態邏輯」下，我們可以把「可能性」解釋為「經典概率」。筆者認為，在「信念邏輯」下，我們也有相應的概念，這就是「主觀概率」(Subjective Probability)。「主觀概率」又稱「貝葉斯概率」(Bayesian Probability)，是把「概率」解釋為人們對某一命題的相信程度的一種度量。跟「經典概率」以及由「經典概率」派生出來的「頻率概率」(Frequency Probability)不同，「主觀概率」的定義不是基於客觀事件的發生次數或頻率，而是個人的主觀判斷，這種判斷反映了個人相信某命題可能為真的程度。請注意雖然「主觀概率」與「經典概率」有不同的解釋，但兩者同屬「概率」，具有相同的表現形式，即都符合Kolmogorov提出的有關「概率」的公理，因此我們應有以下關係：
正如在「真勢模態邏輯」下，我們有表達各種可能性大小的詞語來表達「模糊模態」；在「信念邏輯」下，我們也有表達各種相信程度大小的詞語來表達「模糊信念」(Fuzzy Belief)，這些詞語包括英語的"extremely plausible"、"very plausible"、"rather plausible"等。在2.5小節，筆者指出我們可以把「模糊模態詞」處理成「模糊概率」。筆者認為，此一概念亦可推廣至「模糊信念」，其形式跟2.5小節介紹的「模糊概率」大同小異，只需把那裡的"likely"改為"plausible"便行了。舉例說，我們可以採用上面的(7)作為「模糊集合」VERY-PLAUSIBLE(e(X'))的隸屬度函數。這樣，語句
的真值便可以表達為
假設「John生存」的「主觀概率」為0.85，那麼根據2.5小節的計算，(11)的真值為0.5。
從更廣闊的角度看，「相信」和「知道」除了屬於「認識」活動外，也是「命題態度」(Propositional Attitude)的一種。「命題態度」就是個體(通常為人)與命題之間的一種關係，在自然語言中表現為以下這些「命題態度謂詞」："assert"、"believe"、"consider"、"deny"、"doubt"、"expect"、"imagine"、"intend"、"know"、 "wish"等。對於這些動詞的語義，我們可以從多種理論的角度進行研究，包括「可能世界理論」(Possible Worlds Theory)、「言語行為理論」(Speech Act Theory)、「情境語義學」、「事件語義學」、「內涵語義學」等。這裡無法逐一介紹這些理論，只想簡介一種類似Hintikka對「信念」和「知識」的定義的「可能世界理論」。根據這種理論，一個「命題態度謂詞」可被視為「模態基集」W*上的「全稱量詞」，其中W*包含所有與該謂詞所代表的「命題態度」相容的「可能世界」。由於上述定義涉及「可能世界」的概念，所以「命題態度謂詞」又稱為「生成世界的謂詞」(World-Creating Predicate)。
以上定義還可以推廣到更廣闊的層面。自然語言的某些應用領域，例如文學創作，往往涉及一些虛構的世界，因此這裡也包含「生成世界的謂詞」。舉例說，語句
中，短語「在《西遊記》中」便構成一種「生成世界的謂詞」，與這個謂詞相關的「模態基集」W*包含所有與《西遊記》的故事情節相容的「可能世界」，而上句是真的當且僅當在W*的所有元素中，「孫悟空是唐三藏的徒弟」都是真的。
在某些情況下，「可能世界集合」之間存在複雜的關係。試看以下例句：
我們的目標是分析上面後一句的語義，該句受兩個因素制約：一方面前一句設定了一個充分條件，另一方面謂詞"intend"則確立了一個相關的「模態基集」W*。綜合以上分析，我們把上面後一句的語義確定為：在所有John遇見Mary並且與John的意圖相符的「可能世界」中，John都向Mary打超呼，用「三分結構式」寫出來，就是
「道義模態邏輯」(亦譯作「規範模態邏輯」Deontic Modal Logic)是研究模態詞「必須」和「可以」的邏輯分支。這兩個「模態詞」同樣存在類似2.2小節所述的互相定義關係：
「道義模態邏輯」通常使用符號O和P分別代表「必須」和「可以」算子，並且再加一個代表「禁止」的符號F。請注意這個F在實質上等同於~P (因為「禁止」在實質上等同於「不可以」)，因此可以看成~P的「別名」，這一點就正如我們可以把量詞"no"看成"~some"的「別名」一樣。
由於O和P與□和◇具有相似的關係，容易推斷O和P應分別對應於某一論域的「全稱量詞」和「存在量詞」，而這個論域就是以某一套法律規章、道德規範、規矩慣例或道義責任(以下統稱為「規範」)為依據的「模態基集」。這個「模態基集」包含所有與「現實世界」的某一套「規範」相符的「可能世界」，我們不妨把這個「模態基集」記作WD*。這樣，我們可以仿照上面的(3)和(4)作出以下定義(另外再加一個有關算子F的定義)：
可是，以上等價關係卻是不正確的，這是因為「規範」跟自然定律不同，是有可能被違反的。以上面的(12)為例，即使p是必須的，也並不代表它在所有與有關「規範」相符的「可能世界」中便一定被遵守。事實上，我們要衡量的「可能世界」不是整個WD*，而是WD*的一個子集，即那些在符合有關「規範」方面達到最高標準的「可能世界」，筆者把這些「可能世界」稱為「極優可能世界」(Optimal Possible World)，並把這個子集記作WD**。
為了更精確地定義上述的集合WD**，筆者在這裡借用Kratzer在The Notional Category of Modality一文中提出的「排序依據」(Ordering Source)概念。「排序依據」是指與當前「道義模態句」直接相關的「規範」，我們可以根據WD*中各個「可能世界」符合這些「規範」的情況把這些「可能世界」排序，排在最前的「可能世界」就是「極優可能世界」。具體地說，設有一個命題p。根據與p直接相關的「規範」，我們得知p是「必要性命題」、「允許性命題」或「禁止性命題」，這樣我們便可以把p劃歸以下三個集合中的一個：OSO、OSP和OSF，這三個集合的下標分別代表必要、允許和禁止。接著定義以下「序關係」，設w1和w2為WD*中兩個不相同的「可能世界」，則有：
| w1 < w2 ⇔ | {p ∈ OSO: w2 ∈ World(p)} ⊆ {p ∈ OSO: w1 ∈ World(p)} ∧ | (15) |
| {p ∈ OSF: w1 ∈ World(p)} ⊆ {p ∈ OSF: w2 ∈ World(p)} |
上面的w1 < w2代表w1在符合「規範」方面優於w2。上式是說，在下列情況下，w1可被視為優於w2：在w2為真的「必要性命題」在w1都為真；並且在w2為假的「禁止性命題」在w1都為假。至於「允許性命題」，則對「可能世界」的排序不發生作用。請注意以上定義的「<」只是「偏序」(Partial Order)關係而非「全序」(Total Order)關係，即並非任何兩個不相同的w1和w2之間都必定滿足w1 < w2或w2 < w1，正如並非任何兩個集合之間都必定存在包含關係一樣。利用「<」，我們便可以定義前述的「極優可能世界集」WD**：
根據上述定義，WD**的元素就是那些在符合「規範」方面沒有比它更優的「可能世界」，故被稱為「極優可能世界」。請注意由於上面定義的的「<」只是「偏序」關係，所以「極優可能世界」可以不只一個。有了WD**，我們便可以把上面的(12)－(14)修改為
以下用一個「語義模型」來說明上述概念：
| 語義模型1：考慮以下有關某次考試的語句：
我們把上句看成由三個句子組成的集合並逐句考慮其真假： 假設根據考試規則，每名考生可以穿著校服或便服參加考試，但他們必須準時到達試場，並且不可作弊。根據上述規則，我們可以確定上述的三個集合OSO、OSP和OSF： 接著假設WD*包含以下元素：
|
接著根據(15)把上述「語義模型」中WD*的元素排序如下：
根據(16)，求得
最後根據(17)－(19)的定義判斷(20)中三句的真假。由於在w2和w4中，ON-TIME(j)同時取真值，而CHEAT(j)同時取假值，所以O(ON-TIME(j))和F(CHEAT(j))是真的。可是WEAR-UNIFORM(j)只有在w2中才取真值，所以O(WEAR-UNIFORM(j))是假的。如果我們把O(WEAR-UNIFORM(j))改為P(WEAR-UNIFORM(j))，該句便會取真值。
在「道義模態邏輯」下，我們也有類似上面2.3小節的「相對模態」和2.5小節的「模糊模態」的概念。首先考慮「相對道義模態」的情況，試看以下語句(該句是作為上面「語義模型1」的延續)：
根據上面2.3小節的討論，「If分句」的作用是限制「模態詞」的量化範圍，即以代表「If分句」c的「可能世界集合」World(c)代替原來由「模態基集」所起的作用。對於「道義模態句」而言，這相當於以World(c)代替定義(16)中的WD*，從而得到一個新的「極優可能世界集」：
請注意上式除了跟(16)存在上述差別外，「<」的意義其實也起了變化。這是因為根據4.1小節，「<」是就著某一「排序依據」而言的，而「排序依據」又是基於與當前語句直接相關的「規範」。當引入「If分句」後，適用的「規範」便起了變化，而「可能世界」之間的「序關係」也會有所不同。
以語句(21)為例，本來根據「語義模型1」，命題CHEAT(j)是OSF的元素。可是由於語句(21)的分句"if John cheats in the exam"已使CHEAT(j)不再切合當前的情況，因此「排序依據」應作適當調整。假設根據考試規則，凡作弊者均須被開除考試資格，這樣在新情況下，OSO便應包含命題DISQUALIFIED(j)。綜合以上討論，我們便可以確定語句(21)的真值條件為：
上式的意思是說，所有那些John在考試作弊的「極優可能世界」都是John被開除考試資格的「可能世界」，上式準確地反映了語句(21)的語義。
其次考慮「模糊道義模態」的情況。正如「真勢模態」和「信念模態」那樣，我們也有表達各種必要性大小的詞語以表達「模糊道義」，這些詞語包括英語的 "extremely advisable"、"very advisable"、"rather advisable"、"somewhat inadvisable"、"very inadvisable"、"extremely inadvisable"等。但是跟2.5和3.3小節不同，「模糊道義」並無相應的「概率」概念。不過，我們可以把「模糊道義模態詞」看成「極優可能世界集」上的「模糊量詞」。舉例說，語句
的真值便可以表達為
「祈使邏輯」(Imperative Logic)是新興的邏輯分支。由於「祈使」(即指發出命令或請求)作為一種「言語行為」，本身無真假可言，所以很多有關「祈使」的邏輯學理論都把「祈使」與「道義模態邏輯」聯繫起來，從而把「道義模態句」的邏輯結果推廣引伸至「祈使句」。舉例說，周禮全在《邏輯—正確思維和有效交際的理論》一書中便介紹了一種「祈使邏輯」，這種邏輯使用!和i這兩個算子分別代表「命令」和「許可」(註14)，而這兩個算子的語義跟「道義模態邏輯」的算子O和P非常相似，這是因為當我們對別人發出命令或給予許可時，相當於說出「你必須...」或「你可以...」。「許可」在表面上雖然與「祈使」有異，但這兩個概念其實有相通之處，這一點可以從某些語言可用同一個詞語表達「祈使」和「許可」看出，例如漢語的「叫」便有這個功能，試看以下例句：
請注意上面兩句中的「叫」字可分別用表達「祈使」的「吩咐」和表達「許可」的「容許」代替。英語的"let"也有類似的特點，例如：
請注意上面某些例句儘管並非表達直接的「祈使」和「許可」，但它們顯示了這兩個概念的相通之處。由此可見，把代表「許可」的算子加入「祈使邏輯」中是合理的。根據上述兩個算子與「道義模態詞」的相似性，!與i亦存在類似O與P之間的互相定義關係：
除了從邏輯學角度理解「祈使」外，某些語言學家也從語言學的角度論證「祈使句」與「道義模態句」的相似性。Portner在The Semantics of Imperatives within a Theory of Clause Types一文中從「可能世界理論」的角度討論了「陳述句」和「祈使句」的語義問題，指出這兩種句式存在密切的關係。Portner沿襲Stalnaker在Assertion一文中所提出的，把「陳述句」的語義所指確定為「命題」。從語用學的角度看，說出一個「陳述句」相當於把一個命題加入到會話雙方的「共同會話背景」(Common Ground)中。「共同會話背景」是一個由命題組成的集合(以下用CG來代表這個集合)，它代表會話雙方共同知道或相信的一組命題。從「可能世界」的角度看，我們可以把一個命題p理解成「可能世界集合」World(p)，即那些使p為真的「可能世界」組成的集合，而「共同會話背景」則相當於使集合CG中所有命題均為真的「可能世界」組成的集合，亦即對應於CG中所有命題p的「可能世界集合」的交集：
Portner把上述概念引伸到「祈使句」，把「祈使句」的語義所指確定為講話者認為受話者應具備的「屬性」(Property)。從語用學的角度看，說出一個「祈使句」相當於把一個「屬性」加入到受話者的「任務清單」(To-Do List)上。「任務清單」是一個由「屬性」組成的集合(以下用TDL來代表這個集合)，它代表某人所應具備的一組「屬性」。由於「屬性」通常由謂詞表達，而當謂詞加上代表受話者的個體詞後便構成一個命題，所以「祈使句」最終也可表述為命題。舉例說，假設受話者是John，被說出來的「祈使句」為"Leave!"，那麼在John的「任務清單」上便增加了一個屬性LEAVE，而這個「祈使句」則可表達為
其中LEAVE(j)構成一個命題。請注意「共同會話背景」此一概念並不局限於「陳述句」，因為「祈使句」也涉及「共同會話背景」。換句話說，要理解「祈使句」的語義，必須同時考慮會話雙方的「共同會話背景」以及受話者的「任務清單」。
Portner還進一步確立「祈使句」與「道義模態句」的對應關係。他指出「共同會話背景」和「任務清單」分別相當於「模態基集」和「排序依據」，因為透過「共同會話背景」，我們可以確定與「祈使句」所述「任務」相容的「可能世界集合」WI*，而透過「任務清單」，我們可以把WI*中的元素排序。兩個不同的「可能世界」w1和w2若滿足w1 < w2，則代表w1在符合「任務清單」方面優於w2，或者換句話說，受話者在w1中較為服從和合作。基於上述排序，我們同樣可以定義「極優可能世界集」WI**。這樣，上一小節提及的算子!和i的語義便可以確定為
「可能世界理論」在當代形式語義學上尚有其他應用，這些應用或多或少都涉及到量化現象。由於這些現象大多只涉及「存在量詞」或「全稱量詞」，所以沒有納入上文的討論範圍，只在這裡作一些簡介。
開創當代形式語義學先河的Montague的一項重大貢獻就是利用「可能世界理論」創立了一套「內涵語義學」(Intensional Semantics)，從而成功解決了某些語義疑難問題，「內涵語義學」構成他的「蒙太格語法」的重要組成部分。謂詞邏輯有一個「替換原理」(Substitution Principle)，若常項a和b存在相等關係a = b，則對於任何包含a的表達式，我們都可以把其中的全部或部分a替換成b。此一原理相當符合我們的直觀，在很多情況下也是有效的，例見以下推理(在以下推理中，「晨星」和「昏星」是古代人對他們在不同時間見到的兩顆星的名稱，後來人們才知道這兩顆星其實是同一顆星，那就是金星)：
可是，「替換原理」並不適用於某些情況，最著名的就是以下的「晨星昏星悖論」：
請注意上述推理是無效的，儘管由於「晨星就是晨星」是一個「重言式」，因此「晨星必然就是晨星」是正確的，而根據我們的天文學知識，「晨星 = 昏星」也是正確的；但上述結論卻是不正確的，因為「晨星就是昏星」並非必然正確的真理，我們完全可以設想一個「可能世界」，在其中「晨星 ≠ 昏星」。
以上悖論使邏輯學家明白到要區分意義的「內涵」(Intension)和「外延」(Extension)。「晨星」和「昏星」在現實世界中雖然有相同的「外延」(即兩者有相同的「語義所指」)，但兩者的「內涵」卻是不同的，因為兩者代表古代人在不同時間看見的星體。以上例子告訴我們，在包含「必然」算子的語句中，兩個概念即使有相同的「外延」，也不一定能互相替換；只有當這兩個概念具有相同的「內涵」時，才能互相替換，因此人們把包含「必然」算子的語句稱為「內涵語境」(Intensional Context)。除了包含「必然」算子的語句外，人們發現在自然語言中還有其他「內涵語境」，包括某些「內涵動詞」(例如英語的"believe"、"want"、"seek"等)、「內涵形容詞」(例如"former"、"possible"等)、「內涵名詞」(例如一些會隨時間變化的職位或度量名稱，如"USA President"、"price"等)。
「內涵語境」除了令「替換原理」失效外，在某些情況下還會導致歧義，試看以下例句：
上句有兩種解讀：「涉名解」(De Dicto Reading)與「涉實解」(De Re Reading)。在前一種解讀下，"the person who solved this problem"並不確指某一個實在的人，而是指「任何解題者」，而且Bill相信這類人是聰明的，故稱「涉名解」(註15)。在後一種解讀下，"the person who solved this problem"確指某一個實在的解題者(例如John)，而且Bill相信這個人(即John)是聰明的，故稱為「涉實解」。上句的歧義也可從「內涵-外延」的角度加以解釋。上句的「涉名解」可以被理解成具有內涵為「解題者」的對象(不論是否在現實世界中)是聰明的；而「涉實解」則可以被理解成那個在現實世界中屬於「解題者」外延的個體是聰明的。
從以上的討論可見，有必要在形式語義學中區分「內涵」和「外延」這兩個概念。「外延」的概念很簡單，它就是謂詞邏輯研究的對象，例如命題的「外延」就是真值，一元謂詞的「外延」就是個體集合，二元謂詞的「外延」就是有序對集合等等。但「內涵」的概念卻十分抽象，如何用形式化的方法加以表述？Montague的辦法是把「內涵」處理成把「可能世界」映射到「外延」的函項，從而巧妙地解決了這個難題。舉例說，「晨星」和「昏星」的「外延」同為我們現在稱為「金星」的那個星體；而它的「內涵」卻是具有以下形式的函項(在下式中，^PHOSPHORUS和^HESPERUS分別代表「晨星」和「昏星」的概念，v代表「金星」這個星體，a1、a2、b1、b2等則代表其他星體)：
請注意上式沿襲Montague的處理方式，在PHOSPHORUS和HESPERUS的左上角加了符號「^」，以表示這兩個是「內涵」概念。上式顯示，儘管在「現實世界」(即wACTUAL)上，「晨星」和「昏星」有相同的「外延」(即同指v)，但這兩個概念在其他「可能世界」上的「外延」卻可以不同，從而具有不同的「內涵」。利用上述概念，我們便可以把語句(24)表達為以下「三分結構式」：
由於並非在所有「可能世界」w上都有^PHOSPHORUS(w) = ^HESPERUS(w)，上式是假的，因此語句(24)也是假的，這樣便解決了「晨星昏星悖論」的疑難問題。
利用上述概念，我們還可以把語句(25)的「涉名解」與「涉實解」分別表達為
在以上兩式中，^BELIEVE、^CLEVER和^SOLVER都是內涵概念，這三個內涵分別把「可能世界」映射為二元函項、集合和個體。在第一式中，λw[^CLEVER(w)(^SOLVER(w))]是形式語義學中常用的「λ表達式」，表示在任何可能世界(不限於現實世界)中，「解題者」都是聰明的，所以此式表達「涉名解」。在第二式中，^SOLVER和^CLEVER都指向現實世界，該式表示現實世界中的那個「解題者」是聰明的，所以此式表達「涉實解」。
筆者在《廣義量詞系列：特殊單式量詞》中曾指出，當今的形式語義學有兩套關於「疑問句」的理論：「結構化意義語義學」和「選項語義學」。筆者以往介紹「疑問量詞」的語義，主要是依據「結構化意義語義學」，這裡補充說明一下「選項語義學」。根據該套理論，疑問句的語義所指是「命題集合」，即由該問題的所有可能解答(以完整命題的形式出現)組成的集合。舉例說，疑問句
的語義所指便是
如果我們像在5.2小節那樣把一個命題p理解成集合World(p)，那麼便可以把一個疑問句q理解成「集合族」，這個「集合族」內的每個集合對應著q的「解答集」中的某個命題。舉例說，(26)便可以理解成
請注意上述「集合族」在實質上是把「可能世界」歸類，例如上式第一個集合World(SING(j))便包含著所有使「John唱歌」為真的「可能世界」。如果我們規定「解答集」所包含的解答必須互斥且窮盡一切可能性，那麼上述「集合族」便構成「可能世界論域」的一個「劃分」(Partition)，而「集合族」內的集合則是「等價類」(Equivalence Class)。有關把疑問句看成「可能世界論域」的「劃分」的理論，是當今某些學者的研究課題，這裡不再深入討論。
「反事實條件句」(Counterfactual Conditional)是指那些前提為假的條件句，例如以下語句(註16)：
本來根據「命題邏輯」中有關「實質蘊涵」(Material Implication)的定義，這類條件句自動取真值。可是這樣處理「反事實條件句」並不能準確反映語言事實，因為在直觀上，(27)是真的而(28)則是假的。有關「反事實條件句」的語義問題，不同學者提出了不同的理論，筆者在這裡只擬簡介Lewis提出的一個分析框架(略加修改)。Lewis提出一個三元謂詞C以表達「可能世界」之間的相似關係，對任何「可能世界」w、w'和w''而言，我們有C(w, w', w'')當且僅當w'與w的相似程度不低於w''與w的相似程度。利用這個三元謂詞，我們便可以定義「反事實條件句」"If p, then q" (Lewis把這種句子記作p □→ q)的真值條件如下：
現在根據上式判斷語句(27)和(28)的真值。上式中的∃w(w ∈ World(p))是成立的，因為我們可以設想一個戈爾贏得總統選舉的「可能世界」w。現在考慮所有那些與「現實世界」的相似程度不低於w，而且戈爾在其中贏得總統選舉的「可能世界」w'。如果前面設想的w除了戈爾勝出這一點外，在其他方面與「現實世界」相差不遠，那麼在所有w'中，戈爾都必定會遷入白宮而不可能遷往火星，由此便可判斷語句(27)是真的而(28)則是假的。由於「反事實條件句」涉及虛構的「可能世界」，要準確分析其真值條件，有相當的難度，本文的討論只能到此為止。
前面筆者著重討論對「可能世界」的量化問題，這種量化反映「主體」對命題的必然性、可信性、必要性等範疇的評估。除此以外，我們也可以對「命題」本身進行量化，這種量化反映「生成世界的謂詞」所作用的命題的數目。為此，筆者引入「命題論域」(Propositional Domain，以下用PROP表示)的概念。在「命題論域」下，命題是基本的元素，各種「生成世界的謂詞」則相當於由命題組成的集合。在這種分析下，語句
可以被表達為(以下以p代表命題"John loves Mary")：
對於不含任何「生成世界的謂詞」的語句，我們也可以假設該句隱含著"it is true that"並用集合TRUE代表這個謂詞(換句話說，我們是把單純的命題p理解為等同於「p真」)。因此語句
便可以表達為
接下來我們討論「命題論域」上的量化問題。由於「合取」(Conjunction)命題「p真和q真」和「析取」(Disjunction)命題「p真或q真」在邏輯上分別等同於「在p和q兩者中全部都真」和「在p和q兩者中至少有一個真」，我們可以把「p真和q真」和「p真或q真」分別表達為以下三分結構：
這樣我們便在「命題論域」上建立了「全稱量詞」與「合取」以及「存在量詞」與「析取」之間的對應關係。
對於混合了「合取」／「析取」的複合命題，我們需要使用「迭代三分結構」的概念。舉例說，命題「p真和q真，或r真和s真」(用命題邏輯的慣常寫法寫出來就是(p ∧ q) ∨ (r ∧ s)便可以表達為以下三分結構式：
上式是說，在「p真和q真」和「r真和s真」這兩個命題中，至少有一個是真的。由於「『p是真的』這個命題是真的」在邏輯上等同於「p是真的」，所以儘管上式包含兩層TRUE，上式仍是可以理解的。
我們還可以把上述結果推廣至其他「生成世界的謂詞」，例如語句
便可以表達為(以下以p代表"John loves Mary"，q代表"Tom hates Susan")：
利用「命題論域」的概念，我們還可以用形式化方法表達「是非疑問句」(Yes/No Question)的語義，關鍵在於把這類疑問句看成一種「選擇疑問句」，這是因為「是非疑問句」實際上提供「是」和「非」這兩個選項供回答者選擇。如果我們使用前面介紹的TRUE及其補集FALSE分別代表真命題和假命題集合，那麼根據筆者在《廣義量詞系列：特殊單式量詞》中介紹的「選擇疑問句」表達法，我們可以把「是非疑問句」
的論元結構和真值條件表達為(以下以p代表"John loves Mary")：
由於TRUE和FALSE這兩個集合互斥，我們可以把上述真值條件化簡為
請注意在上式中，「解答集」C是一個單元集，它的唯一元素是「命題集合」TRUE或FALSE，視乎p究竟是真命題還是假命題。
正如「命題」一樣，在某些情況下，我們也可以把「問題」作為量化的對象，例如在以下語句中
謂詞BILL-ASK便包含兩個問題，因此似乎我們也須引入一個「問題論域」，或者把「命題論域」擴大為包括命題與問題。由於這牽涉頗複雜的問題，本文的討論只能到此為止。
註1：其實「時態邏輯」也可算作「模態邏輯」的一個分支理論，不過由於「時間論域」具有堪與「個體論域」媲美的複雜結構，所以筆者把「時間量化結構」獨立列為一節。