廣義量詞系列:迭代量詞

1. 引言

在前面兩章,筆者介紹了「單式量詞」。「單式量詞」的特點為,它的所有論元都是一元函項,因此這類量詞 所含的「謂詞性論元」只能是作謂語中心的「形容詞短語」、「普通名詞短語」或「不及物動詞短語」。可是 在自然語言中,謂語中心還可以是「及物動詞短語」、「雙及物動詞短語」以及其他含有複合動詞/形容詞/ 介詞結構的短語,以這些短語作為「謂詞性論元」的量詞都是「多式量詞」。由本章開始,筆者將介紹「多式 量詞」。本章先從最簡單的「多式量詞」-「迭代量詞」(Iterated Quantifier)說起,所謂「迭代 量詞」,是指由多個「單式量詞」通過「迭代」運算組合而成的「多式量詞」。本文將介紹各種類型的「迭代 量詞」及其真值條件,至於「迭代」運算的形式化定義,將留待下一章介紹。

2. 迭代<−,1>型量詞

最簡單的「迭代量詞」是「迭代<−,1>型量詞」。這種量詞只有「謂詞性論元」,沒有「名詞 性論元」。含有這類「多式量詞」的句子由一個動詞短語或含有複合動詞/形容詞/介詞結構的短語以及多個 專有名詞構成。舉例說,我們可以把以下三句

John loves Mary.
John introduced Tom to everybody.
John offered something to Mary in exchange for Fido.

翻譯為

(John ... Mary)(−, −)(LOVE)
(John ... Tom ... everybody)(−, −, −)(INTRODUCE)
(John ... something ... Mary ... Fido)(−, −, −, −)(OFFER IN EXCHANGE FOR)

下表列出這些「迭代量詞」的真值條件(註1):

表1
量詞類型論元結構真值條件
<<−,−>,2>
(John ... Mary)(−, −)(A)
A(j, m)
<<−,−,−>,3>
(John ... Tom ... everybody)(−, −, −)(A)
{x: A(j, t, x)} = U 或
PERSON ⊆ {x: A(j, t, x)}
<<−,−,−,−>,4>
(John ... something ... Mary ... Fido)(−, −, −, −)(A)
{x: A(j, x, m, f)} ≠ Φ 或
THING ∩ {x: A(j, x, m, f)} ≠ Φ

自然語言的動詞一般最多只有三個論元(此即「雙及物動詞」),但假如我們把含有複合動詞/形容詞/介詞結 構的短語(例如上述的"offer in exchange for")也計算在內,那麼一個句子的謂語的論元數目便可以多於三個 。事實上,從句法上說,"offer in exchange for"這類結構雖然不算是一個單純動詞;但從邏輯語義上說,這 類結構跟單純動詞沒有甚麼分別,所以把它們看作一個整體,處理成一個多元函項,這是合理的。正是由於這 個原因,「迭代量詞」的論元結構遠較「單式量詞」複雜。

3. 迭代<1,1>型量詞

3.1 真值條件

「迭代<1,1>型量詞」除了「謂詞性論元」外,還有「名詞性論元」。此外,這類量詞的真值條件也 須反映所含限定詞的真值條件。當「迭代量詞」只含有一個限定詞時,情況較為簡單。舉例說,以下兩句

Every student likes Tom.
John introduced a boy to Mary.

可以翻譯為

(every ... Tom)(STUDENT, −)(LIKE)
(John ... a ... Mary)(−, BOY, −)(INTRODUCE)

下表列出這些「迭代量詞」的真值條件:

表2
量詞類型論元結構真值條件
<<1,−>,2>
(every ... Tom)(A, −)(B)
A ⊆ {x: B(x, t)}
<<−,1,−>,3>
(John ... a ... Mary)(−, A, −)(B)
A ∩ {x: B(j, x, m)} ≠ Φ

當「迭代量詞」含有超過一個限定詞時,情況便較為複雜,這類「迭代量詞」的真值條件往往包含「迭代 集合」(Iterated Set),即某一集合的定義包含另一個集合的定義。舉例說,以下兩句

Every boy loves some girl.     (1)
The teacher recommended exactly one book to every student.

(在通常意義下)可以翻譯為

(every ... some)(BOY, GIRL)(LOVE)
(the ... exactly 1 ... every)(TEAHCER, BOOK, STUDENT)(RECOMMEND)

下表列出這些「迭代量詞」的真值條件:

表3
量詞類型論元結構真值條件
<<1,1>,2>
(every ... some)(A, B)(C)
A ⊆ {x: B ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ}
<<1,1,1>,3>
(the ... exactly 1 ... every)
(A, B, C)(D) (A為單數)
X ∩ A ⊆ {x: |B ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}}| = 1},
if |X ∩ A| = 1

3.2 轄域歧義

當句子含有多個並不完全相同的限定詞時,便可能出現「轄域歧義」(Scope Ambiguity)的問題。所 謂「轄域歧義」,是指句子中的限定詞可能取「寬域」(Wide Scope)或「窄域」(Narrow Scope)而引起的歧義 。在把含有這種歧義的句子翻譯成形式化表達式時,我們可以透過安排句子中限定詞的相對位置來反映這種歧 義。舉例說,上面的語句(1)便含有兩種意思(註2)。第一種意思是「每個男孩愛至少一個(可能各不相同的)女 孩」,在這種解讀下,我們說量詞"every"取「寬域」,"some"則取「窄域」。我們可以把這種 解讀表達為以下真值條件:

(every ... some)(BOY, GIRL)(LOVE) ⇔ BOY ⊆ {x: GIRL ∩ {y: LOVE(x, y)} ≠ Φ}     (2)

語句(1)的第二種意思是「至少有一個女孩每個男孩都愛」,在這種解讀下,我們說量詞"some"取「寬 域」,"every"則取「窄域」。我們可以把這種解讀表達為以下真值條件:

(some ... every)(GIRL, BOY)(LOVE−1) ⇔ GIRL ∩ {y: BOY ⊆ {x: LOVE(x, y)}} ≠ Φ     (3)

上式左端的謂詞寫成LOVE−1的形式,這是因為"some girl"和"every boy"在語句(1)中分別 為LOVE的賓語和主語,其出現次序剛好與LOVE的論元次序(先主後賓)相反。為了糾正此一情況,這裡使用 LOVE−1,使LOVE−1的論元次序(先賓後主)符合"some girl"和"every boy"的出現次序。至於上式右端,由於我們可以用變項x和y明確標示LOVE的兩個論元與集合BOY和GIRL的關係, 所以無需使用LOVE−1的形式。

從上述例子,我們看到本文介紹的形式化表達法能準確反映「轄域歧義」。在含有「迭代量詞」 (Q1 ... Q2)的句子中,Q1取「寬域」,Q2則取「窄域」。不 僅如此,「迭代量詞」的真值條件也準確反映了「轄域歧義」。舉例說,在上面(2)中,"every"取「寬 域」,因此代表"every"的集合論運算「⊆」在(2)中是作為最外層的運算。而在(3)中, "some"取「寬域」,因此代表"some"的集合論運算「... ∩ ... ≠ Φ」在(3)中則是 作為最外層的運算。

3.3 語義模型1

以下用一個「語義模型」闡述上面提到的概念。

語義模型1:設「論域」U = {a, c, e, j, m, r, l},並有以下定義:
a = Anne;c = Charles;e = Emily;j = John;m = Mary;
BOY = {c, j};GIRL = {a, e, m};ROSE = {r};LILY = {l};
LIKE = {(a, l), (c, l), (c, r), (j, r)};HATE = {(e, l), {j, l), (m, r)};
LOVE = {(j, m), (c, a), (c, e), (e, c)};INTRODUCE = {(a, m, c), (a, e, c)}

現在我們根據以上模型來判斷語句(1)的兩種解讀的真假。語句(1)有兩種解讀,第一種解讀的真值條件就是上 面的(2)。為了判斷上述語義模型是否符合(2),我們要看BOY這個集合是否{x: GIRL ∩ {y: LOVE(x, y)} ≠ Φ}的子集,即逐一驗證BOY中的每個元素x,是否滿足

GIRL ∩ {y: LOVE(x, y)} ≠ Φ     (4)

首先驗證x = c是否滿足(4)。由於{(c, a), (c, e)} ⊆ LOVE,容易求得{y: LOVE(c, y)} = {a, e}。由 於GIRL ∩ {a, e} ≠ Φ,因此上式是真的。基於相同原理,容易求得{y: LOVE(j, y)} = {m},因此 x = j也滿足(4)。至此我們得到結論,BOY中兩個元素c和j都滿足(4),因此(2)的真值條件得到滿足,即在第一 種解讀下,語句(1)是真的。

語句(1)的第二種解讀的真值條件就是上面的(3)。為了判斷上述語義模型是否符合(3),我們要看是否有GIRL中 至少一個元素y滿足

BOY ⊆ {x: LOVE(x, y)}     (5)

容易驗證,並不存在這樣的一個元素。我們逐一考慮GIRL中的每個元素,首先考慮a。由於{x: LOVE(x, a)} = {c},而BOY ~⊆ {c},因此y = a並不滿足(5)。基於相同原理,我們也可驗證e和m也不滿足(5)。至此我們 得到結論,(3)的真值條件得不到滿足,即在第二種解讀下,語句(1)是假的。

4. 迭代結構化量詞

筆者在《廣義量詞系列:基本單式量詞》中介紹了「結構化量詞」,當時討 論的「結構化量詞」的「謂詞性論元」都是一元函項。現在我們可以把「迭代量詞」的概念推廣到「結構化量 詞」,從而得到「迭代結構化量詞」(Iterated Structured Quantifier)。為簡化討論,以下僅集中 介紹形式為"more ... than ..."的「迭代結構化量詞」,其他形式的「迭代結構化量詞」(參見上述網頁的表7 )照此類推。

首先考慮以下語句:

More boys than girls like the rose.
More boys like the rose than the lily.
More boys like than hate the rose.
More boys like the rose than girls the lily.
More boys like the rose than girls hate the lily.     (6)

在以上語句中,"more ... than ..."都出現於主語位置,但除此以外,還可以出現於其他位置,例見以下語句 :

John bought more roses than lilies.
At least three girls gave more roses than lilies to John.

上述七句可以翻譯為

(more ... than ... the)((BOY, GIRL), ROSE)(LIKE)
(more ... than ... the ... the)(BOY, (ROSE, LILY))(LIKE)
(more ... than ... the)(BOY, ROSE)(LIKE, HATE)
(more ... than ... the ... the)((BOY, GIRL), (ROSE, LILY))(LIKE)
(more ... than ... the ... the)((BOY, GIRL), (ROSE, LILY))(LIKE, HATE)
(John ... more ... than ...)(−, (ROSE, LILY))(BUY)
(at least 3 ... more ... than ... John)(GIRL, (ROSE, LILY), −)(GIVE)

下表列出這些「迭代量詞」的真值條件:

表4
量詞類型論元結構真值條件
<<12,1>,2>
(more ... than ... the)
((A, B), C)(D)
|A ∩ {x: X ∩ C ⊆ {z: D(x, z)}}| >
|B ∩ {y: X ∩ C ⊆ {z: D(y, z)}}|, if |X ∩ C| = 1
<<1,12>,2>
(more ... than ... the ... the)
(A, (B, C))(D)
|A ∩ {x: X ∩ B ⊆ {z: D(x, z)}}| >
|A ∩ {x: X ∩ C ⊆ {w: D(x, w)}}|, if |X ∩ B| = 1 ∧ |X ∩ C| = 1
<<1,1>,22>
(more ... than ... the)
(A, B)(C, D)
|A ∩ {x: X ∩ B ⊆ {z: C(x, z)}}| >
|A ∩ {x: X ∩ B ⊆ {z: D(x, z)}}|, if |X ∩ B| = 1
<<12,12>,2>
(more ... than ... the ... the)
((A, B), (C, D))(E)
|A ∩ {x: X ∩ C ⊆ {z: E(x, z)}}| >
|B ∩ {y: X ∩ D ⊆ {w: E(y, w)}}|, if |X ∩ C| = 1 ∧ |X ∩ D| = 1
<<12,12>,22>
(more ... than ... the ... the)
((A, B), (C, D))(E, F)
|A ∩ {x: X ∩ C ⊆ {z: E(x, z)}}| >
|B ∩ {y: X ∩ D ⊆ {w: F(y, w)}}|, if |X ∩ C| = 1 ∧ |X ∩ D| = 1
<−,12>,2>
(John ... more ... than ...)
(−, (A, B))(C)
|A ∩ {x: C(j, x)}| > |B ∩ {y: C(j, y)}|
<<1,12,−>,3>
(at least 3 ... more ... than ... John)
(A, (B, C), −)(D)
|A ∩ {x: |B ∩ {y: D(x, y, j)}| > |C ∩ {z: D(x, z, j)}|}| ≥ 3

假如讀者覺得上表的真值條件難以明白,可以把一些具體的集合代入上式中的變項,然後嘗試理解該真值條件 的意思。舉例說,如果我們把BOY、GIRL、ROSE、LILY、LIKE和HATE分別代入上表第五行真值條件中的A、B、C 、D、E和F,便可得到

|BOY ∩ {x: X ∩ ROSE ⊆ {z: LIKE(x, z)}}| > |GIRL ∩ {y: X ∩ LILY ⊆ {w: HATE(y, w)}}|,
if |X ∩ ROSE| = 1 ∧ |X ∩ LILY| = 1     (7)

上式中的{z: LIKE(x, z)}代表個體x喜愛的東西的集合,所以{x: X ∩ ROSE ⊆ {z: LIKE(x, z)}}代 表喜愛(當前語境凸顯的)那朵玫瑰的個體組成的集合,而|BOY ∩ {x: X ∩ ROSE ⊆ {z: LIKE(x, z)}}|則代表喜愛那朵玫瑰的男孩的數目。同理,|GIRL ∩ {y: X ∩ LILY ⊆ {w: HATE(y, w)}}| 代表不喜歡那朵百合的女孩的數目。因此,(7)的「斷言」部分是說,喜愛那朵玫瑰的男孩多於不喜歡那朵百合 的女孩。(7)中"if"後面的部分(「預設」部分)則是說,當前語境凸顯的玫瑰和百合分別各有一朵。把上面的「 斷言」和「預設」加起來,便是上面語句(6)的意思。

接著讓我們根據「語義模型1」判斷語句(6)的真假,即判斷「語義模型1」是否滿足(7)。我們首先判斷該句的 「預設」是否得到滿足。由於在論域中ROSE和LILY均為「單元集」,而這兩個集合的元素r和l都在當前語境中 凸顯(即X ∩ ROSE = {r},X ∩ LILY = {l}),所以語句(6)的「預設」得到滿足。接著考慮(7)的「斷 言」部分。我們首先找出BOY中滿足下式的元素x的數目:

X ∩ ROSE ⊆ {z: LIKE(x, z)}     (8)

我們逐一考慮BOY中的兩個元素。當x = c時,{z: LIKE(c, z)} = {l, r}。由於{r} ⊆ {l, r},所以c滿 足(8)。基於相同原理,容易驗證j也滿足(8)。由此求得

|BOY ∩ {x: X ∩ ROSE ⊆ {z: LIKE(x, z)}}| = |{c, j}| = 2

同理我們也可以求得

|GIRL ∩ {y: X ∩ LILY ⊆ {w: HATE(y, w)}}| = |{e}| = 1

由於2 > 1,(7)得到滿足,即語句(6)是真的。

在理論上我們還可以有更複雜的「迭代結構化量詞」,試看以下例句:

More boys than girls recommended the book to the librarian.
More boys recommended the book than the CD to the librarian.
More boys recommended the book to the librarian than to the teacher.
More boys than girls offered their coupons to the shop in exchange for a gift.
......

以上句子的真值條件可以透過把表4中的真值條件擴大至三元、四元以至更高元函項的情況而得。舉例說,上面 第一句便可以抽象為具有以下真值條件的<12,1,1>,3>量詞:

(more ... than ... the ... the)((A, B), C, D)(E) ⇔ |A ∩ {x: X ∩ C ⊆ {z: X ∩ D ⊆ {w: E(x, z, w)}}| >
|B ∩ {y: X ∩ C ⊆ {z: X ∩ D ⊆ {w: E(y, z, w)}}|, if |X ∩ C| = 1 ∧ |X ∩ D| = 1

上式看似很複雜,但只要細心比較,不難看到上式其實只是在表4第一行的真值條件內增加一層「迭代集合」並 且在「預設」部分增加一個條件的結果,所以從邏輯結構上看,上式並沒有對表4第一行的真值條件增加新的內 容。其他更複雜的「迭代結構化量詞」也是如此,因此本文不再深入討論。

5. 迭代模糊量詞

筆者在《廣義量詞系列:特殊單式量詞》中介紹了「模糊量詞」,原則上我 們也可以構成「迭代模糊量詞」(Iterated Fuzzy Quantifier)。但由於「模糊量詞」的真值條件須 運用「模糊數學」上的「隸屬度函數」概念,這類「迭代量詞」涉及較複雜的理論問題。為簡化討論,以下筆 者只集中討論<1,1>型的「模糊量詞」,即論元結構為Q(A)(B)的「模糊量詞」,並規定其「第一論元」A為非模 糊有限集合,「第二論元」B則既可為非模糊集合,也可為模糊集合。

在下面的討論中,我們將須使用兩個「模糊量詞」-"(about 80)"和"(almost every)"。為方 便下文的計算,我們約定這兩個量詞的「隸屬度函數」為:

 exp(−((|A ∩ B| − 78)/2)2),if |A ∩ B| < 78
μ[TRUTH]((about 80)(A)(B)) =1,if 78 ≤ |A ∩ B| ≤ 82     (9)
 exp(−((|A ∩ B| − 82)/2)2),if |A ∩ B| > 82

μ[TRUTH](almost every)(A)(B)) =0,if |A ∩ B| / |A| < 0.67    (10)
exp(−((|A ∩ B| / |A| − 1)/0.33)2),if |A ∩ B| / |A| ≥ 0.67

5.1 半模糊量詞的模糊化

嚴格地說,筆者以往介紹的「模糊量詞」應稱為「半模糊量詞」(Semi-Fuzzy Quantifier),因為這 些「模糊量詞」都是以「非模糊集合」而非「模糊集合」作為論元。當「半模糊量詞」出現於句子中的主語位 置而句中沒有其他「模糊量詞」時,有關「模糊量化句」的真值條件較易求得。試看以下「模糊量化句」:

About 80 students passed all exams.     (11)

我們可以把上句的真值定為

μ[TRUTH]((about 80)(STUDENT)({x: EXAM ⊆ {y: PASS(x, y)}}))

假設在所有考試中均取得及格成績的學生人數為77人,即|STUDENT ∩ {x: EXAM ⊆ {y: PASS(x, y)}}| = 77,那麼把77代入上面(9)中的|A ∩ B|,便可求得語句(11)的真值為0.78。

當句中含有多個「模糊量詞」,而且其中某個「模糊量詞」位於另一個「模糊量詞」的「轄域」之內時,情況 便較為複雜。在此情況下,取「寬域」的「模糊量詞」不能再以「半模糊量詞」的形式出現,這是因為這個量 詞的論元包含模糊集合。試看以下例句:

Almost every boy met about 80 girls.     (12)

在上句中,"(almost every)"取「寬域」,而"(about 80)"則取「窄域」。上句的真值可以表 達為:

μ[TRUTH]((almost every)(BOY)({x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}))

請注意我們不能利用公式(10)求以上真值,這是因為 {x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}是一個模糊集合,我們無法求|BOY ∩ {x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}|的值。為此,我們必須把「半模糊量詞」"(almost every)"模糊化,使它能以模糊集合作為其「第二論元」。在模糊數學上,這種模糊化操作稱為「量詞 模糊化操作」(Quantifier Fuzzification Mechanism)。不同學者提出了不同的「量詞模糊化操作」方案 ,本文採用Losada、Diaz-Hermida和Bugarin在Semi-Fuzzy Quantifiers for Information Retrieval 一文中使用的方案。在介紹這個方案前,我們須先了解模糊數學上的「α-截集」(α-Cut)概念。設 有一個模糊集合B以及區間[0, 1]上的實數α,則B的「α-截集」Bα定義為

Bα = {x ∈ U: μ[B](x) ≥ α}

即論域中對B的隸屬度大於或等於α的所有元素組成的集合。請注意Bα是「非模糊集合 」,例如設B = {1/a, 0.8/b, 0.1/c, 0/d}(註3),則

B0.5 = {a, b}

現在我們可以定義「量詞模糊化操作」。設有「半模糊量詞」Q(A)(B),並假設我們把A中的n個元素 a1 ... an根據其對B的隸屬度按遞減序排列後,得

A = {α1/a1, ... αn/an}

我們並設α0 = 1,αn+1 = 0,則有α0 ≥ α1 ≥ ... αn ≥ αn+1。Q的模糊化Q*的真值為

μ[TRUTH](Q*(A)(B)) = Σ0 ≤ i ≤ n μ[TRUTH](Q(A)(Bαi)) × (αi − αi+1) (註4)     (13)

上式的實質是先把模糊集合B轉化為非模糊集合Bαi,然後求真值 μ[TRUTH](Q(A)(Bαi)),最後求對應於各個αi的真值的「加權平均數」 (Weighted Average),上式中的αi − αi+1其實就是「權數」 (Weight)。

5.2 語義模型2

以下用一個語義模型來說明如何運用公式(13)來求語句(12)的真值。

語義模型2:設在某「論域」下BOY = {a, b, c, d},下表給出BOY中每個元素x所會見女孩的數 目:
x
a
b
c
d
|GIRL ∩ {y: MEET(x, y)}|778575100

我們首先求BOY中每個元素x對模糊集合{x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}的隸屬度,即

μ[TRUTH]((about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)}))

方法是把「語義模型2」提供的|GIRL ∩ {y: MEET(x, y)}|逐個代入上面公式(9)中的|A ∩ B|。例如把 77代入公式(9),得輸出值為0.78,這即是說元素a對{x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}的隸屬 度為0.78。經過一番計算,並把元素排好順序後,求得上述模糊集合(以下把這個集合簡記為B):

B = {x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})} = {0.78/a, 0.11/c, 0.11/b, 0/d}     (14)

接著便可以把公式(13)應用於"(almost every)"、BOY和B。下表列出應用公式(13)進行計算過程的中間 值:

iαiBαiμ[TRUTH]((almost every)(BOY)(Bαi))αi − αi+1
0
1
Φ
0
0.22
1
0.78
{a}
0
0.67
2
0.11
{a, b, c}
0.56
0
3
0.11
{a, b, c}
0.56
0.11
4
0
{a, b, c, d}
1
0
5
0

最後我們求得語句(12)的真值為

0 × 0.22 + 0 × 0.67 + 0.56 × 0 + 0.56 × 0.11 + 1 × 0 = 0.06

上述結果是合理的,這是因為根據「語義模型2」,在四名男孩中,只有一個(即a)可勉強稱得上曾與約80名女 孩會面,所以語句(12)的真值極低。

5.3 "some"的模糊化

「模糊量詞」也可出現於另一「非模糊量詞」的「轄域」內。試看以下例句:

Some boy met about 80 girls.     (15)

請注意我們不能把上句的真值條件寫成

some(BOY)({x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})})
⇔ BOY ∩ {x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})} ≠ Φ

這是因為{x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}是模糊集合。為此我們必須把"some"等「 非模糊量詞」模糊化,使它們能以模糊集合作為其「第二論元」。我們固然可以把公式(13)應用於「非模糊量 詞」,不過由於「非模糊量詞」較為簡單,我們可以有較公式(13)簡單得多的公式。我們先從「非模糊量詞」 "some"入手。根據謂詞邏輯,some(A)(B)可寫成含有「∃」符號的命題。而當A為有限集 時,這個命題又可以進一步改寫成含有邏輯聯結詞「∨」的命題。例如,假設A = {a, b, c},那麼我們有

some(A)(B) ⇔ ∃x ∈ A B(x) ⇔ B(a) ∨ B(b) ∨ B(c) (註5)

我們可以用廣義「∨」符號把上式右端簡化,得到

some(A)(B) ⇔ ∃x ∈ A B(x) ⇔ ∨x ∈ A B(x)     (16)

請注意上式中的廣義「∨」符號類似數學上的「求和」符號Σ,∨x ∈ A B(x)就是 說,把A中的每個元素x逐個代入表達式B(x)中,然後用「∨」把這些表達式連接起來。

接著我們應用模糊數學上對邏輯聯結詞「∨」的模糊化處理。設A為命題集合,則

μ[TRUTH](∨x ∈ A x) = maxx ∈ A μ[TRUTH](x)

在上式中,max代表求「最大值」運算。根據上式,有限個模糊命題的「析取」的真值就是這些命題的真值中最 大的一個(註6)。有了上式,我們便可以把(16)模糊化:設B為模糊集合,則"some"的模糊化 "some*"的真值為

μ[TRUTH](some*(A)(B)) = maxx ∈ A μ[TRUTH](B(x)) = maxx ∈ A μ[B](x) (註7)

根據上式,語句(15)的真值便可以寫成

maxx ∈ BOY μ[{x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}](x)     (17)

我們在上一小節已求得BOY中各元素對{x: (about 80)(GIRL)({y: MEET(x, y)})}的隸屬度(見上面(14) )。在這些隸屬度中,最大值為0.78,所以語句(15)的真值為0.78。

當然我們也可以真接使用公式(13)求語句(15)的真值。下表列出計算過程的中間值:

iαiBαi μ[TRUTH](some(BOY)(Bαi))αi − α i+1
0
1
Φ
0
0.22
1
0.78
{a}
1
0.67
2
0.11
{a, b, c}
1
0
3
0.11
{a, b, c}
1
0.11
4
0
{a, b, c, d}
1
0
5
0

由此求得語句(15)的真值為

0 × 0.22 + 1 × 0.67 + 1 × 0 + 1 × 0.11 + 1 × 0 = 0.78

所得結果與前面的計算結果相符,由此可見本小節介紹的方法跟公式(13)是相通的。

5.4 其他非模糊量詞的模糊化

我們可以把上一小節的方法推廣至其他「非模糊量詞」。我們首先考慮"every"和"(at least 2)"的模糊化。根據謂詞邏輯,"every(A)(B)"可寫成含有「∀」符號的命題,而根據「 ∀」與廣義「∧」運算的對應關係

every(A)(B) ⇔ ∀x ∈ A B(x) ⇔ ∧x ∈ A B(x)

以及模糊數學上「∧」運算與min (即求「最小值」)運算的對應關係

μ[TRUTH](∧x ∈ A x) = minx ∈ A μ[TRUTH](x)

我們可以得到"every"的模糊化"every*"的真值為:

μ[TRUTH](every*(A)(B)) = minx ∈ A μ[B](x)

接著,根據謂詞邏輯,"(at least 2)"的真值條件可寫成

(at least 2)(A)(B) ⇔ ∃x, y ∈ A (x ≠ y ∧ B(x) ∧ B(y))

比較上式與(16)以及根據前述「∨」與「max」以及「∧」與「min」的對應關係,上式相當於:從A中找 出對B的隸屬度最高的兩個元素,並且從這兩個元素中找出隸屬度較小的一個。我們可以把尋找上述元素的運算 簡記為minimax2,minimax2的意思就是「先求最大的兩個值,然後再在這兩個值中求 最小值」。利用這個minimax2,我們可以把"(at least 2)"的模糊化"(at least 2)*"的真值寫成

μ[TRUTH]((at least 2)*(A)(B)) = minimax2x ∈ A μ[B](x)

請注意上式容易推廣為"(at least n)*"的真值。現在我們可以根據(14)求得在「語義模型2」下,語句 "Every boy met about 80 girls."和"At least 2 boys met about 80 girls."的真值分別為

min({0.78, 0.11, 0.11, 0}) = 0
minimax2({0.78, 0.11, 0.11, 0}) = 0.11

至於其他「非模糊量詞」的模糊化,可以根據其與"some"、"every"或"(at least n)" 的邏輯關係而推導出來。下表列出這些邏輯關係:

表5
含有「非模糊量詞」的表達式等價表達式
no(A)(B)
~some(A)(B)
only(A)(B)
every(B)(A)
(more than n)(A)(B)
(at least n + 1)(A)(B)
(at most n)(A)(B)
~(more than n)(A)(B)
(fewer than n)(A)(B)
~(at least n)(A)(B)
(exactly n)(A)(B)
(at least n)(A)(B) ∧ (at most n)(A)(B)
(all except n)(A)(B)
(exactly n)(A)(~B)
(at least q)(A)(B) (q為分數)
(at least m)(A)(B)
其中m = ceiling(q × |A|) (註8)
the(A)(B) (A為單數)
every(X ∩ A)(B), if |X ∩ A| = 1
John(−)(B)
every({j})(B)

利用以上邏輯關係,我們可以推導某些「非模糊量詞」的模糊化的真值。舉例說,根據"no"與 "~some"的等價關係,我們可以得到"no*"的真值為

μ[TRUTH](no*(A)(B)) = 1 − maxx ∈ A μ[B](x)

對於上面的邏輯關係,還有兩點須予以說明。首先,在上表第7行中有~B這個模糊集合,這個集合如何確定?根 據模糊數學,假如某元素對模糊集合B的隸屬度為x,那麼該元素對~B的隸屬度為1 − x。因此給定一個模 糊集合B,我們只需把「論域」中所有元素的隸屬度x變為1 − x,便得到~B。以前面(14)的那個模糊集合 B為例,容易求得

~B = {(1 − 0.78)/a, (1 − 0.11)/c, (1 − 0)/b, (1 − 0)/d} = {0.22/a, 0.89/c, 1/b, 1/d}

其次,上表第6行有一個「∧」符號,根據「∧」與「min」的對應關係,我們可以得到 "(exactly n)*"的真值為

μ[TRUTH]((exactly n)*(A)(B)) = min({μ[TRUTH]((at least n)*(A)(B)), μ[TRUTH]((at most n)*(A)(B))})

如果把上式中的"(at least n)*"和"(at most n)*"的真值具體寫出來,上式便成為

μ[TRUTH]((exactly n)*(A)(B)) = min({minimaxnx ∈ A μ[B](x), 1 − minimaxn+1x ∈ A μ[B](x)})

6. 迭代疑問量詞

6.1 多重疑問句

筆者在《廣義量詞系列:特殊單式量詞》中介紹了「疑問量詞」,指出這種 量詞比一般量詞多了一個「解答論元」,而且這個「解答論元」的值構成「疑問量詞」真值條件的核心。在自 然語言中,我們也可以把多個「疑問量詞」迭代組成「迭代疑問量詞」(Iterated Interrogative Quantifier),包含這種量詞的疑問句稱為「多重疑問句」(Multiple Question)。由於這類「迭代疑 問量詞」由多個「單式疑問量詞」組成,其「解答論元」也較「單式疑問量詞」複雜。舉例說,我們可以把以 下兩句

Who gave what to whom?
Which boys love which girls?

翻譯為

(who ... what ... whom)(−, −, −)(GIVE)
(which ... which)(BOY, GIRL)(LOVE)

「單式疑問量詞」的「解答論元」相當於一個由個體組成的集合。當我們把n個「單式疑問量詞」組合成「迭代 疑問量詞」時,該「迭代疑問量詞」的「解答論元」便是一個由「有序n元組」組成的集合。舉例說,上面的 "(who ... what ... whom)"的「解答論元」便是由「有序三元組」組成的集合,例如(j, b, m) (其中 j、b和m分別代表"John"、"Bible"和"Mary")便可以是這個集合的元素之一。這一處理方式是合理的,因為當我 們問"Who gave what to whom?"時,我們期待的答案正是三個個體x、y和z,其中x把y送給z。下表列出上述「 迭代疑問量詞」的真值條件(以下為簡明起見,略去疑問句的「預設」):

表6
量詞類型論元結構真值條件
<<−,−,−>,3,3>
(who ... what ... whom)(−, −, −)(A)(B)
B = (PERSON × THING × PERSON) ∩ A
<<1,1>,2,2>
(which ... which)(A, B)(C)(D)
D = X2 ∩ (A × B) ∩ C

在上表中,A × B代表由「有序對」(x, y)組成的集合,其中x ∈ A,y ∈ B。X2 則代表由兩個「疑問量詞」"which"引入的「語境集」,它的冪次為2,這是因為我們必須用一個由「有 序對」組成的集合與A × B構成「交集」(構成「交集」的兩個集合必須含有相同類型的元素,否則這個 「交集」只可能是「空集」)。

6.2 混合陳述-疑問量化句

「疑問量詞」亦可以與「陳述量詞」組成「混合陳述-疑問量化句」(Mixed Declarative-Interrogative Quantified Sentence)。舉例說,我們可以把以下兩句

Who likes the teacher?
Which boys introduced which girls to every guest?

翻譯為

(who ... the)(−, TEACHER)(LIKE)
(which ... which ... every)(BOY, GIRL, GUEST)(INTRODUCE)

下表列出上述「迭代疑問量詞」的真值條件:

表7
量詞類型論元結構真值條件
<<−,1>,2,1>
(who ... the)(−, A)(B)(C)
C = PERSON ∩ {x: X ∩ A ⊆ {y: B(x, y)}},
if |X ∩ A| = 1
<<1,1,1>,3,2>
(which ... which ... every)(A, B, C)(D)(E)
E = X2 ∩ (A × B) ∩ {(x, y): C ⊆ {z: D(x, y, z)}}

在以上例句中,各個量詞的相對位置正好對應著它們作為句中謂語的論元的相對位置。舉例說,在上面的語句 "Who likes the teacher?"中,"who"和"the teacher"分別是謂語LOVE的「第一論元」(即主語)和「第二論元」 (即賓語),而它們在「迭代疑問量詞」中的相對位置正好對應著這個次序。

可是,在自然語言中,這種對應關係並不總是成立,這牽涉到各個量詞之間的「轄域」問題。舉例說,在語句

Which girl does John love?

中,"John"和"which girl"分別為LOVE的「第一論元」和「第二論元」,可是由於上句作為一個疑問句,它的 主要語義特徵來自於「疑問量詞」"which girl",因此把上句中的"which girl"置於較寬域位置,對於推導上 句的真值條件會較為方便(註9)。總上所述,上句的論元結構應為

(which ... John)(GIRL, −)(LOVE−1)

但這麼一來,上式中"which"和"John"的相對位置便跟它們作為LOVE的論元的相對位置剛好相反了(所以上式的 「謂詞性論元」要寫成LOVE−1)。不過,在寫出上式的真值條件時,由於我們可以借助個體 變項明確標示量詞與論元之間的對應關係,上述情況不會造成混淆。例如上式的真值條件可以抽象為

(which ... John)(A, −)(B−1)(C) ⇔ C = X ∩ A ∩ {x: B(j, x)}

在上述真值條件中,B內的兩個論元j和x的先後次序明確標示了"John"是B的主語,x是賓語,這樣就不會造成混 淆,所以上式右端的「謂詞性論元」無需寫成B−1的形式。

6.3 疑問句的歧義問題

當「疑問量詞」與位於主語位置的「<−,1>型量詞」every(A)進行迭代時,情況就更為複雜,因 為這類「迭代疑問量詞」存在歧義問題。試看以下例句:

Which girl does every boy love?

上句有至少兩種解讀:「個體解」(Individual Reading)和「偶串列解」(Pair-List Reading)。在前一種解讀 下,上句是問「哪一名女孩是所有男孩都愛的那名(唯一的)女孩」;在後一種解讀下,上句是問「對於每名男 孩而言,他愛哪一名(可能各不相同的)女孩」,前者的解答是一個「單元集」,例如{m};後者的解答則是由「 有序對」組成的集合,例如{(j, m), (t, a), (c, e)},這些「有序對」列出每名男孩以及該名男孩所愛的女 孩。由於上句的歧義與下句的歧義非常相似

Every boy loves some girl.

我們可以把上述疑問句的歧義歸結為量詞的「轄域歧義」問題。現把上句的兩種解讀的論元結構及其真值條件 列於下表:

表8
解讀類型量詞類型論元結構真值條件
個體解
<<1,1>,2,1>
(which ... every)(B, A)(C−1)(D)
D = X ∩ B ∩ {x: A ⊆ {y: C(y, x)}}
偶串列解
<<1,1>,2,2>
(every ... which)(A, B)(C)(D)
D = (A × (X ∩ B)) ∩ C

在上述兩種解讀中,「個體解」可視為「無標記」的解讀,因為在這種解讀下,「疑問量詞」取最寬域。當 「疑問量詞」取窄域時,便會產生「偶串列解」。除了every(A)外,其他位於主語位置、外延明確的 複數「<−,1>型陳述量詞」,例如the(A)、(the n)(A)、John's(A)、(all except John)(A)、"John and Mary"等也會產生「偶串列解」。

以下例句也存在歧義:

Which boys did two dogs bite? (註10)

上句的「個體解」是問:「哪些男孩是被剛好兩隻狗咬了的男孩」。除了這個「無標記」解讀外,根據 Groenendijk和Stokhof的Studies on the Semantics of Questions and the Pragmatics of Answers 一文,上句還有一種「選答解」(Choice Reading),其意思相當於「任選兩隻狗,並且對於每隻狗而言,牠咬 了哪個(些)男孩」。舉例說,設在某論域下DOG = {a, b, c},X ∩ BOY = {d, e, f, g},並且BITE = {(a, d), (b, e), (c, e), (c, f)},那麼上面第一句的解答便可以表達為

D = {(a, d), (b, e)} ∨ D = {(a, d), (c, e), (c, f)} ∨ D = {(b, e), (c, e), (c, f)}

上式由三個命題組成,每個命題代表從DOG的三個元素中任取兩個出來,並且逐個列出這些元素與BOY中哪些元 素存在BITE的關係。上式中的D代表「解答集」,上式為問題"Which boys did two dogs bite?"提供了三種解 答,並把這些解答用「∨」連接起來。筆者認為上句「個體解」與「選答解」的區別也可以歸結為「轄域歧 義」,下表列出上句的兩種解讀的論元結構和真值條件:

表9
解讀類型量詞類型論元結構真值條件
個體解
<<1,1>,2,1>
(which ... exactly 2)(B, A)(C−1)(D)
D = X ∩ B ∩ {x: |A ∩ {y: C(y, x)}| = 2}
選答解
<<1,1>,2,2>
(exactly 2 ... which)(A, B)(C)(D)
E ⊆ A ∧ |E| = 2 [D = (E × (X ∩ B)) ∩ C]

上表第二行的真值條件表示從A中任意選一個含有剛好兩個個體的子集E出來,得到解答D = (E × (X ∩ B)) ∩ C,然後把這些解答用「∨」連接起來。除了(exactly n)(A)外,其他位於主語位 置、外延不明確的複數「<−,1>型陳述量詞」,例如some(A)、(at least n)(A)、 (at most n)(A)、(all except n)(A)、"John or Mary"等也會產生「選答解」。

除了以上解讀外,不同學者還研究了疑問句的其他特殊解讀。試看以下例句:

Which boys did which dogs bite?
Which books did most boys read?

上面第一句除了「個體解」和「偶串列解」外,還有一種「累指解」(Cumulative Reading)。在這種解讀下, 該問題只是從整體上問「哪些男孩被狗咬了以及哪些狗咬了男孩」,而並不是逐個地問「哪個男孩被哪隻狗咬 了」,所以在這種解讀下,"Dolly and Fido bit John and Bill."是合適的解答。

至於上面第二句,該句同樣沒有「偶串列解」,但根據Krifka的Quantifying into Question Acts一文,該句還可以有一種「函項解」(Functional Reading)。在這種解讀下,回答者雖然不 可以逐個地指出哪個男孩讀了哪本書,但卻可以回答為"Their favourite books."。請注意此一解答既不同於 「個體解」,也不同於「偶串列解」,而是類似一個函項,這個函項告訴我們大多數男孩中的每一個與他所讀 的書之間存在甚麼樣的關係。由於「累指解」和「函項解」牽涉頗複雜的問題,這裡不討論它們的真值條件。

7. 定語分句

「定語分句」(Attributive Clause)是指在句中作「定語」(即名詞修飾語)的分句。根據所含謂語的 形式,「定語分句」可分為「關係分句」(Relative Clause)(又稱「限定分句」Finite Clause)、「非限定分 句」(Non-Finite Clause)和「無動詞分句」(Verbless Clause)三種(有關這些分句的介紹請參閱拙文 《論「語結」》)。「定語分句」的語義功能類似「相交形容詞」,可以處理成 集合,並且與代表名詞中心語的集合構成「交集」。不過,由於「定語分句」的內部結構類似一個句子,它本 身也可包含各種量詞。下表列出一些「定語分句」及其集合論表達式:

表10
分句類型定語分句集合論表達式
關係分句
whom some girl loves
{x: GIRL ∩ {y: LOVE(y, x)} ≠ Φ}
非限定分句
loved by John
{x: LOVE(j, x)}
無動詞分句
fond of more than one activity
{x: |ACTIVITY ∩ {y: FOND-OF(x, y)}| > 1}

請注意由於「定語分句」的句法功能相當於一個形容詞,它本身無真假可言,所以在上表中它們都表現為集合 ,而非有真值的命題。如前所述,「定語分句」的主要功能是修飾名詞中心語。如同「相交形容詞」一樣,它 們與代表名詞中心語的集合構成「交集」。

接著我們嘗試把表10中的「定語分句」崁入下表所列的主句中(下表亦提供各個主句的集合論表達式)。

表11
主句集合論表達式
Every boy is happy.
BOY ⊆ HAPPY(e(X'))
Anne introduced the girl to Charles.
X ∩ GIRL ⊆ {x: INTRODUCE(a, x, c)},
if |X ∩ GIRL| = 1
No member showed up.
MEMBER ∩ SHOW-UP = Φ

下表列出把表10的「定語分句」崁入表11主句的結果(紅色部分為被崁入的「定語分句」)。

表12
句子真值條件
Every boy whom some girl loves is happy.
(BOY ∩ {x: GIRL ∩ {y: LOVE(y, x)} ≠ Φ})
⊆ HAPPY(e(X'))
Anne introduced the girl loved by John to Charles.
(GIRL ∩ {x: LOVE(j, x)}) ⊆ {x: INTRODUCE(a, x, c)},
if |GIRL ∩ {x: LOVE(j, x)}| = 1
No member fond of more than one activity showed up.
(MEMBER ∩ {x: |ACTIVITY ∩ {y: FOND-OF(x, y)}| > 1})
∩ SHOW-UP = Φ

從上表容易看到,把「定語分句」崁入主句的實質就是把代表該「定語分句」的集合與代表名詞中心語的集合 構成「交集」。不過,讀者須注意帶有定冠詞"the"的句子的集合論表達式。筆者在 《廣義量詞系列:基本單式量詞》中曾指出定冠詞"the"會引入一個「語境 集」,並用X來代表這個「語境集」。這個X是{x: SALIENT(x)}的縮寫,代表「當前語境凸顯的事物」。請注意 X在這裡是一個動態概念,它的實際所指會隨著語境而變化。可是,當我們在帶有「the + 名詞」後加上「定語 分句」後,情況便有所不同。「定語分句」取代了X的作用,唯一確定了整個名詞短語的所指。換句話說,雖然 短語"the girl"的所指在不同語境下可能各有不同,但"the girl loved by John"的所指卻是唯一確定的(當然 要假定說話者沒有違反"the"的「預設」)。因此,在翻譯"the girl loved by John"時,我們無須再引入X,而 只須把集合GIRL與集合{x: LOVE(j, x)}構成「交集」。

接著我們根據「語義模型1」判斷表12中第二句的真假。首先,由於

|GIRL ∩ {x: LOVE(j, x)}| = |{m}| = 1

該句的「預設」得到滿足。其次,由於

{x: INTRODUCE(a, x, c)} = {m, e}

而{m} ⊆ {m, e},因此該句是真的。

註1:本文為簡化集合的表示法,一般把集合定義中的限定條件「∈ U」略去。此外,本表也使用A(j, m) 代替(j, m) ∈ A的寫法。

註2:儘管像語句(1)這類的句子可能含有多種解讀,但在這眾多解讀中,總有一個是最常見的解讀。例如語句 (1)的最常見解讀就是(every ... some)(BOY, GIRL)(LOVE),因為這個解讀中各限定詞的相對位置與原 句中各限定詞的相對位置完全一致(即"every"在"some"之前)。我們可以把這個最常見的解讀視為這類歧義句的 「無標記解讀」,而把其他解讀視為「有標記解讀」。

註3:這裡採用某些學者的寫法,把模糊集合B的元素寫成x/a的形式。請注意x/a並非分數,而是代表論域中某 一元素及其隸屬度,其中a是元素的名稱,x則是該元素符合B的隸屬度。請注意在模糊數學上,即使某元素a完 全不屬於某模糊集合(即其隸屬度為0),也可以把它寫在B的定義內,其表達形式為0/a。

註4:公式(13)本來是以「定積分」(Definite Integral)的形式出現,但由於現在假設A為有限集,我們可以把 「定積分」改寫為較易理解的「求和」(Summation)形式。

註5:這種在「∃」符號後面帶有限制條件「x ∈ A」的表達式稱為「限制性量化」(Restricted Quantification)。除了這種表達法外,some(A)(B)還可以表達為

∃x(A(x) ∧ B(x))

這種表達法稱為「非限制性量化」(Unrestricted Quantification)。本文採用「限制性量化」是為了方便推導 下文將要介紹的其他「非模糊量詞」的模糊化。

註6:這不是「析取」模糊命題的真值的唯一定義。在模糊數學上,尚有其他多種定義,本文採用的是最簡單的 一種。

註7:嚴格地說,這裡應使用「上確界」(Supremum)代替「最大值」(Maximum)。不過由於對有限集而言,其「 上確界」等同於其「最大值」,所以本文採用較易理解的「最大值」概念。

註8:這裡的ceiling代表這麼一個函數:ceiling(x)為大於x的最小整數,例如ceiling(3.76) = 4。

註9:「生成語法」有關「邏輯式」的理論也認為疑問詞"which girl"作為一種「準量詞」,它的轄域應較專有 名詞"John"為寬。

註10:該句雖然沒有"exactly"一詞,但根據該句的語義,該句中的"two"應理解為"exactly two"。


返回語言學專題
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