廣義量詞系列:量詞的代數性質

1. 引言

筆者在《廣義量詞系列:量詞的普遍性質與操作》中介紹了「守恆性」、 「擴展性」、「同構封閉性」、「邏輯性」等幾種普遍性質,這些性質是「廣義量詞理論」最著重研究的性質 。但除了上述普遍性質外,自然語言的量詞還有一些只屬於部分量詞的特殊性質。在本章,筆者將介紹量詞的 某些「代數性質」。

本文的「代數」並不泛指一般的代數,而是專指與形式語義學有密切關係的「布爾代數」(Boolean Algebra)。Keenan和Faltz在其合著的Boolean Semantics for Natural Language (Studies in Linguistics and Philosophy)一書中把「布爾代數」的概念應用於形式語義學,從而開創了「布爾語 義學」(Boolean Semantics)(「布爾語義學」亦可被看成涵蓋面更廣的「代數語義學」Algebraic Semantics的分支)。「布爾語義學」除了可應用於一般語義研究外,還可應用於量詞性質的研究,本文的主旨 就是從「布爾語義學」的角度考察量詞的某些特殊性質。

2. 布爾代數簡介

2.1 基本定義

這裡首先提供「布爾代數」的定義。「布爾代數」就是一個「六元組」(B, ~, ∨, ∧, 0, 1),其中B為 一個非空集合;「~」為B上的一元運算,稱為「補(Complement)運算」;「∨」和「∧」為B上的二元運 算,分別稱為「并(Join)運算」和「交(Meet)運算」(上述三種運算統稱為「布爾運算」);0和1為B中的兩個元 素,分別稱為「零元」(Zero)和「單位元」(Unit)。上述六元組須滿足以下公理:對B中任何元素x、y、z,均 有

  1. 封閉性:~x ∈ B;(x ∨ y) ∈ B;(x ∧ y) ∈ B
  2. 結合性:((x ∨ y) ∨ z) = (x ∨ (y ∨ z));((x ∧ y) ∧ z) = (x ∧ (y ∧ z))
  3. 交換性:(x ∨ y) = (y ∨ x);(x ∧ y) = (y ∧ x)
  4. 分配性:(x ∧ (y ∨ z)) = ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z));(x ∨ (y ∧ z)) = ((x ∨ y) ∧ (x ∨ z))
  5. 德.摩根律:~(x ∨ y) = (~x ∧ ~y);~(x ∧ y) = (~x ∨ ~y)
  6. 雙重否定律:~(~x) = x
  7. 補元律:(x ∨ ~x) = 1;(x ∧ ~x) = 0
  8. 零元律:(x ∨ 0) = x;(x ∧ 0) = 0
  9. 單位元律:(x ∨ 1) = 1;(x ∧ 1) = x

為行文方便,有時我們可以用集合B代表「布爾代數」而無須寫出整個六元組。請注意我們還須假設與「=」有 關的一些公理,例如「=」為一個「等價關係」(Equivalence Relation);若x = y,則對所有z而言,x ∨ z = y ∨ z;x ∧ z = y ∧ z;以及~x = ~y。利用上述公理,我們已可推出某些結果,例如以下定理 。

定理1對B中任何元素x,均有
 (i) ~1 = 0;~0 = 1
(ii) (x ∨ x) = x;(x ∧ x) = x

為得到更多有用結果,我們還可以在B上定義一個二元關係「≤」如下:對B中任何元素x、y而言,

x ≤ y當且僅當(x ∧ y) = x     (1)

容易證明上述二元關係「≤」是一個「偏序」(Partial Order),此即以下定理。

定理2對B中任何元素x、y、z,均有
 (i) 自反性:x ≤ x
(ii) 反對稱性:若x ≤ y並且y ≤ x,則x = y
(iii) 傳遞性:若x ≤ y並且y ≤ z,則x ≤ z

這裡僅證明「傳遞性」。設x ≤ y並且y ≤ z,那麼根據(1),有(x ∧ y) = x並且(y ∧ z) = y。 由此得((x ∧ y) ∧ (y ∧ z)) = (x ∧ y),即((x ∧ y) ∧ z) = (x ∧ y)。根據 (1),此即(x ∧ y) ≤ z。把(x ∧ y) = x代入上式,得x ≤ z。

請注意二元關係「≤」是「偏序」而非「全序」(Total Order)。一個「偏序」的特點是可能存在「不可比較 」(Incomparable)的元素,我們說集合B中的元素x和y關於「≤」是「不可比較」的當且僅當既非x ≤ y, 亦非y ≤ x。為了以下行文方便,我們還可以定義「≥」、「<」、「>」等二元關係如下:

x ≥ y當且僅當y ≤ x
x < y當且僅當x ≤ y並且x ≠ y
x > y當且僅當x ≥ y並且x ≠ y

利用上述定義,我們還可以推導出「零元」、「單位元」以及三種「布爾運算」與「≤」之間的關係,概括 為以下定理。

定理3對B中任何元素x、y、z,均有
 (i) x ≤ y當且僅當(~x ∨ y) = 1當且僅當(x ∧ ~y) = 0
(ii) x ≤ y當且僅當~y ≤ ~x
(iii) x ≤ y當且僅當(x ∨ y) = y
(iv) 0 ≤ x ≤ 1
(v) (x ∧ y) ≤ x;(x ∧ y) ≤ y
(vi) x ≤ (x ∨ y);y ≤ (x ∨ y)
(vii) x ≤ (y ∧ z)當且僅當x ≤ y並且x ≤ z
(viii) (x ∨ y) ≤ z當且僅當x ≤ z並且y ≤ z

上述定理的證明不難,這裡僅證明(i)的前半部分以作示範。

x ≤ y⇔ (x ∧ y) = x(根據(1))
 ⇔ (~x ∨ ~y) = ~x(「德.摩根律」)
 ⇔ (~x ∨ ~y ∨ y) = (~x ∨ y)      (等號兩端同時以y進行「∨」運算)
 ⇔ (~x ∨ 1) = (~x ∨ y)(「補元律」)
 ⇔ 1 = (~x ∨ y)(「單位元律」)

此外,我們還需要引入「子代數」(Subalgebra)的概念。一個「布爾代數」B的「子代數」就是B的某個子集K, 並且K連同B上的「~」、「∨」、「∧」、0和1本身構成一個「布爾代數」,即三種布爾運算在K上封閉, 並且K包含0和1。

學過數理邏輯的讀者應能發現,上述公理其實是命題邏輯中有關定理的推廣,其中「~」、「∨」和「∧」 分別對應著命題邏輯中的「非」、「或」和「和」運算,0和1則分別對應著「假」和「真」。由於命題邏輯只 有兩種真值,所以命題邏輯為我們提供了以{0, 1}作為集合B的「布爾代數」,因而也是元素數目最少的「非平 凡布爾代數」(只有一個元素的「布爾代數」稱為「平凡布爾代數」)。此外,容易驗證上述的二元關係「≤」 對應著命題邏輯中的「⇒」(x ⇒ y當且僅當並非x = 1且y = 0),由此可見,(1)為我們提供了 「⇒」的另一定義。

除了命題邏輯外,集合論也為我們提供「布爾代數」的實例。設有集合S,那麼六元組(Power(S), ~, ∪, ∩, Φ, S)便構成一個「布爾代數」,其中Power(S)代表S的「冪集」,故稱為「冪集代數」(Powerset Algebra)。這個代數上的元素是S的子集,「~」、「∪」和「∩」分別為相對於S的「補」運算、「并」 運算和「交」運算。容易驗證上述六元組滿足「布爾代數」的公理(事實上,我們知道集合論中有很多與命題邏 輯相似的定理)。

上述二元關係「≤」對應著集合論中的「⊆」關係。請注意「⊆」只構成Power(S)上的「偏序」而 非「全序」,即Power(S)上存在「不可比較」的集合。舉例說,設S = {a, b, c},那麼A = {a, b}和B = {a, c}便是「不可比較」的,因為既非A ⊆ B,亦非B ⊆ A。

容易看到,對於任何集合S而言,{Φ, S}構成上述「冪集代數」的「子代數」,這是因為~Φ = S;~S = Φ;Φ ∪ S = S;Φ ∩ S = Φ,即三種布爾運算在{Φ, S}上封閉。

2.2 完備性與原子性

我們可以在上一小節的公理之上再添加一些性質,從而得到「布爾代數」的某些次類。對於量詞而言,有兩種 性質較為重要,此即本小節要介紹的「完備性」和「原子性」。在介紹這兩種性質前,須先引入「上確界」、 「下確界」、「原子」等概念,這些概念都依賴於由(1)定義的「≤」關係。

設有B的某個子集K,那麼K的「上確界」(Supremum)(記作∨K)就是K的「最小上界」(Least Upper Bound), 即B的某個元素x是K的「上確界」當且僅當

∀y ∈ K (y ≤ x),並且若有B的元素z使得∀y ∈ K (y ≤ z),則x ≤ z。

類似地,K的「下確界」(Infimum)(記作∧K)就是K的「最大下界」(Greatest Lower Bound),即B的某個元 素x是K的「下確界」當且僅當

∀y ∈ K (x ≤ y),並且若有B的元素z使得∀y ∈ K (z ≤ y),則z ≤ x。

我們說B具有「完備性」(Completeness)當且僅當對B的任何子集K而言,均存在∨K和∧K。

接著定義「原子」(Atom)的概念。我們說B的元素b是B中的「原子」當且僅當

b ≠ 0,並且對B中任何元素x而言,若x ≤ b,則x = 0或x = b。

我們說B具有「原子性」(Atomicity)當且僅當對B中所有非零元素x而言,均有B中至少一個「原子」b使得b ≤ x。

根據上述定義,「原子」具有以下性質。

定理4設B為「布爾代數」,x為B中任意元素,b、c為「原子」,則
 (i) (b ∧ x) = 0或(b ∧ x) = b
(ii) b ≤ x和b ≤ ~x兩者中有且只有一項成立
(iii) 若b ≠ c,則(b ∧ c) = 0

這裡僅證明(ii),先證兩者中必有一項成立。設並非b ≤ x,那麼(b ∧ x) ≠ b。根據(i),必有(b ∧ x) = 0。由此根據「定理3(i)」,有b ≤ ~x。其次用反證法證明兩者中只有一項成立,故設b ≤ x 並且b ≤ ~x,那麼根據「定理3(vii)」,有b ≤ (x ∧ ~x),即b ≤ 0。根據「定理3(iv)」,只能 有b = 0,但這與前面假設b為「原子」相矛盾。

在一個「完備原子代數」B中,「原子」擔當著整個「布爾代數」的「構件」(Building Block)的角色,即B中 每個元素都由B的某些「原子」透過「∨」運算構成。確切地說,我們有以下重要定理。

定理5:設B為「完備原子代數」,對B的每個元素x而言,都有x = ∨{b ∈ B: b是B 中的原子且b ≤ x}。

現在讓我們證明上述定理。設B為「完備原子代數」,x為B的任意元素,現把集合{b ∈ B: b是B中的原子 且b ≤ x}記作K,那麼我們的目標是證明x = ∨K。首先,由於對K中所有元素b,都有b ≤ x,x是K的一 個「上界」;而∨K是K的「最小上界」,故有∨K ≤ x。

其次用反證法證明x ≤ ∨K,故設x ~≤ ∨K。根據「定理3(i)」,有(x ∧ ~(∨K)) ≠ 0。 根據B的「原子性」,我們有一個「原子」y使得y ≤ (x ∧ ~(∨K))。根據「定理3(vii)」,這等價於 (i) y ≤ x並且(ii) y ≤ ~(∨K)。根據(i),我們有y ∈ K,並因而有y ≤ ∨K (因∨K是 K的一個「上界」)。根據(ii)和「定理3(ii)」,我們有∨K ≤ ~y。綜合以上兩個不等式和根據「≤」 的「傳遞性」,我們有y ≤ ~y。根據(1),這等價於(y ∧ ~y) = y。由此得到0 = y,但這與前面假設y 為「原子」相矛盾。綜合以上兩段,x = ∨K得證。

上一小節介紹的「冪集代數」都具有「完備性」和「原子性」。首先,集合論中有「廣義并」和「廣義交」這 兩種運算,即對一族集合(不一定有限)進行「并」和「交」運算,這兩種運算便相當於前述的「上確界」和「 下確界」,因此「冪集代數」具有「完備性」。

其次,「單元集」(即包含剛好一個元素的集合)相當於「冪集代數」中的「原子」,因為「單元集」不等於空 集,而且僅以空集或自身作為子集,符合以上有關「原子」的定義。而且,由於任何一個非空集合都必然包含 至少一個「單元集」作為其子集,因此「冪集代數」具有「原子性」。

「單元集」也滿足「定理4」中「原子」的性質,例如對於Power(S)中任何集合A和任何「單元集」{a},{a} ⊆ A和{a} ⊆ ~A兩者必居且只居其一。而且由於「冪集代數」是「完備原子代數」,此一代數也滿足 「定理5」,即Power(S)中任何集合A都可表達為A = ∪{{a}: a ∈ S且{a} ⊆ A},例如{a, b, c} = {a} ∪ {b} ∪ {c}。

2.3 理想與濾子

接下來要介紹一般「布爾代數」中的兩個特殊子集:「理想」與「濾子」。設B為「布爾代數」,我們說B的子 集I為B的「理想」(Ideal)當且僅當I滿足以下條件:對任何元素x、y而言,

  1. 非空性:0 ∈ I
  2. 有限并封閉性:若x, y ∈ I,則(x ∨ y) ∈ I
  3. 遞減性:若x ∈ I和y ≤ x,則y ∈ I

「濾子」是「理想」的對偶概念。具體地說,我們說B的子集F為B的「濾子」(Filter)當且僅當F滿足以下條件 :對任何元素x、y而言,

  1. 非空性:1 ∈ F
  2. 有限交封閉性:若x, y ∈ F,則(x ∧ y) ∈ F
  3. 遞增性:若x ∈ I和x ≤ y,則y ∈ F

我們還可以對上述定義附加一些條件,從而定義一些特殊的「理想」和「濾子」。我們把一個「理想」I稱為「 主理想」(Principal Ideal)當且僅當I存在一個唯一最大元素x,因此一個「主理想」I可以表達為{y ∈ B: y ≤ x},稱為「由x生成的主理想」。對偶地,我們把一個「濾子」F稱為「主濾子」(Principal Filter)當且僅當F存在一個唯一最小元素x,因此一個「主濾子」F可以表達為{y ∈ B: y ≥ x},稱為 「由x生成的主濾子」。

請注意以上「主理想」和「主濾子」的集合定義分別符合上文中「理想」和「濾子」的定義。以「主理想」為 例,I = {y ∈ B: y ≤ x}顯然滿足「非空性」和「遞減性」,我們要證明的是「有限并封閉性」。設 y, y' ∈ I,那麼我們有y ≤ x和y' ≤ x。根據(1),上兩式等價於(y ∧ x) = y和(y' ∧ x) = y'。因此((y ∨ y') ∧ x) = ((y ∧ x) ∨ (y' ∧ x)) = (y ∨ y'),亦即(y ∨ y') ≤ x,所以(y ∨ y') ∈ I,「有限并封閉性」得證。由此可見,上述「主理想」I的定義符合「理想 」的定義,同理亦易證上述「主濾子」F的定義符合「濾子」的定義。

對於「濾子」,我們還可以定義「超濾子」(Ultrafilter)的概念(註1)。我們把一個「濾子」F稱為「超濾子」 當且僅當對於B中任何元素x而言,要麼x ∈ F,要麼~x ∈ F。當然我們還可以把「超濾子」與前述的 「主濾子」概念結合起來,從而得到「主超濾子」(Principal Ultrafilter)的概念。根據上述定義,一個「主 超濾子」F可以表達為{y ∈ B: y ≥ x},並且對於B中任何元素z而言,要麼z ≥ x,要麼~z ≥ x 。

由於「≤」對應著「冪集代數」上的「⊆」,容易看到在「冪集代數」Power(S)上,「由X生成的主理想 」和「由X生成的主濾子」(其中X為S的子集)可分別表達為{Y ∈ Power(S): Y ⊆ X}和{Y ∈ Power(S): Y ⊇ X}。在上述「由X生成的主濾子」的表達式中,當X為「單元集」時,所得「主濾子」便同 時是一個「超濾子」(亦即「主超濾子」)。舉例說,設S = {a, b, c},那麼

F= {Y ∈ Power(S): Y ⊇ {a}}
 = {{a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}

便是一個「超濾子」。容易驗證上式符合「超濾子」的定義,即對於S的任何子集Z而言,要麼Z ∈ F,要 麼~Z ∈ F,例如由於{b, c}不屬於F,必有~{b, c} = {a}屬於F。

並非所有「主濾子」都是「超濾子」。舉例說,仍設S = {a, b, c},那麼

F'= {Y ∈ Power(S): Y ⊇ {a, b}}
 = {{a, b}, {a, b, c}}

便不是「超濾子」,這是因為存在S的子集{b}使得{b}和~{b} = {a, c}都不屬於F'。

請注意由於某一「布爾代數」B的「理想」I和「濾子」F是B中元素組成的集合,I和F是Power(B)的元素。如果 我們把Power(B)也看成一個「冪集代數」,那麼Power(B)是比B較高階的「布爾代數」。換句話說,I和F既可以 看成某一「冪集代數」中的元素,也可以看成另一較低階「布爾代數」的「理想」和「濾子」。

3. 量詞與布爾代數

3.1 <1>型量詞代數

以下討論量詞與「布爾代數」的關係,首先從「<1>型量詞」說起。「<1>型量詞」包括「<−,1>型量詞」 (例如"somebody")、「<1,1>型量詞 + 普通名詞」(例如"(most boys)")、「 <12,1>型量詞 + 一對普通名詞」(例如"(more boys than girls)",這種量詞可被看成由 集合組成的集合,以下提供上述三個量詞的集合定義(在以下定義中,U為論域,PERSON、BOY和GIRL為U的子集) :

somebody = {B ∈ Power(U): PERSON ∩ B ≠ Φ}
(most boys) = {B ∈ Power(U): |BOY ∩ B| > |BOY − B|}
(more boys than girls) = {B ∈ Power(U): |BOY ∩ B| > |GIRL ∩ B|}

由於「<1>型量詞」可被看成集合,我們可以從「<1>型量詞」推導出相應的「冪集代數」,以下稱為「<1> 型量詞代數」。這種代數的元素就是各種「<1>型量詞」,以下把由「<1>型量詞」組成的集合記作Q<1>, Q<1>上的三種「布爾運算」就是「冪集代數」上的「~」、「∪」、「∩」運算。舉例說,設U = {a, b, c},那麼

(every {a}) = {{a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}
(some {b, c}) = {{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

據此,我們有

~(every {a}) = {Φ, {b}, {c}, {b, c}}
(every {a}) ∩ (some {b, c}) = {{a, b}, {a, c}, {a, b, c}}

Q<1>上的「單位元」和「零元」分別為「恆真量詞」(以1表示)和「恆假量詞」(以0表示),其集合定義分別為

1 = Power(U)
0 = Φ

Q<1>上的「≤」關係則對應著「冪集代數」上的「⊆」關係,而這種關係又相當於「<1>型量詞」之間的 蘊涵關係,例如由於對所有集合B而言,

(at least 2 persons)(B) ⇒ somebody(B)

我們可以把此一蘊涵關係重新表述為以下「⊆」關係:

(at least 2 persons) ⊆ somebody

Q<1>作為一種「冪集代數」,也具有「完備性」和「原子性」。首先,「冪集代數」上的「廣義并」和「廣義 交」運算亦適用於Q<1>。其次,根據2.2小節,「冪集代數」上的「原子」就是「單元集」,因此Q<1>上的「原 子」就是形式為{B}的「單元集」,其中B ∈ Power(U)。不過,自然語言中可以表達為上述形式的量詞並 不多,以下列出這些量詞及其集合定義:

all = {U}
(all and only boys) = {BOY}
(John and only John) = {{j}}
(John and Mary and only John and Mary) = {{j, m}} (註2)

根據「定理5」,上述「單元集」可作為其他「<1>型量詞」的構件,若我們只考慮量詞的「外延」,這一點是 正確的。舉例說,前述的「<1>型量詞」"(every {a})"便可以表達為

(every {a}) = {{a}} ∪ {{a, b}} ∪ {{a, c}} ∪ {{a, b, c}}

請注意{{a}}、{{a, b}}、{{a, c}}和{{a, b, c}}都是Power(U)中的「單元集」。

3.2 限定詞代數

我們還可以進一步推導與「限定詞」(即「<1,1>型量詞」)相關的「布爾代數」,不過「限定詞」的情況較為複 雜,因為它們不能表達為簡單的集合。本文沿用Keenan和Faltz的理論,把「限定詞」處理成把集合映射為「 <1>型量詞」的函項,這是因為當我們把一個「限定詞」作用於一個集合(相當於一個「普通名詞短語」)後,便 可得到一個「<1>型量詞」。舉例說,「限定詞」"every"、"some"和"only"便可表達為 以下函項:對U中任意集合A,

every(A) = {B ∈ Power(U): A ⊆ B}
some(A) = {B ∈ Power(U): A ∩ B ≠ Φ}
only(A) = {B ∈ Power(U): A ⊇ B}

當論域U的元素數目很少時,我們可以列出上述函項的所有輸入值和輸出值,例如設U = {a, b},那麼 "every"、"some"和"only"又可以分別表達為

every =Φ → {Φ, {a}, {b}, {a, b}}     (2)
{a} → {{a}, {a, b}}
{b} → {{b}, {a, b}}
{a, b} → {{a, b}}

some =Φ → Φ    (3)
{a} → {{a}, {a, b}}
{b} → {{b}, {a, b}}
{a, b} → {{a}, {b}, {a, b}}

only =Φ → {Φ}     (4)
{a} → {Φ, {a}}
{b} → {Φ, {b}}
{a, b} → {Φ, {a}, {b}, {a, b}}

接著我們推導相應的「限定詞代數」,這種代數的元素就是各種「限定詞」。以下把由「限定詞」組 成的集合記作DET,並把DET的三種「布爾運算」仍然記作「~」、「∪」、「∩」,其定義如下:設Q, Q' ∈ DET,則對U中任意集合A,有

(~Q)(A) = ~(Q(A))
(Q ∪ Q')(A) = Q(A) ∪ Q'(A)
(Q ∩ Q')(A) = Q(A) ∩ Q'(A)

換句話說,上述三種「布爾運算」被定義為「點式函項」(Pointwise Function),因此DET實質上是一種「點式 函項代數」(Pointwise Functional Algebra)。以上述的"every"和"only"為例,根據上述關於 「∩」的定義,我們有

(everyonly)(A)= every(A) ∩ only(A)
 = {B ∈ Power(U): A ⊆ B} ∩ {B ∈ Power(U): A ⊇ B}
 = {B ∈ Power(U): A = B}

當論域U的元素數目很少,例如U = {a, b}時,我們亦可列出上述函項的所有輸入值和輸出值如下:

(everyonly) =Φ → {Φ}     (5)
{a} → {{a}}
{b} → {{b}}
{a, b} → {{a, b}}

同理,我們可以把DET的「單位元」和「零元」分別定義為以下常值函項:對U中任意集合A,

1(A) = Power(U)
0(A) = Φ

我們還可定義DET上的「=」和「⊆」關係如下:設Q, Q' ∈ DET,

Q = Q'當且僅當對U中所有集合A,均有Q(A) = Q'(A)     (6)
Q ⊆ Q'當且僅當對U中所有集合A,均有Q(A) ⊆ Q'(A)     (7)

當然我們也可以把(1)應用於DET上,從而得到「⊆」關係的另一個定義:

Q ⊆ Q'當且僅當Q ∩ Q' = Q     (8)

容易證明(7)與(8)是等價的。

DET也具有「完備性」。設K為DET的子集,那麼我們可以定義「限定詞」∪K和∩K如下:對U中任意集合A ,

∪K(A) = ∪{Q(A): Q ∈ K}
∩K(A) = ∩{Q(A): Q ∈ K}

由於Q(A) ∈ Q<1>,而Q<1>是完備的,所以以上定義是合理的。請注意任給U中集合A,∪K(A)和 ∩K(A)分別為{Q(A): Q ∈ K}的「上確界」和「下確界」。由於此一結果對任意A都成立,所以∪K 和∩K分別為K的「上確界」和「下確界」。

最後考慮DET的「原子性」。設A、B為論域U中的任意集合,那麼我們可以定義「限定詞」 Q1A,B如下:

Y ∈ Q1A,B(X)當且僅當X = A並且Y = B     (9)

以下是上述「限定詞」的一個實例,設U = {a, b},那麼

Q1{a, b},{b} =Φ → Φ
{a} → Φ
{b} → Φ
{a, b} → {{b}}

Q1A,B就是DET上的「原子」,它們可作為其他「限定詞」的構件。舉例說,前面(5)的 「限定詞」"(everyonly)"便可以表達為

(everyonly) = Q1Φ,Φ ∪ Q1{a},{a} ∪ Q1{b},{b} ∪ Q1{a, b},{a, b}

讀者可不妨寫出上式中的四個「構件」,然後根據前述「限定詞」的「∪」運算的定義,證明上式是正確的 。

3.3 作為理想或濾子的量詞

量詞除了本身可構成一種「布爾代數」外,還可作為另一個較低階的「布爾代數」的「理想」或「濾子」。舉 例說,「<1>型量詞」

nobody = {B ∈ Power(U): PERSON ∩ B = Φ}

就是「冪集代數」上的「理想」。容易證明上述集合符合2.3小節中給出的「理想」定義。首先,Φ顯然屬 於上述集合。其次,根據"nobody"的「遞減性」,可知上述集合滿足「理想」定義中的「遞減性」。最 後,設B和B'為U的兩個子集使得PERSON ∩ B = Φ並且PERSON ∩ B' = Φ,那麼B ∪ B'也是 U的子集,而且PERSON ∩ (B ∪ B') = (PERSON ∩ B) ∪ (PERSON ∩ B') = Φ,即上述 集合滿足「理想」定義中的「有限并封閉性」。

由於根據集合論,PERSON ∩ B = Φ等價於B ⊆ ~PERSON而且~PERSON是U的子集,我們可以把 "nobody"的集合定義改寫為

nobody = {B ∈ Power(U): B ⊆ ~PERSON}

由此可見,我們可以把"nobody"看成「由~PERSON生成的主理想」。一般地,對於U的任意子集A, "(no A)"可被看成「由~A生成的主理想」。

請注意並非所有具有「遞減性」的「<1>型量詞」都是「冪集代數」上的「理想」。舉例說,

(fewer than 3 A) = {B ∈ Power(U): |A ∩ B| < 3}

便不滿足「理想」的定義。儘管上述集合滿足「非空性」和「遞減性」,但並不滿足「有限并封閉性」:設A = {a, b, c, d},B = {a, b},B' = {a, c},那麼B和B'屬於上述集合,但B ∪ B' = {a, b, c}卻不屬於上 述集合。

其次討論「冪集代數」上的「濾子」。根據2.3小節的討論,集合(在以下定義中,A為包含多於一個元素的U的 子集)

(every A) = {B ∈ Power(U): A ⊆ B}
John = {B ∈ Power(U): {j} ⊆ B}
(John and Mary) = {B ∈ Power(U): {j, m} ⊆ B}

分別是「由A生成的主濾子」、「由{j}生成的主濾子」和「由{j, m}生成的主濾子」,其中只有"John" 兼為一個「超濾子」。

請注意儘管

(some A) = {B ∈ Power(U): A ∩ B ≠ Φ}

滿足「非空性」和「遞增性」,但並不滿足「有限交封閉性」:設A = {a, b, c},B = {a, d},B' = {b, d} ,那麼B和B'屬於上述集合,但B ∩ B' = {d}卻不屬於上述集合。由此可見,"(some A)"不是「冪 集代數」上的「濾子」。

4. 限定詞代數的子代數

4.1 右守恆性

在上一節,筆者介紹了最一般的「限定詞」及相應的「限定詞代數」。現在如果我們對「限定詞」附加某些性 質,便會得到DET的子集,如果三種布爾運算在這個子集上封閉,便可產生相應的「子代數」。在本節,筆者將 介紹DET的幾種「子代數」。

在「限定詞」的眾多性質中,「右守恆性」是最重要的性質,在上一章已有詳細介紹,這裡只擬討論「右守恆 性」所產生的「子代數」。為方便與下文要介紹的其他性質比較,本文採用「右守恆性」的以下定義:「限定 詞」Q是「右守恆」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C,均有

若A ∩ B = A ∩ C,則B ∈ Q(A) ⇔ C ∈ Q(A) (註3)      (10)

以下把由「右守恆限定詞」組成的集合記作CONSr。我們要證明三種布爾運算在CONSr 上是封閉的。以「∩」運算為例,設Q, Q' ∈ CONSr以及A ∩ B = A ∩ C,那麼我 們有

B ∈ (Q ∩ Q')(A)⇔ B ∈ Q(A) ∩ Q'(A)(限定詞「∩」的 定義)
 ⇔ B ∈ Q(A) ∧ B ∈ Q'(A)(<1>型量詞「∩」的定義)
 ⇔ C ∈ Q(A) ∧ C ∈ Q'(A)   (根據(10))
 ⇔ C ∈ Q(A) ∩ Q'(A)(<1>型量詞「∩」的定義)
 ⇔ C ∈ (Q ∩ Q')(A)(限定詞「∩」的定義)

由此證得Q ∩ Q' ∈ CONSr,即「∩」運算在CONSr上封閉。同理易證其餘 兩種「布爾運算」在CONSr上也是封閉的。此外,由於對任何集合A、B、C,恆有B ∈ 1(A)、C ∈ 1(A)、B ~∈ 0(A)和C ~∈ 0(A),易見「限定詞」1和0也屬於CONSr。總上所述, CONSr構成DET的一個「子代數」。

CONSr作為DET的「子代數」,也從DET那裡繼承了其「完備性」,這是因為「限定詞」的「上/下 確界」定義亦適用於「右守恆限定詞」,而且「上/下確界」(即「廣義并/交」)運算在CONSr上 是封閉的。最後討論CONSr的「原子性」。設A、B為論域U中的任意集合,那麼我們可以定義 Q2A,B如下:

Y ∈ Q2A,B(X)當且僅當X = A並且X ∩ Y = B     (11)

以下是上述「限定詞」的一個實例:

Q2{b},{b} =Φ → Φ
{a} → Φ
{b} → {{b}, {a, b}}
{a, b} → Φ

上述定義顯示,當X = A並且X ∩ Y = X ∩ Y' = B時,Y, Y' ∈ Q2A,B(X);在所有其他情況下,Y, Y' ~∈ Q2A,B(X), 因此Q2A,B ∈ CONSr。Q2A,B就是 CONSr上的「原子」,它們可作為其他「右守恆限定詞」的構件。舉例說,前面(3)的「限定詞」 "some"是一個「右守恆限定詞」,它可以表達為

some = Q2{a},{a} ∪ Q2{b},{b} ∪ Q2{a, b},{a} ∪ Q2{a, b},{b} ∪ Q2{a, b},{a, b}

筆者在上一章還介紹了「左守恆性」,其定義為:Q是「左守恆」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C,均有

若A ∩ C = B ∩ C,則C ∈ Q(A) ⇔ C ∈ Q(B)     (12)

以下把由「左守恆限定詞」組成的集合記作CONSl。由於「左守恆性」的重要性不及「右守恆性」 ,本文不擬詳述CONSl的代數結構,只想指出CONSl也具有「完備性」和「原子性」, 其「原子」就是以下的「限定詞」Q3A,B

Y ∈ Q3A,B(X)當且僅當Y = A並且X ∩ Y = B     (13)

以下是上述「限定詞」的一個實例:

Q3{b},{b} =Φ → Φ
{a} → Φ
{b} → {b}
{a, b} → {b}

讀者可自行驗證Q3A,B ∈ CONSl。根據上一章的討論,前面(4)的「 限定詞」"only"是一個「左守恆限定詞」,這個「限定詞」可以用Q3A,B表達 為

only = Q3Φ,Φ ∪ Q3{a},{a} ∪ Q3{b},{b} ∪ Q3{a, b},{a, b}

4.2 對稱性與逆否性

4.2.1 對稱性

在本小節,筆者要介紹「限定詞」的另一種重要性質-「對稱性」(Symmetry),其定義為:Q是「對 稱」的當且僅當對U中的任意集合A、B,均有

B ∈ Q(A) ⇔ A ∈ Q(B)     (14)

以下把由「對稱限定詞」組成的集合記作SYM。筆者在《廣義量詞系列:直接推 理的革新》中曾指出,「限定詞」"some"、"no"、"(more than n)"、" (between m and n)"、"(an even number of)"、"(exactly n)"、"(no except John)"等都屬於SYM,這些「限定詞」都可進行「對稱性推理」。

SYM構成DET的一個「子代數」,其證明方法跟4.1小節的方法大同小異,這裡不再重複。SYM也具有「完備性」 和「原子性」,其「原子」就是以下的「限定詞」Q4A,B

Y ∈ Q4A,B(X)當且僅當X = A和Y = B,或者X = B和Y = A     (15)

以下是上述「限定詞」的一個實例:

Q4{a},{b} =Φ → Φ
{a} → {{b}}
{b} → {{a}}
{a, b} → Φ

我們可以把「對稱限定詞」表達為Q4A,B的并。舉例說,前面(3)的「限定詞」 "some"便可以表達為

some = Q4{a},{a} ∪ Q4{b},{b} ∪ Q4{a},{a, b} ∪ Q4{b},{a, b} ∪ Q4{a, b},{a, b}

請注意上述「對稱性」的定義(14)只適用於「限定詞」(即有兩個論元的量詞),為擴大「對稱性」定義的適用 性,筆者在這裡引入Zuber在Symmetric and contrapositional quantifiers一文中提出的另一定義:Q 是「對稱」的當且僅當存在一個具有「交換性」(Commutativity)的二元函項F (即對任何集合A、B,F(A, B) = F(B, A)),使得對U中的任意集合A、B、C、D,均有

若F(A, B) = F(C, D),則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)     (16)

舉例說,對於「對稱限定詞」"some",相關的交換二元函項F就是:

F(A, B) = A ∩ B

容易驗證"some"的真值條件連同上述函項F符合(16)的定義。

現在讓我們證明上述定義是合理的,即Q根據(14)的定義是「對稱」的當且僅當(16)成立。首先設Q根據(14)的 定義是「對稱」的,我們定義以下的二元真值函項F:F(A, B) = 1當且僅當B ∈ Q(A),那麼根據(14),F 具有「交換性」。根據此一函項的定義,我們必有若F(A, B) = F(C, D),則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C),即(16)成立。其次設(16)成立。由於函項F具有「交換性」,我們有F(A, B) = F(B, A)。由此根據(16) ,必有B ∈ Q(A) ⇔ A ∈ Q(B),即Q根據(14)是「對稱」的。

接著讓我們推導「局部對稱限定詞」總數的計算公式。筆者在上一章中指出,「局部限定詞」的總數等於 2x,其中x為可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於有限論域U來說,A和B都可以為U的任何一 個子集,而U的子集總數為2|U|。可是,對於「局部對稱限定詞」來說,「子集對」(A, B)與(B, A)被視為相同,即在計算「子集對」的總數時,不應考慮A、B的先後次序。從「組合學」的角度看,這相當於 從2|U|類物件中可重覆地抽2個出來的「無限重覆組合」問題。根據 《點算的奧秘:無限重覆的排列組合問題》,這個問題的解為

 C(2|U| + 2 − 1, 2)
=(2|U| + 1)! / (2! × (2|U| − 1)!)
=(2|U| + 1) × 2|U| − 1

因此「局部對稱限定詞」的總數為

2x,其中x = (2|U| + 1) × 2|U| − 1     (17)

根據上式,可知在只有兩個元素的論域中,可能存在的「局部對稱限定詞」總數為210 = 1024。

4.2.2 逆否性

接著要介紹與「對稱性」有密切關係的另一種性質-「逆否性」(Contrapositivity),其定義為:Q 是「逆否」的當且僅當對U中的任意集合A、B,均有

B ∈ Q(A) ⇔ ~A ∈ Q(~B)     (18)

以下把由「逆否限定詞」組成的集合記作CONTR。筆者在《廣義量詞系列:直接 推理的革新》中曾指出,「限定詞」"every"、"only"、"(all except n)"、 "(all except John)"、"(apart from John only)"等都屬於CONTR,這些「限定詞」都可進行 「逆否性推理」。

CONTR也是DET的一個「完備原子子代數」,其「原子」就是以下的「限定詞」Q5A,B

Y ∈ Q5A,B(X)當且僅當X = A和Y = B,或者X = ~B和Y = ~A     (19)

以下是上述「限定詞」的一個實例:

Q5{a},Φ =Φ → Φ
{a} → {Φ}
{b} → Φ
{a, b} → {{b}}

我們可以把「逆否限定詞」表達為Q5A,B的并。舉例說,前面(2)的「限定詞」 "every"便可以表達為

every = Q5Φ,Φ ∪ Q5Φ,{a} ∪ Q5Φ,{b} ∪ Q5Φ,{a, b} ∪ Q5{a},{a}

「逆否性」的定義(18)也有另一個等價定義如下:Q是「逆否」的當且僅當存在一個具有「交換性」的二元函項 F,使得對U中的任意集合A、B、C、D,均有

若F(A, ~B) = F(C, ~D),則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)     (20)

容易證明上述定義與前面的(18)等價,證明方法與4.2.1小節的大同小異。

如前所述,CONTR與SYM有密切關係,兩者的關係可概括為以下定理:

定理6設Q為「限定詞」,則Q ∈ SYM ⇔ Q~r ∈ CONTR,其中Q~r代表Q的「右論元否定」,其定義為B ∈ Q~r(A) ⇔ ~B ∈ Q(A)。

接著讓我們證明上述定理。根據(14),Q ∈ SYM當且僅當對所有A、B,B ∈ Q(A) ⇔ A ∈ Q(B)。根據Q~r的定義,我們可以把上式改寫為~B ∈ Q~r(A) ⇔ ~A ∈ Q~r(B)。但上式又等價於B ∈ Q~r(A) ⇔ ~A ∈ Q~r(~B)。 根據(18),此即Q~r ∈ CONTR。

「定理6」中的關係不僅存在於SYM與CONTR之間,也存在於以下要介紹的其他「限定詞」性質之間。為此,筆者 要引入「右補性質」(Right-Complemented Property或Right Co-Property)(註4)的概念。設P、P'為DET的子集 ,這些子集亦可看成「限定詞」的性質,我們說P'是P的「右補性質」當且僅當對任何「限定詞」Q,均有

Q ∈ P ⇔ Q~r ∈ P'

此外,由於(Q~r)~r = Q,上述P與P'的關係是相互的,即若P'是P的「右補性質」,則 P也是P'的「右補性質」。根據上述定義和「定理6」,SYM與CONTR互為對方的「右補性質」。

利用「定理6」,可以推知SYM與CONTR存在一一對應關係,我們可以在這兩個集合的元素之間建立一個映射,把 Q映射為Q~r。由於每個「限定詞」有且僅有一個「右論元否定」,上述映射是一個「雙射」 (Bijection)。由此可知「局部逆否限定詞」的總數與「局部對稱限定詞」的總數相同,即都可用公式(17)計算 。

「對稱/逆否性」與「右守恆性」是互相獨立的性質。具有「右守恆性」的「限定詞」不一定都具有「對稱/ 逆否性」,反之亦然。舉例說,"(exactly 1/2)"便是右守恆而既非對稱、又非逆否的「限定詞」。此 外,以下「限定詞」I(J)

B ∈ I(A)當且僅當|A| = |B|
B ∈ J(A)當且僅當|A| = |~B|

則是對稱(逆否)而非右守恆的。不過,這類「限定詞」都不是自然語言中存在的「限定詞」。

4.3 相交性與右補相交性

4.3.1 相交性

「相交性」(Intersectivity)的定義如下:Q是「相交」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D,均 有

若A ∩ B = C ∩ D,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)     (21)

以下把由「相交限定詞」組成的集合記作INT。容易驗證4.2.1小節提過的「對稱限定詞」都屬於INT,但4.2.2 小節提過的「限定詞」I卻不屬於INT。INT是DET的一個「完備原子子代數」,其「原子」就是以下的「限定詞」 Q6A

Y ∈ Q6A(X)當且僅當X ∩ Y = A     (22)

自然語言中形如"no except ..."的「例外限定詞」就是上述「限定詞」的實例,例如"(no except John)"便等於Q6{j}。上述「限定詞」還可作為其他「相交限定詞」的構件。舉例 說,前面(3)的「限定詞」"some"便可以表達為:

some = Q6{a} ∪ Q6{b} ∪ Q6{a, b}

接著推導「局部相交限定詞」總數的計算公式,這裡的關鍵是求出可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於 「局部相交限定詞」來說,所有具有相同「交集」A ∩ B的(A, B)都被視作等同,所以在計算「子集對」的 總數時,我們只須計算可能存在的「交集」總數,此一總數等於U的子集總數,即2|U|。因此「局 部相交限定詞」的總數為

2x,其中x = 2|U|     (23)

根據上式,可知在只有兩個元素的論域中,可能存在的「局部相交限定詞」總數為24 = 16。

4.3.2 右補相交性

「右補相交性」(Right Co-Intersectivity)(註5)的定義如下:Q是「右補相交」的當且僅當對論域U 中的任意集合A、B、C、D,均有

若A − B = C − D,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)      (24)

以下把由「右補相交限定詞」組成的集合記作RC-INT。容易驗證4.2.2小節提過的「逆否限定詞」,除了 "only"、"(apart from John only)"和J以外,都屬於RC-INT (註6)。RC-INT是DET的一個「完 備原子子代數」,其「原子」就是以下的「限定詞」Q7A

Y ∈ Q7A(X)當且僅當X − Y = A     (25)

自然語言中形如"all except ..."的「例外限定詞」就是上述「限定詞」的實例,例如"(all except John)"便等於Q7{j}。請注意儘管"every"在表面上不是「例外限定詞」, 但我們可以把"every"理解為等同於"(all except none)",由此我們有

every = Q7Φ

RC-INT與INT具有以下關係:

定理7:Q ∈ INT ⇔ Q~r ∈ RC-INT。

接著讓我們證明上述定理。根據(21),Q ∈ INT當且僅當對所有A、B、C、D,若A ∩ B = C ∩ D, 則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)。上句等價於若A ∩ ~B = C ∩ ~D,則~B ∈ Q(A) ⇔ ~D ∈ Q(C)。根據集合「補」運算和Q~r的定義,我們可以把上句改寫為若A − B = C − D,則B ∈ Q~r(A) ⇔ D ∈ Q~r(C)。根據(24),此即 Q~r ∈ RC-INT。

「定理7」說明,INT與RC-INT互為對方的「右補性質」,證實「右補相交性」此一名稱是合理的。此外,利用 「定理7」,還可推知INT與RC-INT存在一一對應關係。由此可知「局部右補相交限定詞」的總數與「局部相交 限定詞」的總數相同,即都可用公式(23)計算。

4.4 基數性與右補基數性

4.4.1 基數性

「基數性」(Cardinality)的定義如下:Q是「基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D,均有

若|A ∩ B| = |C ∩ D|,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C) (註7)     (26)

以下把由「基數限定詞」組成的集合記作CARD。容易驗證「限定詞」"some"、"no"、"(more than n)"、"(at most n)"、"(exactly n)"、"(between m and n)"、"(no except n)"等都屬於CARD。CARD是DET的一個「完備原子子代數」,其「原子」就是以下的「限定詞」 Q8n (其中n代表非負整數):

Y ∈ Q8n(X)當且僅當|X ∩ Y| = n     (27)

自然語言中的「限定詞」"(exactly n)"和"no" (等於"(exactly 0)"就是上述「限定詞 」的實例,上述「限定詞」還可作為其他「基數限定詞」的構件。舉例說,設U = {a, b, c},那麼「限定詞」 "(at least 2)"便可以表達為:

(at least 2) = Q82 ∪ Q83

接著推導「局部基數限定詞」總數的計算公式,我們要求出可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於「局部 基數限定詞」來說,所有具有相同「交集基數」|A ∩ B|的(A, B)都被視作等同,所以在點算「子集對」的 數目時,我們只須點算可能存在的「交集基數」。對於任一論域U,可能存在的「交集基數」共有|U| + 1個, 即0 ... |U|。因此「局部基數限定詞」的總數為

2|U| + 1     (28)

根據上式,可知在只有兩個元素的論域中,可能存在的「局部基數限定詞」總數為23 = 8。

4.4.2 右補基數性

「右補基數性」(Right Co-Cardinality)的定義如下:Q是「右補基數」的當且僅當對U中的任意集合 A、B、C、D,均有

若|A − B| = |C − D|,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)     (29)

以下把由「右補基數限定詞」組成的集合記作RC-CARD。容易驗證「限定詞」"every"、"(all except n)"、"(all except at most n)"等都屬於RC-CARD。RC-CARD是DET的一個「完備原子子代 數」,其「原子」就是以下的「限定詞」Q9n

Y ∈ Q9n(X)當且僅當|X − Y| = n     (30)

自然語言中的「限定詞」"(all except n)"和"every" (等於"(all except 0)"就是上 述「限定詞」的實例,上述「限定詞」還可作為其他「右補基數限定詞」的構件。舉例說,設U = {a, b, c}, 那麼「限定詞」"(all except at most 2)"便可以表達為:

(all except at most 2) = Q90 ∪ Q91 ∪ Q92

RC-CARD與CARD具有以下關係:

定理8:Q ∈ CARD ⇔ Q~r ∈ RC-CARD。

上述定理的證明方法與「定理7」大同小異,這裡不擬重覆。利用「定理8」,可以推知CARD與RC-CARD存在一一 對應關係。由此可知「局部右補基數限定詞」的總數與「局部基數限定詞」的總數相同,即都可用公式(28)計 算。

4.5 與基數相關的其他性質

4.5.1 右比例性與右補右比例性

在本小節,筆者介紹其他與基數相關的性質,首先介紹「右比例性」(Right Proportionality),其 定義為:Q是「右比例」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D,均有

若|C| × |A ∩ B| = |A| × |C ∩ D|,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C) (註8)     (31)

以下把由「右比例限定詞」組成的集合記作PROPORTr。請注意上述定義中的等式其實是下式的變形 :

|A ∩ B| / |A| = |C ∩ D| / |C|

這裡之所以採用(31)而非上述形式,是為了確保在A或C為空集時不致出現無定義的情況。容易驗證「限定詞」 "some"、"no"、"(more than q)"、"(at most q)"、"(exactly q)"、 "(between p and q)"等都屬於PROPORTr。PROPORTr是DET的一個「完備原子子 代數」,其「原子」就是以下的「限定詞」Q10q (其中q代表0與1之間的分數):

Y ∈ Q10q(X)當且僅當|X ∩ Y| = q × |X|     (32)

自然語言中的「限定詞」"(exactly q)"就是上述「限定詞」的實例,上述「限定詞」還可作為其他「 右比例限定詞」的構件。舉例說,設U = {a, b, c},那麼「限定詞」"(more than 1/2)"便可以表達為 :

(more than 1/2) = Q102/3 ∪ Q101

接著推導「局部右比例限定詞」總數的計算公式。請注意如果我們只考慮「限定詞」的外延,那麼「局部右比 例限定詞」的數目是有限的。舉例說,設|U| = 2,那麼儘管2/3和3/4是不同的分數,但"(more than 2/3)"和"(more than 3/4)"在U中卻是外延相同的「限定詞」(即都等於"every")。對於「 局部右比例限定詞」來說,所有具有相同比例|A ∩ B| / |A|的「子集對」(A, B)都被視作等同,所以我們 只須點算可能存在的分數。為免重覆點算,我們只應點算不能再約簡的分數,即分子與分母「互質」 (Relatively Prime)的分數。根據數論,兩個數「互質」是指該兩個數除了1外沒有其他公因數。這裡要應用到 數論上的「歐拉φ函數」(Euler Phi Function):給定一個正整數n,φ(n)就是少於n並與n互質的正整 數的數目。例如φ(8) = 4,因為少於8並與8互質的正整數共有4個,即1、3、5、7。

利用上述概念,我們便可以推導「局部右比例限定詞」總數的計算公式。我們分別考慮分母和分子的可能值。 對於任一論域U,分母的可能值為1 ... |U|。對於每一個可作為分母的值i,共有φ(i)個少於i並與i互質的 值可作為分子。此外,我們還要再增添一個分數0。因此可能存在的分數的總數就是1 + Σ1 ≤ i ≤ |U| φ(i),而「局部右比例限定詞」的總數就是

2x,其中x = 1 + Σ1 ≤ i ≤ |U| φ(i)     (33)

根據上式,可知在只有兩個元素的論域中,可能存在的「局部右比例限定詞」總數為23 = 8。當然 ,當|U|很大時,上述公式並不實用,因為計算φ(i)本身便不是簡單的事,需要用到更多數論的知識,對此 本文不擬再作深入討論。

我們還可以定義「右補右比例性」(Right-Complemented Right Proportionality)如下:Q是「右補 右比例」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D,均有

若|C| × |A − B| = |A| × |C − D|,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)     (34)

以下把由「右補右比例限定詞」組成的集合記作RC-PROPORTr。RC-PROPORTr的「原子 」就是以下的「限定詞」Q11q

Y ∈ Q11q(X)當且僅當|X − Y| = q × |X|     (35)

自然語言中的「限定詞」"(all except q)"就是上述「限定詞」的實例。容易證明 RC-PROPORTr與PROPORTr具有以下關係:

定理9:Q ∈ PROPORTr ⇔ Q~r ∈ RC-PROPORTr

「定理9」告訴我們「局部右補右比例限定詞」的總數也可用公式(33)計算。

4.5.2 右廣義基數性

「右廣義基數性」(Right Generalized Cardinality)的定義為:Q是「右廣義基數」的當且僅當對U 中的任意集合A、B、C,均有

若|A ∩ B| = |A ∩ C|,則B ∈ Q(A) ⇔ C ∈ Q(A) (註9)     (36)

把(36)跟(10)比較一下,容易看到「右廣義基數性」與「右守恆性」之間的關係就像「基數性」與「相交性」 的關係那樣。以下把由「右廣義基數限定詞」組成的集合記作GCARDr。容易驗證4.4小節介紹的「 基數限定詞」和「右補基數限定詞」以及4.5.1小節介紹的「右比例限定詞」和「右補右比例限定詞」都是「右 廣義基數」的。GCARDr是DET的一個「完備原子子代數」,其「原子」就是以下的「限定詞」 Q12A,n

Y ∈ Q12A,n(X)當且僅當X = A並且|X ∩ Y| = n     (37)

以下是上述「限定詞」的一個實例:

Q12{a},1 =Φ → Φ
{a} → {{a}, {a, b}}
{b} → Φ
{a, b} → Φ

上述「限定詞」可作為其他「右廣義基數限定詞」的構件。舉例說,前面(3)的「限定詞」 "some"便可 以表達為

some = Q12{a},1 ∪ Q12{b},1 ∪ Q12{a, b},1 ∪ Q12{a, b},2

接著推導「局部廣義基數限定詞」總數的計算公式。我們首先要求所有可能的「子集對」(A, B)的總數,此一 總數既取決於A,又取決於|A ∩ B|,我們逐一考慮這兩個「參項」。首先,給定論域U,U的每一個子集都 可能為A。根據組合學,在U的子集中,有C(|U|, 0)個含有0個元素、C(|U|, 1)個含有1個元素 ... C(|U|, |U|)個含有|U|個元素。換句話說,在A的可能值中,共有C(|U|, 0)個使得|A| = 0、C(|U|, 1)個使得|A| = 1 ... C(|U|, |U|)個使得|A| = |U|。

其次,在確定了A後,|A ∩ B|的可能值則有|A| + 1個,即0, ... |A|。請注意這|A| + 1個可能值是完全 可能實現的,因為我們可以從A中依次任意抽取0, ... |A|個元素出來以構成B。換句話說,對應著每個A,我們 有|A| + 1個不同的「子集對」(A, B)。綜合以上結果,我們知道對於「局部廣義基數限定詞」來說,可能的「 子集對」(A, B)的總數為

 Σ0 ≤ i ≤ |U| [(i + 1) × C(|U|, i)]
=Σ0 ≤ i ≤ |U| [i × C(|U|, i)] + Σ0 ≤ i ≤ |U| C(|U|, i)
=|U| × 2|U| − 1 + 2|U|
=2|U| − 1 × (|U| + 2)

請注意上面倒數第二行應用了組合學中的兩個恆等式。至此求得「局部右廣義基數限定詞」的總數為

2x,其中x = 2|U| − 1 × (|U| + 2)      (38)

根據上式,可知在只有兩個元素的論域中,可能存在的「局部右廣義基數限定詞」總數為28 = 256。

我們還可以定義「右補右廣義基數性」(Right-Complemented Right Generalized Cardinality)如下 :Q是「右補右廣義基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D,均有

若|A − B| = |A − C|,則B ∈ Q(A) ⇔ C ∈ Q(A)     (39)

以下把由「右補右廣義基數限定詞」組成的集合記作RC-GCARDr。不過,由於|A| = |A ∩ B| + |A − B| = |A ∩ C| + |A − C|,我們有

|A ∩ B| = |A ∩ C| ⇔ |A − B| = |A − C|

利用上式並且比較(36)和(39),容易得到

定理10:GCARDr = RC-GCARDr

4.6 各個子代數之間的關係

至此筆者已介紹了DET的多種「子代數」,在本小節我們要看看這些「子代數」之間的關係。我們首先有以下包 含關係:

定理11(i) CARD ⊂ INT ⊂ CONSr
 (ii) RC-CARD ⊂ RC-INT ⊂ CONSr
 (iii) INT ⊂ SYM
 (iv) RC-INT ⊂ CONTR
 (v) CARD ∪ RC-CARD ∪ PROPORTr ∪ RC-PROPORTr ⊆ GCARDr ⊂ CONSr

上述定理的證明並不困難,以下僅證明(iv)以作示範。設Q ∈ RC-INT。根據集合論,我們有以下一系列等 式:A − B = A ∩ (~B) = (~B) ∩ (~(~A)) = (~B) − (~A)。根據RC-INT的定義(24),我 們有B ∈ Q(A) ⇔ ~A ∈ Q(~B)。根據CONTR的定義(18),得Q ∈ CONTR,由此證得RC-INT ⊆ CONTR。根據4.2.2小節,「限定詞」J ∈ CONTR。可是J卻不是右守恆的,因此根據「定理11(ii)」 ,J不屬於RC-INT,由此證得RC-INT ≠ CONTR。

除了上述包含關係外,各個「子代數」之間還有以下相交關係:

定理12(i) CONSr ∩ SYM = INT
 (ii) CONSr ∩ CONTR = RC-INT
 (iii) GCARDr ∩ SYM = CARD
 (iv) GCARDr ∩ CONTR = RC-CARD

以下僅證明(i),其餘各點的證明類此。為證明(i),我們要分別證明(I) INT ⊆ CONSr ∩ SYM和(II) CONSr ∩ SYM ⊆ INT。根據「定理11(i)和(iii)」,(I)是成立的,所以我們 只需證明(II)。為此,設Q ∈ CONSr ∩ SYM以及A ∩ B = C ∩ D。那麼我們有(在 以下證明中,我們要依次用到以下等式:A ∩ B = A ∩ (A ∩ B)、(A ∩ B) ∩ A = (A ∩ B) ∩ (A ∩ B)、(C ∩ D) ∩ (C ∩ D) = (C ∩ D) ∩ C、C ∩ (C ∩ D) = C ∩ D):

B ∈ Q(A)⇔ A ∩ B ∈ Q(A)(Q ∈ CONSr)
 ⇔ A ∈ Q(A ∩ B)(Q ∈ SYM)
 ⇔ A ∩ B ∈ Q(A ∩ B)(Q ∈ CONSr)
 ⇔ C ∩ D ∈ Q(C ∩ D)    (A ∩ B = C ∩ D)
 ⇔ C ∈ Q(C ∩ D)(Q ∈ CONSr)
 ⇔ C ∩ D ∈ Q(C)(Q ∈ SYM)
 ⇔ D ∈ Q(C)(Q ∈ CONSr)

最後,根據INT的定義(21),可知Q ∈ INT,即(II)成立,「定理12(i)」得證。

現把「定理11」和「定理12」的結果總結成下圖(為免使下圖過於複雜,下圖略去了PROPORTr和 RC-PROPORTr):

5. <12,1>型量詞代數

我們可以把上述內容擴展至「結構化量詞」。為簡化討論,以下僅介紹「<12,1>型量詞」的代數結 構。「<12,1>型量詞」可被看成把「集合有序對」映射為「<1>型量詞」的函項,例如"(more ... than ...)"和"(exactly q more ... than ...)"便可表達為以下函項:對U中任意集合A、B以 及介於0與1之間的百分數q,

(more ... than ...)(A, B) = {C ∈ Power(U): |A ∩ C| > |B ∩ C|}
(exactly q more ... than ...)(A, B) = {C ∈ Power(U): |A ∩ C| / |B ∩ C| = 1 + q}

因此我們可以沿用3.2小節介紹的「點式函項」,推導出「<12,1>型量詞代數」,以下把 由「<12,1>型量詞」組成的集合記作Q<12,1>。由於當前學界對Q<12,1>的 研究尚少,有關Q<12,1>的研究成果遠遠不及DET那樣豐富,因此以下只擬介紹Q<12,1> 的某些「子代數」,以作為第4節某些概念的推廣。

首先考慮Q<12,1>的「守恆性」。正如筆者在上一章指出的,對於「<12,1>型量詞」而 言,只有一種「守恆性」(即「第3論元守恆性」)具有實用意義,因此以下無須像DET那樣區分不同的「守恆性」 。現把Q<12,1>的「守恆性」定義覆述如下:「<12,1>型量詞」Q是「守恆」的當且僅 當對U中的任意集合A、B、C、C',均有

若A ∩ C = A ∩ C'並且B ∩ C = B ∩ C',則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A, B)     (40)

基於在DET中「右廣義基數性」與「右守恆性」在定義上的相似性,Q<12,1>的「廣義基數性」可以 定義如下:Q是「廣義基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、C',均有

若|A ∩ C| = |A ∩ C'|並且|B ∩ C| = |B ∩ C'|,則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A, B)     (41)

基於類推原則,我們可以把第4節介紹過的「相交性」、「補相交性」、「基數性」、「補基數性」、「比例性 」、「補比例性」也推廣至Q<12,1> (請注意在Q<12,1>中,我們也無須區分「右/左 補性質」)。以下列出Q具有這些性質所應符合的條件,這些條件都涉及U中的任意集合A、B、C、A'、B'、C'。

相交性:

若A ∩ C = A' ∩ C'並且B ∩ C = B' ∩ C',則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (42)

補相交性:

若A − C = A' − C'並且B − C = B' − C',則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (43)

基數性:

若|A ∩ C| = |A' ∩ C'|並且|B ∩ C| = |B' ∩ C'|,則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (44)

補基數性:

若|A − C| = |A' − C'|並且|B − C| = |B' − C'|,則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (45)

比例性:

若|A'| × |B'| × |A ∩ C| = |A| × |B| × |A' ∩ C'|並且|A'| × |B'| × |B ∩ C| = |A| × |B| × |B' ∩ C'|,
則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (46)

補比例性:

若|A'| × |B'| × |A − C| = |A| × |B| × |A' − C'|並且 |A'| × |B'| × |B − C| = |A| × |B| × |B' − C'|,
則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (47)

最後考慮「對稱性」與「逆否性」,由於這兩種性質的通常定義(14)和(18)只適用於「限定詞」,我們必須改 用上文4.2小節提供的等價定義(16)和(20)。以下給出Q具有「對稱性」和「逆否性」所應符合的條件,這些條 件都涉及U中的任意集合A、B、C、A'、B'、C'。

Q是「對稱」的當且僅當存在一個具有「交換性」的二元函項F,使得

若F(A, C) = F(A', C')並且F(B, C) = F(B', C'),則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (48)

Q是「逆否」的當且僅當存在一個具有「交換性」的二元函項F,使得

若F(A, ~C) = F(A', ~C')並且F(B, ~C) = F(B', ~C'),則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B')     (49)

舉例說,前述的「<12,1>型量詞」"(more ... than ...)"便是「對稱」的,與之相關的交 換二元函項F就是:

F(A, B) = |A ∩ B|

容易驗證"(more ... than ...)"的真值條件連同上述函項F符合(48)的定義。

註1:其實本文定義的「理想」與「環論」(Ring Theory)中「理想」的定義是相通的,因為我們可以把一個「 布爾代數」改寫成一個「環」(稱為「布爾環」Boolean Ring),因此我們亦可以定義相關的「理想」概念,包 括「質理想」(Prime Ideal)、「極大理想」(Maximal Ideal)等。不過,由於這些內容與量詞關係不大,本文 不擬介紹。

註2:最後這兩個量詞顯得很累贅,這是為了避免引起歧義。其實,在日常語言中,這兩個量詞通常分別簡化為 "(only John)"和"(only John and Mary)"。

註3:此一定義與《廣義量詞系列:量詞的普遍性質與操作》中的(3)有兩 點不同。首先,本文只考慮「局部量詞」,因此所有量詞符號無需加上下標。其次,由於本文把DET定義為一種 「點式函項代數」,所以這裡把「限定詞」表達成把集合映射為集合族的函項。

註4:筆者在《廣義量詞系列:對偶性推理進階》中討論了「限定詞」的七 種否定運算,因此除了「右補性質」(請注意「補」就是「否定」的意思)外,應該還有「左補」、「左右補」 、「外補」、「右對偶」、「左對偶」、「左右對偶」等性質,其定義跟「右補性質」類似。但為免使本文內 容過於龐雜,本文不擬討論「右補性質」以外的性質。另請注意由於大多數學者只研究「右補性質」,所以通 常都把「右補性質」簡稱為「補性質」(Co-Property)。

註5:「相交性」又稱為「廣義存在性」(Generalized Existentiality)或「動詞短語正性」(VP-Positivity) ;「右補相交性」又稱為「廣義全稱性」(Generalized Universality)或「動詞短語負性」(VP-Negativity)。

註6:"only"和"(apart from John only)"雖非「右補相交限定詞」,但卻是「左補相交限定詞 」,惟本文不擬討論「左補相交性」。

註7:請注意不要把「基數性」與《廣義量詞系列:量詞的普遍性質與操作》 中介紹的「數量性」或「邏輯性」相混淆。從「子集對」的角度看,「基數性」把所有滿足|A ∩ B| = |C ∩ D|的「子集對」(A, B)和(C, D)視作等同,而「數量性」或「邏輯性」則規定A、B、C、D須滿足更嚴 格的條件,(A, B)和(C, D)才被視為等同。因此「基數限定詞」在數目上比「數量限定詞」和「邏輯限定詞」 都少。

註8:理論上,我們還可以定義「左比例性」,其條件為:若|D| × |A ∩ B| = |B| × |C ∩ D|,則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)。但為簡化討論,本文不介紹這種性質。

註9:理論上,我們還可以定義「左廣義基數性」,其條件為:若|A ∩ C| = |B ∩ C|,則C ∈ Q(A) ⇔ C ∈ Q(B)。但為簡化討論,本文不介紹這種性質。


返回語言學專題
<script type="text/javascript">(function (d, w) {var x = d.getElementsByTagName('SCRIPT')[0];var f = function () {var s = d.createElement('SCRIPT');s.type = 'text/javascript';s.async = true;s.src = "//np.lexity.com/embed/YW/be0aa169de7f441c6473361be62c9ef6?id=ddad453e7753";x.parentNode.insertBefore(s, x);};w.attachEvent ? w.attachEvent('onload',f) :w.addEventListener('load',f,false);}(document, window));</script>