現在讓我們證明上述定理。設B為「完備原子代數」，x為B的任意元素，現把集合{b ∈ B: b是B中的原子且b ≤ x}記作K，那麼我們的目標是證明x = ∨K。首先，由於對K中所有元素b，都有b ≤ x，x是K的一個「上界」；而∨K是K的「最小上界」，故有∨K ≤ x。
其次用反證法證明x ≤ ∨K，故設x ~≤ ∨K。根據「定理3(i)」，有(x ∧ ~(∨K)) ≠ 0。根據B的「原子性」，我們有一個「原子」y使得y ≤ (x ∧ ~(∨K))。根據「定理3(vii)」，這等價於(i) y ≤ x並且(ii) y ≤ ~(∨K)。根據(i)，我們有y ∈ K，並因而有y ≤ ∨K (因∨K是K的一個「上界」)。根據(ii)和「定理3(ii)」，我們有∨K ≤ ~y。綜合以上兩個不等式和根據「≤」的「傳遞性」，我們有y ≤ ~y。根據(1)，這等價於(y ∧ ~y) = y。由此得到0 = y，但這與前面假設y為「原子」相矛盾。綜合以上兩段，x = ∨K得證。
上一小節介紹的「冪集代數」都具有「完備性」和「原子性」。首先，集合論中有「廣義并」和「廣義交」這兩種運算，即對一族集合(不一定有限)進行「并」和「交」運算，這兩種運算便相當於前述的「上確界」和「下確界」，因此「冪集代數」具有「完備性」。
其次，「單元集」(即包含剛好一個元素的集合)相當於「冪集代數」中的「原子」，因為「單元集」不等於空集，而且僅以空集或自身作為子集，符合以上有關「原子」的定義。而且，由於任何一個非空集合都必然包含至少一個「單元集」作為其子集，因此「冪集代數」具有「原子性」。
「單元集」也滿足「定理4」中「原子」的性質，例如對於Power(S)中任何集合A和任何「單元集」{a}，{a} ⊆ A和{a} ⊆ ~A兩者必居且只居其一。而且由於「冪集代數」是「完備原子代數」，此一代數也滿足「定理5」，即Power(S)中任何集合A都可表達為A = ∪{{a}: a ∈ S且{a} ⊆ A}，例如{a, b, c} = {a} ∪ {b} ∪ {c}。
2.3 理想與濾子
接下來要介紹一般「布爾代數」中的兩個特殊子集：「理想」與「濾子」。設B為「布爾代數」，我們說B的子集I為B的「理想」(Ideal)當且僅當I滿足以下條件：對任何元素x、y而言，
- 非空性：0 ∈ I
- 有限并封閉性：若x, y ∈ I，則(x ∨ y) ∈ I
- 遞減性：若x ∈ I和y ≤ x，則y ∈ I
「濾子」是「理想」的對偶概念。具體地說，我們說B的子集F為B的「濾子」(Filter)當且僅當F滿足以下條件：對任何元素x、y而言，
- 非空性：1 ∈ F
- 有限交封閉性：若x, y ∈ F，則(x ∧ y) ∈ F
- 遞增性：若x ∈ I和x ≤ y，則y ∈ F
我們還可以對上述定義附加一些條件，從而定義一些特殊的「理想」和「濾子」。我們把一個「理想」I稱為「主理想」(Principal Ideal)當且僅當I存在一個唯一最大元素x，因此一個「主理想」I可以表達為{y ∈ B: y ≤ x}，稱為「由x生成的主理想」。對偶地，我們把一個「濾子」F稱為「主濾子」(Principal Filter)當且僅當F存在一個唯一最小元素x，因此一個「主濾子」F可以表達為{y ∈ B: y ≥ x}，稱為「由x生成的主濾子」。
請注意以上「主理想」和「主濾子」的集合定義分別符合上文中「理想」和「濾子」的定義。以「主理想」為例，I = {y ∈ B: y ≤ x}顯然滿足「非空性」和「遞減性」，我們要證明的是「有限并封閉性」。設y, y' ∈ I，那麼我們有y ≤ x和y' ≤ x。根據(1)，上兩式等價於(y ∧ x) = y和(y' ∧ x) = y'。因此((y ∨ y') ∧ x) = ((y ∧ x) ∨ (y' ∧ x)) = (y ∨ y')，亦即(y ∨ y') ≤ x，所以(y ∨ y') ∈ I，「有限并封閉性」得證。由此可見，上述「主理想」I的定義符合「理想」的定義，同理亦易證上述「主濾子」F的定義符合「濾子」的定義。
對於「濾子」，我們還可以定義「超濾子」(Ultrafilter)的概念(註1)。我們把一個「濾子」F稱為「超濾子」當且僅當對於B中任何元素x而言，要麼x ∈ F，要麼~x ∈ F。當然我們還可以把「超濾子」與前述的「主濾子」概念結合起來，從而得到「主超濾子」(Principal Ultrafilter)的概念。根據上述定義，一個「主超濾子」F可以表達為{y ∈ B: y ≥ x}，並且對於B中任何元素z而言，要麼z ≥ x，要麼~z ≥ x。
由於「≤」對應著「冪集代數」上的「⊆」，容易看到在「冪集代數」Power(S)上，「由X生成的主理想」和「由X生成的主濾子」(其中X為S的子集)可分別表達為{Y ∈ Power(S): Y ⊆ X}和{Y ∈ Power(S): Y ⊇ X}。在上述「由X生成的主濾子」的表達式中，當X為「單元集」時，所得「主濾子」便同時是一個「超濾子」(亦即「主超濾子」)。舉例說，設S = {a, b, c}，那麼
| F | = {Y ∈ Power(S): Y ⊇ {a}} |
| = {{a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} |
便是一個「超濾子」。容易驗證上式符合「超濾子」的定義，即對於S的任何子集Z而言，要麼Z ∈ F，要麼~Z ∈ F，例如由於{b, c}不屬於F，必有~{b, c} = {a}屬於F。
並非所有「主濾子」都是「超濾子」。舉例說，仍設S = {a, b, c}，那麼
| F' | = {Y ∈ Power(S): Y ⊇ {a, b}} |
| = {{a, b}, {a, b, c}} |
便不是「超濾子」，這是因為存在S的子集{b}使得{b}和~{b} = {a, c}都不屬於F'。
請注意由於某一「布爾代數」B的「理想」I和「濾子」F是B中元素組成的集合，I和F是Power(B)的元素。如果我們把Power(B)也看成一個「冪集代數」，那麼Power(B)是比B較高階的「布爾代數」。換句話說，I和F既可以看成某一「冪集代數」中的元素，也可以看成另一較低階「布爾代數」的「理想」和「濾子」。
3. 量詞與布爾代數
3.1 <1>型量詞代數
以下討論量詞與「布爾代數」的關係，首先從「<1>型量詞」說起。「<1>型量詞」包括「<−,1>型量詞」(例如"somebody")、「<1,1>型量詞 + 普通名詞」(例如"(most boys)")、「<12,1>型量詞 + 一對普通名詞」(例如"(more boys than girls)"，這種量詞可被看成由集合組成的集合，以下提供上述三個量詞的集合定義(在以下定義中，U為論域，PERSON、BOY和GIRL為U的子集)：
(most boys) = {B ∈ Power(U): |BOY ∩ B| > |BOY − B|}
(more boys than girls) = {B ∈ Power(U): |BOY ∩ B| > |GIRL ∩ B|}
由於「<1>型量詞」可被看成集合，我們可以從「<1>型量詞」推導出相應的「冪集代數」，以下稱為「<1>型量詞代數」。這種代數的元素就是各種「<1>型量詞」，以下把由「<1>型量詞」組成的集合記作Q<1>，Q<1>上的三種「布爾運算」就是「冪集代數」上的「~」、「∪」、「∩」運算。舉例說，設U = {a, b, c}，那麼
(some {b, c}) = {{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
據此，我們有
(every {a}) ∩ (some {b, c}) = {{a, b}, {a, c}, {a, b, c}}
Q<1>上的「單位元」和「零元」分別為「恆真量詞」(以1表示)和「恆假量詞」(以0表示)，其集合定義分別為
0 = Φ
Q<1>上的「≤」關係則對應著「冪集代數」上的「⊆」關係，而這種關係又相當於「<1>型量詞」之間的蘊涵關係，例如由於對所有集合B而言，
我們可以把此一蘊涵關係重新表述為以下「⊆」關係：
Q<1>作為一種「冪集代數」，也具有「完備性」和「原子性」。首先，「冪集代數」上的「廣義并」和「廣義交」運算亦適用於Q<1>。其次，根據2.2小節，「冪集代數」上的「原子」就是「單元集」，因此Q<1>上的「原子」就是形式為{B}的「單元集」，其中B ∈ Power(U)。不過，自然語言中可以表達為上述形式的量詞並不多，以下列出這些量詞及其集合定義：
(all and only boys) = {BOY}
(John and only John) = {{j}}
(John and Mary and only John and Mary) = {{j, m}} (註2)
根據「定理5」，上述「單元集」可作為其他「<1>型量詞」的構件，若我們只考慮量詞的「外延」，這一點是正確的。舉例說，前述的「<1>型量詞」"(every {a})"便可以表達為
請注意{{a}}、{{a, b}}、{{a, c}}和{{a, b, c}}都是Power(U)中的「單元集」。
3.2 限定詞代數
我們還可以進一步推導與「限定詞」(即「<1,1>型量詞」)相關的「布爾代數」，不過「限定詞」的情況較為複雜，因為它們不能表達為簡單的集合。本文沿用Keenan和Faltz的理論，把「限定詞」處理成把集合映射為「<1>型量詞」的函項，這是因為當我們把一個「限定詞」作用於一個集合(相當於一個「普通名詞短語」)後，便可得到一個「<1>型量詞」。舉例說，「限定詞」"every"、"some"和"only"便可表達為以下函項：對U中任意集合A，
some(A) = {B ∈ Power(U): A ∩ B ≠ Φ}
only(A) = {B ∈ Power(U): A ⊇ B}
當論域U的元素數目很少時，我們可以列出上述函項的所有輸入值和輸出值，例如設U = {a, b}，那麼"every"、"some"和"only"又可以分別表達為
| every = | Φ → {Φ, {a}, {b}, {a, b}} | (2) |
| {a} → {{a}, {a, b}} | ||
| {b} → {{b}, {a, b}} | ||
| {a, b} → {{a, b}} |
| some = | Φ → Φ | (3) |
| {a} → {{a}, {a, b}} | ||
| {b} → {{b}, {a, b}} | ||
| {a, b} → {{a}, {b}, {a, b}} |
| only = | Φ → {Φ} | (4) |
| {a} → {Φ, {a}} | ||
| {b} → {Φ, {b}} | ||
| {a, b} → {Φ, {a}, {b}, {a, b}} |
接著我們推導相應的「限定詞代數」，這種代數的元素就是各種「限定詞」。以下把由「限定詞」組成的集合記作DET，並把DET的三種「布爾運算」仍然記作「~」、「∪」、「∩」，其定義如下：設Q, Q' ∈ DET，則對U中任意集合A，有
(Q ∪ Q')(A) = Q(A) ∪ Q'(A)
(Q ∩ Q')(A) = Q(A) ∩ Q'(A)
換句話說，上述三種「布爾運算」被定義為「點式函項」(Pointwise Function)，因此DET實質上是一種「點式函項代數」(Pointwise Functional Algebra)。以上述的"every"和"only"為例，根據上述關於「∩」的定義，我們有
| (every ∩ only)(A) | = every(A) ∩ only(A) |
| = {B ∈ Power(U): A ⊆ B} ∩ {B ∈ Power(U): A ⊇ B} | |
| = {B ∈ Power(U): A = B} |
當論域U的元素數目很少，例如U = {a, b}時，我們亦可列出上述函項的所有輸入值和輸出值如下：
| (every ∩ only) = | Φ → {Φ} | (5) |
| {a} → {{a}} | ||
| {b} → {{b}} | ||
| {a, b} → {{a, b}} |
同理，我們可以把DET的「單位元」和「零元」分別定義為以下常值函項：對U中任意集合A，
0(A) = Φ
我們還可定義DET上的「=」和「⊆」關係如下：設Q, Q' ∈ DET，
Q ⊆ Q'當且僅當對U中所有集合A，均有Q(A) ⊆ Q'(A) (7)
當然我們也可以把(1)應用於DET上，從而得到「⊆」關係的另一個定義：
容易證明(7)與(8)是等價的。
DET也具有「完備性」。設K為DET的子集，那麼我們可以定義「限定詞」∪K和∩K如下：對U中任意集合A，
∩K(A) = ∩{Q(A): Q ∈ K}
由於Q(A) ∈ Q<1>，而Q<1>是完備的，所以以上定義是合理的。請注意任給U中集合A，∪K(A)和∩K(A)分別為{Q(A): Q ∈ K}的「上確界」和「下確界」。由於此一結果對任意A都成立，所以∪K和∩K分別為K的「上確界」和「下確界」。
最後考慮DET的「原子性」。設A、B為論域U中的任意集合，那麼我們可以定義「限定詞」Q1A,B如下：
以下是上述「限定詞」的一個實例，設U = {a, b}，那麼
| Q1{a, b},{b} = | Φ → Φ |
| {a} → Φ | |
| {b} → Φ | |
| {a, b} → {{b}} |
Q1A,B就是DET上的「原子」，它們可作為其他「限定詞」的構件。舉例說，前面(5)的「限定詞」"(every ∩ only)"便可以表達為
讀者可不妨寫出上式中的四個「構件」，然後根據前述「限定詞」的「∪」運算的定義，證明上式是正確的。
3.3 作為理想或濾子的量詞
量詞除了本身可構成一種「布爾代數」外，還可作為另一個較低階的「布爾代數」的「理想」或「濾子」。舉例說，「<1>型量詞」
就是「冪集代數」上的「理想」。容易證明上述集合符合2.3小節中給出的「理想」定義。首先，Φ顯然屬於上述集合。其次，根據"nobody"的「遞減性」，可知上述集合滿足「理想」定義中的「遞減性」。最後，設B和B'為U的兩個子集使得PERSON ∩ B = Φ並且PERSON ∩ B' = Φ，那麼B ∪ B'也是U的子集，而且PERSON ∩ (B ∪ B') = (PERSON ∩ B) ∪ (PERSON ∩ B') = Φ，即上述集合滿足「理想」定義中的「有限并封閉性」。
由於根據集合論，PERSON ∩ B = Φ等價於B ⊆ ~PERSON而且~PERSON是U的子集，我們可以把"nobody"的集合定義改寫為
由此可見，我們可以把"nobody"看成「由~PERSON生成的主理想」。一般地，對於U的任意子集A，"(no A)"可被看成「由~A生成的主理想」。
請注意並非所有具有「遞減性」的「<1>型量詞」都是「冪集代數」上的「理想」。舉例說，
便不滿足「理想」的定義。儘管上述集合滿足「非空性」和「遞減性」，但並不滿足「有限并封閉性」：設A = {a, b, c, d}，B = {a, b}，B' = {a, c}，那麼B和B'屬於上述集合，但B ∪ B' = {a, b, c}卻不屬於上述集合。
其次討論「冪集代數」上的「濾子」。根據2.3小節的討論，集合(在以下定義中，A為包含多於一個元素的U的子集)
John = {B ∈ Power(U): {j} ⊆ B}
(John and Mary) = {B ∈ Power(U): {j, m} ⊆ B}
分別是「由A生成的主濾子」、「由{j}生成的主濾子」和「由{j, m}生成的主濾子」，其中只有"John"兼為一個「超濾子」。
請注意儘管
滿足「非空性」和「遞增性」，但並不滿足「有限交封閉性」：設A = {a, b, c}，B = {a, d}，B' = {b, d}，那麼B和B'屬於上述集合，但B ∩ B' = {d}卻不屬於上述集合。由此可見，"(some A)"不是「冪集代數」上的「濾子」。
4. 限定詞代數的子代數
4.1 右守恆性
在上一節，筆者介紹了最一般的「限定詞」及相應的「限定詞代數」。現在如果我們對「限定詞」附加某些性質，便會得到DET的子集，如果三種布爾運算在這個子集上封閉，便可產生相應的「子代數」。在本節，筆者將介紹DET的幾種「子代數」。
在「限定詞」的眾多性質中，「右守恆性」是最重要的性質，在上一章已有詳細介紹，這裡只擬討論「右守恆性」所產生的「子代數」。為方便與下文要介紹的其他性質比較，本文採用「右守恆性」的以下定義：「限定詞」Q是「右守恆」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C，均有
以下把由「右守恆限定詞」組成的集合記作CONSr。我們要證明三種布爾運算在CONSr上是封閉的。以「∩」運算為例，設Q, Q' ∈ CONSr以及A ∩ B = A ∩ C，那麼我們有
| B ∈ (Q ∩ Q')(A) | ⇔ B ∈ Q(A) ∩ Q'(A) | (限定詞「∩」的定義) |
| ⇔ B ∈ Q(A) ∧ B ∈ Q'(A) | (<1>型量詞「∩」的定義) | |
| ⇔ C ∈ Q(A) ∧ C ∈ Q'(A) | (根據(10)) | |
| ⇔ C ∈ Q(A) ∩ Q'(A) | (<1>型量詞「∩」的定義) | |
| ⇔ C ∈ (Q ∩ Q')(A) | (限定詞「∩」的定義) |
由此證得Q ∩ Q' ∈ CONSr，即「∩」運算在CONSr上封閉。同理易證其餘兩種「布爾運算」在CONSr上也是封閉的。此外，由於對任何集合A、B、C，恆有B ∈ 1(A)、C ∈ 1(A)、B ~∈ 0(A)和C ~∈ 0(A)，易見「限定詞」1和0也屬於CONSr。總上所述，CONSr構成DET的一個「子代數」。
CONSr作為DET的「子代數」，也從DET那裡繼承了其「完備性」，這是因為「限定詞」的「上／下確界」定義亦適用於「右守恆限定詞」，而且「上／下確界」(即「廣義并／交」)運算在CONSr上是封閉的。最後討論CONSr的「原子性」。設A、B為論域U中的任意集合，那麼我們可以定義Q2A,B如下：
以下是上述「限定詞」的一個實例：
| Q2{b},{b} = | Φ → Φ |
| {a} → Φ | |
| {b} → {{b}, {a, b}} | |
| {a, b} → Φ |
上述定義顯示，當X = A並且X ∩ Y = X ∩ Y' = B時，Y, Y' ∈ Q2A,B(X)；在所有其他情況下，Y, Y' ~∈ Q2A,B(X)，因此Q2A,B ∈ CONSr。Q2A,B就是CONSr上的「原子」，它們可作為其他「右守恆限定詞」的構件。舉例說，前面(3)的「限定詞」"some"是一個「右守恆限定詞」，它可以表達為
筆者在上一章還介紹了「左守恆性」，其定義為：Q是「左守恆」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C，均有
以下把由「左守恆限定詞」組成的集合記作CONSl。由於「左守恆性」的重要性不及「右守恆性」，本文不擬詳述CONSl的代數結構，只想指出CONSl也具有「完備性」和「原子性」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q3A,B：
以下是上述「限定詞」的一個實例：
| Q3{b},{b} = | Φ → Φ |
| {a} → Φ | |
| {b} → {b} | |
| {a, b} → {b} |
讀者可自行驗證Q3A,B ∈ CONSl。根據上一章的討論，前面(4)的「限定詞」"only"是一個「左守恆限定詞」，這個「限定詞」可以用Q3A,B表達為
4.2 對稱性與逆否性
4.2.1 對稱性
在本小節，筆者要介紹「限定詞」的另一種重要性質－「對稱性」(Symmetry)，其定義為：Q是「對稱」的當且僅當對U中的任意集合A、B，均有
以下把由「對稱限定詞」組成的集合記作SYM。筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》中曾指出，「限定詞」"some"、"no"、"(more than n)"、"(between m and n)"、"(an even number of)"、"(exactly n)"、"(no except John)"等都屬於SYM，這些「限定詞」都可進行「對稱性推理」。
SYM構成DET的一個「子代數」，其證明方法跟4.1小節的方法大同小異，這裡不再重複。SYM也具有「完備性」和「原子性」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q4A,B：
以下是上述「限定詞」的一個實例：
| Q4{a},{b} = | Φ → Φ |
| {a} → {{b}} | |
| {b} → {{a}} | |
| {a, b} → Φ |
我們可以把「對稱限定詞」表達為Q4A,B的并。舉例說，前面(3)的「限定詞」"some"便可以表達為
請注意上述「對稱性」的定義(14)只適用於「限定詞」(即有兩個論元的量詞)，為擴大「對稱性」定義的適用性，筆者在這裡引入Zuber在Symmetric and contrapositional quantifiers一文中提出的另一定義：Q是「對稱」的當且僅當存在一個具有「交換性」(Commutativity)的二元函項F (即對任何集合A、B，F(A, B) = F(B, A))，使得對U中的任意集合A、B、C、D，均有
舉例說，對於「對稱限定詞」"some"，相關的交換二元函項F就是：
容易驗證"some"的真值條件連同上述函項F符合(16)的定義。
現在讓我們證明上述定義是合理的，即Q根據(14)的定義是「對稱」的當且僅當(16)成立。首先設Q根據(14)的定義是「對稱」的，我們定義以下的二元真值函項F：F(A, B) = 1當且僅當B ∈ Q(A)，那麼根據(14)，F具有「交換性」。根據此一函項的定義，我們必有若F(A, B) = F(C, D)，則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)，即(16)成立。其次設(16)成立。由於函項F具有「交換性」，我們有F(A, B) = F(B, A)。由此根據(16)，必有B ∈ Q(A) ⇔ A ∈ Q(B)，即Q根據(14)是「對稱」的。
接著讓我們推導「局部對稱限定詞」總數的計算公式。筆者在上一章中指出，「局部限定詞」的總數等於2x，其中x為可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於有限論域U來說，A和B都可以為U的任何一個子集，而U的子集總數為2|U|。可是，對於「局部對稱限定詞」來說，「子集對」(A, B)與(B, A)被視為相同，即在計算「子集對」的總數時，不應考慮A、B的先後次序。從「組合學」的角度看，這相當於從2|U|類物件中可重覆地抽2個出來的「無限重覆組合」問題。根據《點算的奧秘：無限重覆的排列組合問題》，這個問題的解為
| C(2|U| + 2 − 1, 2) | |
| = | (2|U| + 1)! / (2! × (2|U| − 1)!) |
| = | (2|U| + 1) × 2|U| − 1 |
因此「局部對稱限定詞」的總數為
根據上式，可知在只有兩個元素的論域中，可能存在的「局部對稱限定詞」總數為210 = 1024。
4.2.2 逆否性
接著要介紹與「對稱性」有密切關係的另一種性質－「逆否性」(Contrapositivity)，其定義為：Q是「逆否」的當且僅當對U中的任意集合A、B，均有
以下把由「逆否限定詞」組成的集合記作CONTR。筆者在《廣義量詞系列：直接推理的革新》中曾指出，「限定詞」"every"、"only"、"(all except n)"、"(all except John)"、"(apart from John only)"等都屬於CONTR，這些「限定詞」都可進行「逆否性推理」。
CONTR也是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q5A,B：
以下是上述「限定詞」的一個實例：
| Q5{a},Φ = | Φ → Φ |
| {a} → {Φ} | |
| {b} → Φ | |
| {a, b} → {{b}} |
我們可以把「逆否限定詞」表達為Q5A,B的并。舉例說，前面(2)的「限定詞」"every"便可以表達為
「逆否性」的定義(18)也有另一個等價定義如下：Q是「逆否」的當且僅當存在一個具有「交換性」的二元函項F，使得對U中的任意集合A、B、C、D，均有
容易證明上述定義與前面的(18)等價，證明方法與4.2.1小節的大同小異。
如前所述，CONTR與SYM有密切關係，兩者的關係可概括為以下定理：
| 定理6： | 設Q為「限定詞」，則Q ∈ SYM ⇔ Q~r ∈ CONTR，其中Q~r代表Q的「右論元否定」，其定義為B ∈ Q~r(A) ⇔ ~B ∈ Q(A)。 |
接著讓我們證明上述定理。根據(14)，Q ∈ SYM當且僅當對所有A、B，B ∈ Q(A) ⇔ A ∈ Q(B)。根據Q~r的定義，我們可以把上式改寫為~B ∈ Q~r(A) ⇔ ~A ∈ Q~r(B)。但上式又等價於B ∈ Q~r(A) ⇔ ~A ∈ Q~r(~B)。根據(18)，此即Q~r ∈ CONTR。
「定理6」中的關係不僅存在於SYM與CONTR之間，也存在於以下要介紹的其他「限定詞」性質之間。為此，筆者要引入「右補性質」(Right-Complemented Property或Right Co-Property)(註4)的概念。設P、P'為DET的子集，這些子集亦可看成「限定詞」的性質，我們說P'是P的「右補性質」當且僅當對任何「限定詞」Q，均有
此外，由於(Q~r)~r = Q，上述P與P'的關係是相互的，即若P'是P的「右補性質」，則P也是P'的「右補性質」。根據上述定義和「定理6」，SYM與CONTR互為對方的「右補性質」。
利用「定理6」，可以推知SYM與CONTR存在一一對應關係，我們可以在這兩個集合的元素之間建立一個映射，把Q映射為Q~r。由於每個「限定詞」有且僅有一個「右論元否定」，上述映射是一個「雙射」(Bijection)。由此可知「局部逆否限定詞」的總數與「局部對稱限定詞」的總數相同，即都可用公式(17)計算。
「對稱／逆否性」與「右守恆性」是互相獨立的性質。具有「右守恆性」的「限定詞」不一定都具有「對稱／逆否性」，反之亦然。舉例說，"(exactly 1/2)"便是右守恆而既非對稱、又非逆否的「限定詞」。此外，以下「限定詞」I(J)
B ∈ J(A)當且僅當|A| = |~B|
則是對稱(逆否)而非右守恆的。不過，這類「限定詞」都不是自然語言中存在的「限定詞」。
4.3 相交性與右補相交性
4.3.1 相交性
「相交性」(Intersectivity)的定義如下：Q是「相交」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「相交限定詞」組成的集合記作INT。容易驗證4.2.1小節提過的「對稱限定詞」都屬於INT，但4.2.2小節提過的「限定詞」I卻不屬於INT。INT是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q6A：
自然語言中形如"no except ..."的「例外限定詞」就是上述「限定詞」的實例，例如"(no except John)"便等於Q6{j}。上述「限定詞」還可作為其他「相交限定詞」的構件。舉例說，前面(3)的「限定詞」"some"便可以表達為：
接著推導「局部相交限定詞」總數的計算公式，這裡的關鍵是求出可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於「局部相交限定詞」來說，所有具有相同「交集」A ∩ B的(A, B)都被視作等同，所以在計算「子集對」的總數時，我們只須計算可能存在的「交集」總數，此一總數等於U的子集總數，即2|U|。因此「局部相交限定詞」的總數為
根據上式，可知在只有兩個元素的論域中，可能存在的「局部相交限定詞」總數為24 = 16。
4.3.2 右補相交性
「右補相交性」(Right Co-Intersectivity)(註5)的定義如下：Q是「右補相交」的當且僅當對論域U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「右補相交限定詞」組成的集合記作RC-INT。容易驗證4.2.2小節提過的「逆否限定詞」，除了"only"、"(apart from John only)"和J以外，都屬於RC-INT (註6)。RC-INT是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q7A：
自然語言中形如"all except ..."的「例外限定詞」就是上述「限定詞」的實例，例如"(all except John)"便等於Q7{j}。請注意儘管"every"在表面上不是「例外限定詞」，但我們可以把"every"理解為等同於"(all except none)"，由此我們有
RC-INT與INT具有以下關係：
定理7：Q ∈ INT ⇔ Q~r ∈ RC-INT。
接著讓我們證明上述定理。根據(21)，Q ∈ INT當且僅當對所有A、B、C、D，若A ∩ B = C ∩ D，則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)。上句等價於若A ∩ ~B = C ∩ ~D，則~B ∈ Q(A) ⇔ ~D ∈ Q(C)。根據集合「補」運算和Q~r的定義，我們可以把上句改寫為若A − B = C − D，則B ∈ Q~r(A) ⇔ D ∈ Q~r(C)。根據(24)，此即Q~r ∈ RC-INT。
「定理7」說明，INT與RC-INT互為對方的「右補性質」，證實「右補相交性」此一名稱是合理的。此外，利用「定理7」，還可推知INT與RC-INT存在一一對應關係。由此可知「局部右補相交限定詞」的總數與「局部相交限定詞」的總數相同，即都可用公式(23)計算。
4.4 基數性與右補基數性
4.4.1 基數性
「基數性」(Cardinality)的定義如下：Q是「基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「基數限定詞」組成的集合記作CARD。容易驗證「限定詞」"some"、"no"、"(more than n)"、"(at most n)"、"(exactly n)"、"(between m and n)"、"(no except n)"等都屬於CARD。CARD是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q8n (其中n代表非負整數)：
自然語言中的「限定詞」"(exactly n)"和"no" (等於"(exactly 0)"就是上述「限定詞」的實例，上述「限定詞」還可作為其他「基數限定詞」的構件。舉例說，設U = {a, b, c}，那麼「限定詞」"(at least 2)"便可以表達為：
接著推導「局部基數限定詞」總數的計算公式，我們要求出可能存在的「子集對」(A, B)的總數。對於「局部基數限定詞」來說，所有具有相同「交集基數」|A ∩ B|的(A, B)都被視作等同，所以在點算「子集對」的數目時，我們只須點算可能存在的「交集基數」。對於任一論域U，可能存在的「交集基數」共有|U| + 1個，即0 ... |U|。因此「局部基數限定詞」的總數為
根據上式，可知在只有兩個元素的論域中，可能存在的「局部基數限定詞」總數為23 = 8。
4.4.2 右補基數性
「右補基數性」(Right Co-Cardinality)的定義如下：Q是「右補基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「右補基數限定詞」組成的集合記作RC-CARD。容易驗證「限定詞」"every"、"(all except n)"、"(all except at most n)"等都屬於RC-CARD。RC-CARD是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q9n：
自然語言中的「限定詞」"(all except n)"和"every" (等於"(all except 0)"就是上述「限定詞」的實例，上述「限定詞」還可作為其他「右補基數限定詞」的構件。舉例說，設U = {a, b, c}，那麼「限定詞」"(all except at most 2)"便可以表達為：
RC-CARD與CARD具有以下關係：
定理8：Q ∈ CARD ⇔ Q~r ∈ RC-CARD。
上述定理的證明方法與「定理7」大同小異，這裡不擬重覆。利用「定理8」，可以推知CARD與RC-CARD存在一一對應關係。由此可知「局部右補基數限定詞」的總數與「局部基數限定詞」的總數相同，即都可用公式(28)計算。
4.5 與基數相關的其他性質
4.5.1 右比例性與右補右比例性
在本小節，筆者介紹其他與基數相關的性質，首先介紹「右比例性」(Right Proportionality)，其定義為：Q是「右比例」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「右比例限定詞」組成的集合記作PROPORTr。請注意上述定義中的等式其實是下式的變形：
這裡之所以採用(31)而非上述形式，是為了確保在A或C為空集時不致出現無定義的情況。容易驗證「限定詞」"some"、"no"、"(more than q)"、"(at most q)"、"(exactly q)"、"(between p and q)"等都屬於PROPORTr。PROPORTr是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q10q (其中q代表0與1之間的分數)：
自然語言中的「限定詞」"(exactly q)"就是上述「限定詞」的實例，上述「限定詞」還可作為其他「右比例限定詞」的構件。舉例說，設U = {a, b, c}，那麼「限定詞」"(more than 1/2)"便可以表達為：
接著推導「局部右比例限定詞」總數的計算公式。請注意如果我們只考慮「限定詞」的外延，那麼「局部右比例限定詞」的數目是有限的。舉例說，設|U| = 2，那麼儘管2/3和3/4是不同的分數，但"(more than 2/3)"和"(more than 3/4)"在U中卻是外延相同的「限定詞」(即都等於"every")。對於「局部右比例限定詞」來說，所有具有相同比例|A ∩ B| / |A|的「子集對」(A, B)都被視作等同，所以我們只須點算可能存在的分數。為免重覆點算，我們只應點算不能再約簡的分數，即分子與分母「互質」(Relatively Prime)的分數。根據數論，兩個數「互質」是指該兩個數除了1外沒有其他公因數。這裡要應用到數論上的「歐拉φ函數」(Euler Phi Function)：給定一個正整數n，φ(n)就是少於n並與n互質的正整數的數目。例如φ(8) = 4，因為少於8並與8互質的正整數共有4個，即1、3、5、7。
利用上述概念，我們便可以推導「局部右比例限定詞」總數的計算公式。我們分別考慮分母和分子的可能值。對於任一論域U，分母的可能值為1 ... |U|。對於每一個可作為分母的值i，共有φ(i)個少於i並與i互質的值可作為分子。此外，我們還要再增添一個分數0。因此可能存在的分數的總數就是1 + Σ1 ≤ i ≤ |U| φ(i)，而「局部右比例限定詞」的總數就是
根據上式，可知在只有兩個元素的論域中，可能存在的「局部右比例限定詞」總數為23 = 8。當然，當|U|很大時，上述公式並不實用，因為計算φ(i)本身便不是簡單的事，需要用到更多數論的知識，對此本文不擬再作深入討論。
我們還可以定義「右補右比例性」(Right-Complemented Right Proportionality)如下：Q是「右補右比例」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「右補右比例限定詞」組成的集合記作RC-PROPORTr。RC-PROPORTr的「原子」就是以下的「限定詞」Q11q：
自然語言中的「限定詞」"(all except q)"就是上述「限定詞」的實例。容易證明RC-PROPORTr與PROPORTr具有以下關係：
定理9：Q ∈ PROPORTr ⇔ Q~r ∈ RC-PROPORTr。
「定理9」告訴我們「局部右補右比例限定詞」的總數也可用公式(33)計算。
4.5.2 右廣義基數性
「右廣義基數性」(Right Generalized Cardinality)的定義為：Q是「右廣義基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C，均有
把(36)跟(10)比較一下，容易看到「右廣義基數性」與「右守恆性」之間的關係就像「基數性」與「相交性」的關係那樣。以下把由「右廣義基數限定詞」組成的集合記作GCARDr。容易驗證4.4小節介紹的「基數限定詞」和「右補基數限定詞」以及4.5.1小節介紹的「右比例限定詞」和「右補右比例限定詞」都是「右廣義基數」的。GCARDr是DET的一個「完備原子子代數」，其「原子」就是以下的「限定詞」Q12A,n：
以下是上述「限定詞」的一個實例：
| Q12{a},1 = | Φ → Φ |
| {a} → {{a}, {a, b}} | |
| {b} → Φ | |
| {a, b} → Φ |
上述「限定詞」可作為其他「右廣義基數限定詞」的構件。舉例說，前面(3)的「限定詞」 "some"便可以表達為
接著推導「局部廣義基數限定詞」總數的計算公式。我們首先要求所有可能的「子集對」(A, B)的總數，此一總數既取決於A，又取決於|A ∩ B|，我們逐一考慮這兩個「參項」。首先，給定論域U，U的每一個子集都可能為A。根據組合學，在U的子集中，有C(|U|, 0)個含有0個元素、C(|U|, 1)個含有1個元素 ... C(|U|, |U|)個含有|U|個元素。換句話說，在A的可能值中，共有C(|U|, 0)個使得|A| = 0、C(|U|, 1)個使得|A| = 1 ... C(|U|, |U|)個使得|A| = |U|。
其次，在確定了A後，|A ∩ B|的可能值則有|A| + 1個，即0, ... |A|。請注意這|A| + 1個可能值是完全可能實現的，因為我們可以從A中依次任意抽取0, ... |A|個元素出來以構成B。換句話說，對應著每個A，我們有|A| + 1個不同的「子集對」(A, B)。綜合以上結果，我們知道對於「局部廣義基數限定詞」來說，可能的「子集對」(A, B)的總數為
| Σ0 ≤ i ≤ |U| [(i + 1) × C(|U|, i)] | |
| = | Σ0 ≤ i ≤ |U| [i × C(|U|, i)] + Σ0 ≤ i ≤ |U| C(|U|, i) |
| = | |U| × 2|U| − 1 + 2|U| |
| = | 2|U| − 1 × (|U| + 2) |
請注意上面倒數第二行應用了組合學中的兩個恆等式。至此求得「局部右廣義基數限定詞」的總數為
根據上式，可知在只有兩個元素的論域中，可能存在的「局部右廣義基數限定詞」總數為28 = 256。
我們還可以定義「右補右廣義基數性」(Right-Complemented Right Generalized Cardinality)如下：Q是「右補右廣義基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、D，均有
以下把由「右補右廣義基數限定詞」組成的集合記作RC-GCARDr。不過，由於|A| = |A ∩ B| + |A − B| = |A ∩ C| + |A − C|，我們有
利用上式並且比較(36)和(39)，容易得到
定理10：GCARDr = RC-GCARDr
4.6 各個子代數之間的關係
至此筆者已介紹了DET的多種「子代數」，在本小節我們要看看這些「子代數」之間的關係。我們首先有以下包含關係：
| 定理11： | (i) CARD ⊂ INT ⊂ CONSr |
| (ii) RC-CARD ⊂ RC-INT ⊂ CONSr | |
| (iii) INT ⊂ SYM | |
| (iv) RC-INT ⊂ CONTR | |
| (v) CARD ∪ RC-CARD ∪ PROPORTr ∪ RC-PROPORTr ⊆ GCARDr ⊂ CONSr |
上述定理的證明並不困難，以下僅證明(iv)以作示範。設Q ∈ RC-INT。根據集合論，我們有以下一系列等式：A − B = A ∩ (~B) = (~B) ∩ (~(~A)) = (~B) − (~A)。根據RC-INT的定義(24)，我們有B ∈ Q(A) ⇔ ~A ∈ Q(~B)。根據CONTR的定義(18)，得Q ∈ CONTR，由此證得RC-INT ⊆ CONTR。根據4.2.2小節，「限定詞」J ∈ CONTR。可是J卻不是右守恆的，因此根據「定理11(ii)」，J不屬於RC-INT，由此證得RC-INT ≠ CONTR。
除了上述包含關係外，各個「子代數」之間還有以下相交關係：
| 定理12： | (i) CONSr ∩ SYM = INT |
| (ii) CONSr ∩ CONTR = RC-INT | |
| (iii) GCARDr ∩ SYM = CARD | |
| (iv) GCARDr ∩ CONTR = RC-CARD |
以下僅證明(i)，其餘各點的證明類此。為證明(i)，我們要分別證明(I) INT ⊆ CONSr ∩ SYM和(II) CONSr ∩ SYM ⊆ INT。根據「定理11(i)和(iii)」，(I)是成立的，所以我們只需證明(II)。為此，設Q ∈ CONSr ∩ SYM以及A ∩ B = C ∩ D。那麼我們有(在以下證明中，我們要依次用到以下等式：A ∩ B = A ∩ (A ∩ B)、(A ∩ B) ∩ A = (A ∩ B) ∩ (A ∩ B)、(C ∩ D) ∩ (C ∩ D) = (C ∩ D) ∩ C、C ∩ (C ∩ D) = C ∩ D)：
| B ∈ Q(A) | ⇔ A ∩ B ∈ Q(A) | (Q ∈ CONSr) |
| ⇔ A ∈ Q(A ∩ B) | (Q ∈ SYM) | |
| ⇔ A ∩ B ∈ Q(A ∩ B) | (Q ∈ CONSr) | |
| ⇔ C ∩ D ∈ Q(C ∩ D) | (A ∩ B = C ∩ D) | |
| ⇔ C ∈ Q(C ∩ D) | (Q ∈ CONSr) | |
| ⇔ C ∩ D ∈ Q(C) | (Q ∈ SYM) | |
| ⇔ D ∈ Q(C) | (Q ∈ CONSr) |
最後，根據INT的定義(21)，可知Q ∈ INT，即(II)成立，「定理12(i)」得證。
現把「定理11」和「定理12」的結果總結成下圖(為免使下圖過於複雜，下圖略去了PROPORTr和RC-PROPORTr)：
5. <12,1>型量詞代數
我們可以把上述內容擴展至「結構化量詞」。為簡化討論，以下僅介紹「<12,1>型量詞」的代數結構。「<12,1>型量詞」可被看成把「集合有序對」映射為「<1>型量詞」的函項，例如"(more ... than ...)"和"(exactly q more ... than ...)"便可表達為以下函項：對U中任意集合A、B以及介於0與1之間的百分數q，
(exactly q more ... than ...)(A, B) = {C ∈ Power(U): |A ∩ C| / |B ∩ C| = 1 + q}
因此我們可以沿用3.2小節介紹的「點式函項」，推導出「<12,1>型量詞代數」，以下把由「<12,1>型量詞」組成的集合記作Q<12,1>。由於當前學界對Q<12,1>的研究尚少，有關Q<12,1>的研究成果遠遠不及DET那樣豐富，因此以下只擬介紹Q<12,1>的某些「子代數」，以作為第4節某些概念的推廣。
首先考慮Q<12,1>的「守恆性」。正如筆者在上一章指出的，對於「<12,1>型量詞」而言，只有一種「守恆性」(即「第3論元守恆性」)具有實用意義，因此以下無須像DET那樣區分不同的「守恆性」。現把Q<12,1>的「守恆性」定義覆述如下：「<12,1>型量詞」Q是「守恆」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、C'，均有
基於在DET中「右廣義基數性」與「右守恆性」在定義上的相似性，Q<12,1>的「廣義基數性」可以定義如下：Q是「廣義基數」的當且僅當對U中的任意集合A、B、C、C'，均有
基於類推原則，我們可以把第4節介紹過的「相交性」、「補相交性」、「基數性」、「補基數性」、「比例性」、「補比例性」也推廣至Q<12,1> (請注意在Q<12,1>中，我們也無須區分「右／左補性質」)。以下列出Q具有這些性質所應符合的條件，這些條件都涉及U中的任意集合A、B、C、A'、B'、C'。
相交性：
補相交性：
基數性：
補基數性：
比例性：
則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B') (46)
補比例性：
則C ∈ Q(A, B) ⇔ C' ∈ Q(A', B') (47)
最後考慮「對稱性」與「逆否性」，由於這兩種性質的通常定義(14)和(18)只適用於「限定詞」，我們必須改用上文4.2小節提供的等價定義(16)和(20)。以下給出Q具有「對稱性」和「逆否性」所應符合的條件，這些條件都涉及U中的任意集合A、B、C、A'、B'、C'。
Q是「對稱」的當且僅當存在一個具有「交換性」的二元函項F，使得
Q是「逆否」的當且僅當存在一個具有「交換性」的二元函項F，使得
舉例說，前述的「<12,1>型量詞」"(more ... than ...)"便是「對稱」的，與之相關的交換二元函項F就是：
容易驗證"(more ... than ...)"的真值條件連同上述函項F符合(48)的定義。
註1：其實本文定義的「理想」與「環論」(Ring Theory)中「理想」的定義是相通的，因為我們可以把一個「布爾代數」改寫成一個「環」(稱為「布爾環」Boolean Ring)，因此我們亦可以定義相關的「理想」概念，包括「質理想」(Prime Ideal)、「極大理想」(Maximal Ideal)等。不過，由於這些內容與量詞關係不大，本文不擬介紹。註2：最後這兩個量詞顯得很累贅，這是為了避免引起歧義。其實，在日常語言中，這兩個量詞通常分別簡化為"(only John)"和"(only John and Mary)"。
註3：此一定義與《廣義量詞系列：量詞的普遍性質與操作》中的(3)有兩點不同。首先，本文只考慮「局部量詞」，因此所有量詞符號無需加上下標。其次，由於本文把DET定義為一種「點式函項代數」，所以這裡把「限定詞」表達成把集合映射為集合族的函項。
註4：筆者在《廣義量詞系列：對偶性推理進階》中討論了「限定詞」的七種否定運算，因此除了「右補性質」(請注意「補」就是「否定」的意思)外，應該還有「左補」、「左右補」、「外補」、「右對偶」、「左對偶」、「左右對偶」等性質，其定義跟「右補性質」類似。但為免使本文內容過於龐雜，本文不擬討論「右補性質」以外的性質。另請注意由於大多數學者只研究「右補性質」，所以通常都把「右補性質」簡稱為「補性質」(Co-Property)。
註5：「相交性」又稱為「廣義存在性」(Generalized Existentiality)或「動詞短語正性」(VP-Positivity)；「右補相交性」又稱為「廣義全稱性」(Generalized Universality)或「動詞短語負性」(VP-Negativity)。
註6："only"和"(apart from John only)"雖非「右補相交限定詞」，但卻是「左補相交限定詞」，惟本文不擬討論「左補相交性」。
註7：請注意不要把「基數性」與《廣義量詞系列：量詞的普遍性質與操作》中介紹的「數量性」或「邏輯性」相混淆。從「子集對」的角度看，「基數性」把所有滿足|A ∩ B| = |C ∩ D|的「子集對」(A, B)和(C, D)視作等同，而「數量性」或「邏輯性」則規定A、B、C、D須滿足更嚴格的條件，(A, B)和(C, D)才被視為等同。因此「基數限定詞」在數目上比「數量限定詞」和「邏輯限定詞」都少。
註8：理論上，我們還可以定義「左比例性」，其條件為：若|D| × |A ∩ B| = |B| × |C ∩ D|，則B ∈ Q(A) ⇔ D ∈ Q(C)。但為簡化討論，本文不介紹這種性質。
註9：理論上，我們還可以定義「左廣義基數性」，其條件為：若|A ∩ C| = |B ∩ C|，則C ∈ Q(A) ⇔ C ∈ Q(B)。但為簡化討論，本文不介紹這種性質。
