廣義量詞系列：單調性推理的擴展

2. <−,1>型量詞與泛化量化結構的單調性

2.1 光桿名詞短語

every({j})(STUDENT)

John是男生。 ⇒ John是學生。

2.2 泛化量化結構

Somebody is running quickly. ⇒ Somebody is running.
Nothing is visible. ⇒ Nothing is clearly visible.
Everybody except John is wearing a red T-shirt. ~⇒ Everybody except John is wearing a T-shirt.
Nobody except John is wearing a T-shirt. ~⇒ Nobody except John is wearing a red T-shirt.

「第二類泛化量化結構」是指英語的「存在句」，其抽象形式為Q(A)(U)。這類結構中的量詞可以是各式各樣的 量詞，最常見的是「<1,1>型量詞」。由於這類結構的右論元是論域U，這類結構無「右單調性」可言，但仍有 「左單調性」，此即結構中的量詞Q的「左單調性」。以下是這類結構的一些有效及無效推理的實例：

There are some boys playing in the park. ⇒ There are some children playing in the park.
There is no school in this district. ⇒ There is no primary school in this district.
There are exactly 7 continents in the world. ~⇒ There are exactly 7 continents in the Northern Hemishpere.

There is nothing. ⇒ There is ???

There is somebody in this room. ⇒ There is somebody in this house.
There is nobody on the double deck bus. ⇒ There is nobody on the upper deck of the bus.

3. 結構化量詞的單調性

Q(A1, ... Ak, ... An) ⇒ Q(A1, ... Ak', ... An)

 定理1： 設A ⊆ B，則對任何集合C而言， (1) |C ∩ A| ≤ |C ∩ B| (2) C ∩ A ⊆ C ∩ B (3) C ∪ A ⊆ C ∪ B

3.1 第一類結構化量詞

(more ... than ...)(A, B)(C, D) ⇔ |A ∩ C| > |B ∩ D|     (1)

(more ... than ...)(A, B)(C) ⇔ |A ∩ C| > |B ∩ C|     (2)

|A ∩ C| > |B ∩ C|，但|A ∩ C'| ≤ |B ∩ C'|

(more ... than ...)(A)(B, C) ⇔ |A ∩ B| > |A ∩ C|

1. 凡表達「等額比較」(即包含"exactly")的「數量比較詞」，其各個論元都是「非單調」的。
2. 凡表達「差額比較」(即包含"more"、"fewer"、"less"、"at least"、"at most")的「數量比較詞」，處 於「多」方和「少」方的論元分別是「遞增」和「遞減」的；但如某一論元跨越「多」、「少」兩方，則該論 元是「非單調」的。

 (at least n fewer ... than ...)(A, B)(C, D) ⇔ |B ∩ D| − |A ∩ C| ≥ n ⇔ |B ∩ D| ≥ n + |A ∩ C|

 (proportionally more ... than ...)(A, B)(C, D) ⇔ |A ∩ C| / |A| > |B ∩ D| / |B| ⇔ |B| × |A ∩ C| > |A| × |B ∩ D|

3.2 第二類結構化量詞

(different ... than ...s)(A)(B, C) ⇔ A ∩ B ∩ C = Φ

A ∩ B ⊆ A ∩ C     (3)

A' ∩ B ⊆ A' ∩ C     (4)

|A ∩ B| ≤ |A ∩ C|     (5)

A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ B ⊆ A ∩ C ∧ A ∩ C ⊆ A ∩ B     (6)

(the same ... as ...)(A)(B, C) ≡ (whatever ... also ...)(A)(B, C) ∧ (whatever ... also ...)(A)(C, B)

A ∩ B ≠ A ∩ C

3.3 第三類結構化量詞

(neither everything nor nothing)(−)(A) ⇔ ~(THING ⊆ A ∨ THING ∩ A = Φ)

(every ..., ..., ... and ...)(A, B, C, D)(E) ⇔ (A ∪ B ∪ C ∪ D) ⊆ E

(between m and n ... and at least p times as many ... as ...)(A, (B, C))(D) ⇔ m ≤ |A ∩ D| ≤ n ∧ |B ∩ D| / |C ∩ D| ≥ p

|A ∩ D| ≥ m ∧ |A ∩ D| ≤ n ∧ |B ∩ D| ≥ p × |C ∩ D|

4. 迭代量詞與定語分句的單調性

 定理2： 設P、Q為函項，則P(x) ⇒ Q(x)當且僅當{x: P(x)} ⊆ {x: Q(x)}。 定理3： 設R(x1, ... xn+1)和R'(x1, ... xn+1)為n + 1元函項，則對任何y1, ... yn而言，有 R ⊆ R' ⇒ {xn+1: R(y1, ... yn, xn+1)} ⊆ {xn+1: R'(y1, ... yn, xn+1)}。

4.1 迭代<1,1>型量詞

(every ... some)(A, B)(C) ⇔ A ⊆ {x: B ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ}

B ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ ⇒ B' ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ     (7)

{x: B ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ} ⊆ {x: B' ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ}

{y: C(x, y)} ⊆ {y: C'(x, y)}

B ∩ {y: C(x, y)} ≠ Φ ⇒ B ∩ {y: C'(x, y)} ≠ Φ

(most ... no ... every)(A, B, C)(D) ⇔ |A ∩ {x: B ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ}| / |A| > 0.5

B ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ ⇒ B' ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ     (8)

{x: B ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ} ⊆ {x: B' ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ}

C' ⊆ {z: D(x, y, z)} ⇒ C ⊆ {z: D(x, y, z)}     (9)

{y: C' ⊆ {z: D(x, y, z)}} ⊆ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}}

B ∩ {y: C ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ ⇒ B ∩ {y: C' ⊆ {z: D(x, y, z)}} = Φ

{z: D'(x, y, z)} ⊆ {z: D(x, y, z)}

C ⊆ {z: D'(x, y, z)} ⇒ C ⊆ {z: D(x, y, z)}

1. 在一般情況下，A1 ... An的「單調性」分別等同於Q1 ... Qn的「左單調性」，而B的「單調性」則等同於Qn的「右單調性」。
2. 如果Qk是「右非單調」的，那麼Ak+1 ... An和B都是「非單調」的。
3. 如果有一個Qk被否定，這相當於Qk+1 ... Qn也同時被否定， Ak+1 ... An和B的「單調性」須作出相應調整。
4. 如果有一個Qk是「右遞減」的，這相當於Qk+1 ... Qn同時被否定， Ak+1 ... An和B的「單調性」須作出相應調整。
5. 如果有一個Qk同時被否定和呈「右遞減性」，或有多個Qk被否定和／或呈「右遞 減性」，則Ak+1 ... An和B的「單調性」按「多重否定律」決定。

4.2 迭代量詞的三分結構

most(A)({x: no(B)({y: every(C)({z: D(x, y, z)})})})     (10)

~most(A)({x: no(~B)({y: every(C)({z: D(x, y, z)})})})     (11)

⇒ 並非大多數老師都沒有推薦任何非愛情小說的讀物給所有女生。

4.3 其他迭代量詞

「三分結構」也可用來分析「迭代<−,1>型量詞」的「單調性」，唯一不同之處是這類量詞沒有「名詞性 論元」，因此只需考慮其「謂詞性論元」的「單調性」。現在讓我們研究以下量詞的「單調性」：

(somebody ... John ... everybody)(−, −, −)(A)

some(U)({x: every({j})({y: every(U)({z: A(x, y, z)})})})

Somebody introduced John to everybody formally. ⇒ Somebody introduced John to everybody.

(more ... than ... some ... no)((A, B), (C, D))(E) ⇔
|A ∩ {x: C ∩ {z: E(x, z)} ≠ Φ}| > |B ∩ {y: D ∩ {w: E(y, w)} = Φ}|

more[A ∩ {x: some(C)({z: E(x, z)})}][B ∩ {y: no(D)({w: E(y, w)})}]

More male students love some English folk songs than teachers love no Cantonese pop songs.
⇒ More students love some folk songs than female teachers love no pop songs.

4.4 含複雜定語的語句

Every boy who is loved by some girl is most happy.

every[BOY ∩ {x: some(GIRL)({y: LOVE(y, x)})}][MOST-HAPPY(e(X'))]

Every boy who is loved by some girl is most happy. ⇒
Every handsome boy who is deeply loved by some pretty girl is happy.

Some of at most 3 members' cars are red.

(at most 3)[MEMBER ∩ {x: some(CAR)(OWNx)}][{x: some(CAR ∩ OWNx)(RED(e(X')))}]

Some of at most 3 members' cars are red. ⇒ Some of at most 3 senior members' sports cars are deep red.

Some boys' dogs are all fierce.

some[BOY ∩ {x: some(DOG)(OWNx)}][{x: every(DOG ∩ OWNx)(FIERCE(e(X')))}]

Some boys' dogs are all fierce. ~⇒ Some boys' pets are all fierce.
Some boys' dogs are all fierce. ~⇒ Some boys' black dogs are all fierce.

5. 其他論域上的應用

5.1 時間論域

(a minority of)(~A)(~B)

John在昨天以外的小部分時間不穿紅色的T恤。 ⇒ John在昨天以外的小部分時間不穿T恤。

John spent more time playing TV games than reading books yesterday.
John prays before having meals.

more[yesterday(X') ∩ Time(PLAY-TV-GAME(j))][yesterday(X') ∩ Time(READ-BOOK(j))]     (12)
every(HAVING-MEAL)({e': some(PRAYING) (SHORTLY-BEFORE−1e')})     (13)

John spent more time playing TV games than reading books yesterday.
⇒ John spent more time playing games than reading story books yesterday.

John prays before having meals. ⇒ John performs a religious ritual before having breakfast.

5.2 可能世界論域

If p, then (surely) q.
If p, then probably q.
Only if p, q.
If and only if p, q.
Except when p, otherwise q.
Unless p, q.

every(World(p))(World(q))
some(World(p))(World(q))
only(World(p))(World(q))
(no except World(p))(W)(World(q))
(all except World(p))(W)(World(q))
every(~World(p))(World(q))

every({wACTUAL})(World(RAIN))

5.3 命題論域

every({p, q})(TRUE)
some({p, q})(TRUE)

p真和q真。 ⇒ p真。
p真。 ⇒ p真或q真。

Bill knows / regrets / does not know / does not regret that p. ⇒ p is true.

every({p, q})(BILL-KNOW) ⇒ every({p})(TRUE)
some({p})(~BILL-REGRET) ⇒ some({p, q})(TRUE)

Bill knows that p and that q. ⇒ p is true.
Bill does not regret that p. ⇒ p or q is true.

some({every({p, q})(TRUE), every({r, s})(TRUE)})(TRUE)

(p ∧ q) ∨ (r ∧ s) ⇒ q ∨ r ∨ t

(p ∧ q) ∨ (r ∧ s) ⇒ p ∨ r ∨ t
(p ∧ q) ∨ (r ∧ s) ⇒ p ∨ s ∨ t
(p ∧ q) ∨ (r ∧ s) ⇒ q ∨ s ∨ t

(p ∧ q) ∨ (r ∧ s) ≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ s) ∧ (q ∨ r) ∧ (q ∨ s)

5.4 比較結構與序數詞

John在全班同學中最高。 ⇔ every(CLASS–{j})({x: |Dim[HEIGHT](j)| > |Dim[HEIGHT](x)|})
John比班中至少一個同學高。 ⇔ some(CLASS–{j})({x: |Dim[HEIGHT](j)| > |Dim[HEIGHT](x)|})

{|Dim[HEIGHT](j)| > |Dim[HEIGHT](x)| ∧ |Dim[WEIGHT](j)| > |Dim[WEIGHT](x)|}
⊆ {x: |Dim[HEIGHT](j)| > |Dim[HEIGHT](x)|}

John在全班同學中最高且最重。 ⇒ John在全班同學中最高。
John比班中至少一個同學既高且重。 ⇒ John比班中至少一個同學高。

John比班中至少一個同學高。 ⇒ John比學校中至少一個同學高。

John在全班同學中最高。 ⇒ ?John在全班女同學中最高。

John在全班同學中最高。 ⇒ John較全班女同學高。

John是全班第二高的學生。 ~⇒ John是全校第二高的學生。
John是全班第二高的學生。 ~⇒ John是全班第二高的男生。

John是第一個到達學校的學生。 ⇒ John比所有女生早到達學校。
John是最後一個到達學校的學生。 ⇒ John比所有女生遲到達學校。

5.5 不可數名詞與部分-整體關係

John全身濕透。

RIVER ⊆ {x: x ⊆ POLLUTED}     (14)
JOHN'S-BODY = [x ⊆ JOHN'S-BODY: SOAKED(x)]     (15)

JOHN'S-BODY ⊆ [x ⊆ JOHN'S-BODY: SOAKED(x)]

John全身濕透。 ⇒ John上半身濕透。     (16)

JOHN'S-BODY = JOHN'S-UPPER-BODY ∪ JOHN'S-LOWER-BODY     (17)
[x: x ⊆ JOHN'S-BODY: SOAKED(x)] =
[x: x ⊆ JOHN'S-UPPER-BODY: SOAKED(x)] ∪ [x: x ⊆ JOHN'S-LOWER-BODY: SOAKED(x)]     (18)

JOHN'S-UPPER-BODY ⊃ [x ⊆ JOHN'S-UPPER-BODY: SOAKED(x)]     (19)

JOHN'S-LOWER-BODY ⊂ [x ⊆ JOHN'S-LOWER-BODY: SOAKED(x)]

5.6 數值比較

「單調性推理」在本質上是有關集合的推理，但其原理其實與某些數學原理有相通之處。筆者在3.1小節總結出 的一般原理便對應著以下有關數值比較的事實：

1. 改變「等式」任一端的數值後，「等式」不一定仍然成立。
2. 把「不等式」中處於「多」方和「少」方的數值分別換成較大和較小的數後，「不等式」仍然成立。

x = y ~⇒ x + 2 = y − 3
x > y ⇒ x + 2 > y − 3

John睡不足6小時。 ⇔ (<)(|Time(SLEEP(j))|)(6 h)
John至少有三次贏得頭獎。 ⇔ (≥)(|{e: PROPOSITION(e) = GET-TOP-PRIZE(j)}|)(3)

John睡不足6小時。 ⇒ John熟睡不足8小時。
John至少有三次贏得頭獎。 ⇒ John至少有一次得獎。

5.7 混合量化結構

every[World(every(CHAMPION)({x: (at least 1)(SONG)({y: SING(x, y))}))][World((>)(|Time(a)|)(1 h))]

(>)(|Time(a)|)(1 h)

⇒ 如果每名得獎者都獨唱至少一首主打歌，則該節目會歷時超過半小時。

6. 空間關係詞項的單調性

A ⊆ {p: ∃v ∈ ABOVE(B) (p = E-point(v))}

above(A)(B)

6.1 點單調性

inside ∈ ↓PMON↑
outside ∈ ↓PMON↓
overlapping ∈ ↑PMON↑

(far away from) ∈ ↓PMON↓

6.2 向量單調性

vl v'並且vv'都是A的「邊界向量」，則 v ∈ P(A) ⇒ v' ∈ P(A)     (20)

P是「左向量遞減」(Left Vector-Decreasing)的當且僅當

v'l v並且vv'都是A的「邊界向量」，則 v ∈ P(A) ⇒ v' ∈ P(A)     (21)

P是「右向量遞增」(Right Vector-Increasing)的當且僅當

vr v'並且vv'分別為A和B的「邊界向量」，則 v ∈ P(A) ⇒ v' ∈ P(B)     (22)

P是「右向量遞減」(Right Vector-Decreasing)的當且僅當

v'r v並且vv'分別為A和B的「邊界向量」，則 v ∈ P(A) ⇒ v' ∈ P(B)     (23)

ABOVE ∈ ↓↑VMON↑↓

 前提1： 鳥兒在屋頂之上。 前提2： 鳥兒介於屋頂與飛機之間。 結論： 飛機在屋頂之上。

 前提1： 飛機在山頂之上。 前提2： 雲層介於山頂與飛機之間。 結論： 飛機在雲層之上。

INSIDE ∈ ↓VMON−

 前提1： X在A之內。 前提2： Y介乎X與A之間。 結論： Y在A之內。

FAR-AWAY-FROM ∈ ↑VMON↑

NEAR, ON ∈ ↓VMON↓

7. 單調性推理與古典推理的聯繫

7.1 與三段論推理的聯繫

「單調性推理」是當代廣義量詞理論提出的新推理模式，但它與古典推理卻有一定的聯繫。Hoeksema在 Monotonicity Phenomena in Natural Language一文中便指出「單調性推理」與古代的「曲全公理」 (Dictum de Omni et Nullo)有相通之處(註10)，而「曲全公理」又是「三段論推理」的普遍依據，由此可見「 單調性推理」與「三段論推理」的聯繫。事實上，我們可以把某些「三段論推理」的有效格式重新詮釋為當代 的「單調性推理」。以「AAA-1式」為例，其抽象格式可以表達為

 大前提： every(A)(B) 小前提： every(A')(A) 結論： every(A')(B)

7.2 與對當關係推理的聯繫

every = {(A, B): A ⊆ B}

Q' ⊂ Q

Q' ⊆ Q ⇔ 對所有集合A、B而言，Q'(A)(B) ⇒ Q(A)(B)     (25)

everysome

[not(Q)](A)(B)
~Q(A)(B)
[if(Q)(Q')]((A)(B))((C)(D))
Q(A)(B) ⇒ Q'(C)(D)
[(only if)(Q)(Q')]((A)(B))((C)(D))
Q'(C)(D) ⇒ Q(A)(B)
[(if and only if)(Q)(Q')]((A)(B))((C)(D))
Q(A)(B) ⇔ Q'(C)(D)
[unless(Q)(Q')]((A)(B))((C)(D))
Q(A)(B) ⇔ ~Q'(C)(D)
[and(Q)(Q')]((A)(B))((C)(D))
Q(A)(B) ∧ Q'(C)(D)
[or(Q)(Q')]((A)(B))((C)(D))
Q(A)(B) ∨ Q'(C)(D)

not ∈ HMON↓

Q'(A)(B) ⇒ Q(A)(B)
Q(A)(B) ⇒ Q''(C)(D)

Q'(A)(B) ⇒ Q''(C)(D)

[if(Q')(Q'')]((A)(B))((C)(D))

if ∈ ↓HMON↑

(only if) ∈ ↑HMON↓
(if and only if), unless ∈ −HMON−
and, or ∈ ↑HMON↑

|A ∩ B| / |A| (*) q ⇔ |A ∩ B| (*) q|A|

1 ∈ ↓↑MON↑↓

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