# 假如人有十二隻手指...

## 1. 引言

3B0912 = 3 × 123 + 11 × 122 + 0 × 121 + 9 = 6777

## 2. 乘法

9n = 10 × (n − 1) + (10 − n)     (1)

9的歌訣因而具有某種規律性，可以概括為

「九 n (n − 1) 十 (10 − n)」，2 ≤ n ≤ 9

 11如1, 12如2, 13如3, 14如4, 15如5, 16如6, 17如7, 18如8, 19如9, 1A如A, 1B如B 21如2, 22如4, 23如6, 24如8, 25如A, 26得10, 27得12, 28得14, 29得16, 2A得18, 2B得1A 31如3, 32如6, 33如9, 34得10, 35得13, 36得16, 37得19, 38得20, 39得23, 3A得26, 3B得29 41如4, 42如8, 43得10, 44得14, 45得18, 46得20, 47得24, 48得28, 49得30, 4A得34, 4B得38 51如5, 52如A, 53得13, 54得18, 55得21, 56得26, 57得2B, 58得34, 59得39, 5A得42, 5B得47 61如6, 62得10, 63得16, 64得20, 65得26, 66得30, 67得36, 68得40, 69得46, 6A得50, 6B得56 71如7, 72得12, 73得19, 74得24, 75得2B, 76得36, 77得41, 78得48, 79得53, 7A得5A, 7B得55 81如8, 82得14, 83得20, 84得28, 85得34, 86得40, 87得48, 88得54, 89得60, 8A得68, 8B得74 91如9, 92得16, 93得23, 94得30, 95得39, 96得46, 97得53, 98得60, 99得69, 9A得76, 9B得83 A1如A, A2得18, A3得26, A4得34, A5得42, A6得50, A7得5A, A8得68, A9得76, AA得84, AB得92 B1如B, B2得1A, B3得29, B4得38, B5得47, B6得56, B7得65, B8得74, B9得83, BA得92, BB得A1

## 3. 除法

 1逢1進1, 1逢2進2, 1逢3進3, 1逢4進4, 1逢5進5, 1逢6進6, 1逢7進7, 1逢8進8, 1逢9進9 21添作5, 2逢2進1, 2逢4進2, 2逢6進3, 2逢8進4 313餘1, 326餘2, 3逢3進1, 3逢6進2, 3逢9進3 412餘2, 42添作5, 437餘2, 4逢4進1, 4逢8進2 51添作2, 52添作4, 53添作6, 54添作8, 5逢5進1 611餘4, 623餘2, 63添作5, 646餘4, 658餘2, 6逢6進1 711餘3, 722餘6, 734餘2, 745餘5, 757餘1, 768餘4, 7逢7進1 811餘2, 822餘4, 833餘6, 84添作5, 856餘2, 867餘4, 878餘6, 8逢8進1 911餘1, 922餘2, 933餘3, 944餘4, 955餘5, 966餘6, 977餘7, 988餘8, 9逢9進1

10n = 9n + n     (2)

9的歌訣也很有規律性，可以概括為

「9nn餘n」，1 ≤ n ≤ 8

 1逢1進1, 1逢2進2, 1逢3進3, 1逢4進4, 1逢5進5, 1逢6進6, 1逢7進7, 1逢8進8, 1逢9進9 1逢A進A, 1逢B進B 21添作6, 2逢2進1, 2逢4進2, 2逢6進3, 2逢8進4, 2逢A進5 31添作4, 32添作8, 3逢3進1, 3逢6進2, 3逢9進3 41添作3, 42添作6, 43添作9, 4逢4進1, 4逢8進2 512餘2, 524餘4, 537餘1, 549餘3, 5逢5進1, 5逢A進2 61添作2, 62添作4, 63添作6, 64添作8, 65添作A, 6逢6進1 711餘5, 723餘3, 735餘1, 746餘6, 758餘4, 76A餘2, 7逢7進1 811餘4, 82添作3, 834餘4, 84添作6, 857餘4, 86添作9, 87A餘4, 8逢8進1 911餘3, 922餘6, 93添作4, 945餘3, 956餘6, 96添作8, 979餘3, 98A餘6, 9逢9進1 A11餘2, A22餘4, A33餘6, A44餘8, A5添作6, A67餘2, A78餘4, A89餘6, A9A餘8, A逢A進1 B11餘1, B22餘2, B33餘3, B44餘4, B55餘5, B66餘6, B77餘7, B88餘8, B99餘9, BAA餘A B逢B進1

## 4. 整除性

「整除性」(Divisibility)問題就是有關某一整數能被甚麼整數整除的問題，我們說整數n能被非零整數m整除(這裡n和m可以是負數)當且僅當存在一個整數k使得n = mk，在「數論」(Number Theory)中，一般把「m可被n整除」記作

n | m

 規則1： 對任何整數n，都有1 | n。 規則2： 若某整數n的最末一位數字可被2整除(即等於0、2、4、6或8)，則2 | n。 規則3： 若某整數n的各位數字之和可被3整除，則3 | n。 規則4： 若某整數n的最末兩位數字可被4整除，則4 | n。 規則5： 若某整數n的最末一位數字可被5整除(即等於0或5)，則5 | n。 規則6： 若某整數n可同時被2和3整除，則6 | n。 規則7a： 把某整數n從右到左每3個位分成一節，並計算第1節 − 第2節 + 第3節 − 第4節 + ...，若所得結果可被7整除，則7 | n。 規則7b： 把某整數n的個位數截去，再從餘下的數中，減去被截個位數的2倍，若所得結果可被7整除，則7 | n。 規則8： 若某整數n的最末三位數字可被8整除，則8 | n。 規則9： 若某整數n的各位數字之和可被9整除，則9 | n。 規則10： 若某整數n的最末一位數字可被10整除(即等於0)，則10 | n。 規則11： 若某整數n的奇位數字之和與偶位數字之和的差可被11整除，則11 | n。 規則12： 若某整數n可同時被3和4整除，則12 | n。 規則13a： 把某整數n從右到左每3個位分成一節，並計算第1節 − 第2節 + 第3節 − 第4節 + ...，若所得結果可被13整除，則13 | n。 規則13b： 把某整數n的個位數截去，再在餘下的數中，加上被截個位數的4倍，若所得結果可被13整除，則13 | n。

n = 1000k + m = 8(125k + j)

n = 10a + b = 70k + 20b + b = 7(10k + 3b)

p ≡ q (mod n)

p ≡ q (mod n)當且僅當n | (p − q)     (3)

P(−1) = c0 − c1 + c2 − c3 + ... + (−1)m cm

P(−1) = 第1節 − 第2節 + 第3節 − 第4節 + ... + (−1)m第m節

「規則7a」至此得證。類似地，我們亦可利用1000 ≡ −1 (mod 13)來證明「規則13a」。

 規則112： 對任何整數n12，都有112 | n12。 規則212： 若某整數n12的最末一位數字可被212整除(即等於012、212、412、612、812或A12)，則212 | n12。 規則312： 若某整數n12的最末一位數字可被312整除(即等於012、312、612或912)，則312 | n12。 規則412： 若某整數n12的最末一位數字可被412整除(即等於012、412或812)，則412 | n12。 規則512a： 把某整數n12從右到左每2個位分成一節，並計算第1節 − 第2節 + 第3節 − 第4節 + ...，若所得結果可被512整除，則12 | n12。 規則512b： 把某整數n12的最右一位數截去，再從餘下的數中，減去被截最右一位數的212倍，若所得結果可被512整除，則512 | n12。 規則612： 若某整數n12的最末一位數字可被612整除(即等於012或612)，則612 | n12。 規則712a： 把某整數n12從右到左每3個位分成一節，並計算第1節 − 第2節 + 第3節 − 第4節 + ...，若所得結果可被712整除，則712 | n12。 規則712b： 把某整數n12的最右一位數截去，再在餘下的數中，加上被截最右一位數的312倍，若所得結果可被712整除，則712 | n12。 規則812： 若某整數n12的最末兩位數字可被812整除，則812 | n12。 規則912： 若某整數n12的最末兩位數字可被912整除，則912 | n12。 規則A12： 若某整數n12可同時被212和512整除，則A12 | n12。 規則B12： 若某整數n12的各位數字之和可被B12整除，則B12 | n12。 規則1012： 若某整數n12的最末一位數字可被1012整除(即等於012)，則1012 | n12。 規則1112： 若某整數n12的奇位數字之和與偶位數字之和的差可被1112整除，則1112 | n12。

「規則712a」跟十進制下的「規則7a」相同，這是因為我們有1728 ≡ −1 (mod 7)，而1728 = 100012。此外，由於144 ≡ −1 (mod 5)，「規則512a」跟「規則712a」很相似，所不同者是前者把n12從右到左每2個位(而非每3個位)分成一節。

「規則712b」的原理跟十進制下的「規則7b」相同，即給定任何整數n12，我們可以把n12寫成1012a12 + b12 (012 ≤ b12 ≤ B12)，其中b12就是n12的最右一位數。把b12截去，再在餘下的數中，加上b12的312倍，便可得到a12 + 312b12。若這個數可被712整除，則我們有a12 + 312b12 = 712k12，亦即a12 = 712k12 − 312b12。由此有(註5)

n12 = 1012a12 + b12 = 7012k12 − 3012b12 + b12 = 712(1012k12 − 512b12)