數學的魅力

我和數學的不解緣

在中學時代我是唸文科的,但很奇怪的是,對數學情有獨鍾。記得那時我在放學回家後第一樣做的家課必定是 數學科的家課。在中學時我讀數學只讀到中五,而且只是一般數學(General Mathematics),沒有讀附加數學 (Additional Mathematics)。升大學後我唸的學科都是社會科學和文科的學科,與數學沾不上關係。但是由於 大學規定學生須選修其他學院的某些指定科目作為通識教育的一部分,結果我選修了一科「數學概論」,從此 便開始了我和數學的不解緣。記得那時那位講師教的內容是一些基本的矩陣知識,但他教得不甚明白。為了自 救,我只好去圖書館借書自修。很幸運,我借了一本很好的教科書,弄懂了很多在課堂上聽不明白的概念,和 學會了很多運算技巧,結果我在該課程中取得A級的成績。

此一事件令我對自修數學信心大增,也重新勾起我對數學的興趣,於是在大學最後兩年,我便在餘暇重溫中學 時代所學的數學和自修附加數學。大學畢業後,我對數學的興趣日益增加,開始自學高等微積分和線性代數。 適逢其時香港公開進修學院開張,我遂在1990年開始報讀公開進修學院的數學課程,開始接受正式的數學訓 練。後來我先後在公開進修學院(其後升格為公開大學)和香港城市大學取得數學理學士和應用數學碩士學位。 現在雖然已畢業,但我與數學的「戀情」並未因此而結束。我在餘暇仍繼續自修數學,向自己的極限挑戰,並 曾在公開大學擔任數學科導師。

我在數學社群中的定位

數學作為科學的皇后,在歷史上曾吸引了世上眾多天才投身其中。例如有數學皇子之稱的德國數學家高斯 (Gauss)便是一名天才,他的超凡運算能力和記憶力使他在沒有計算機的年代也能應付極度繁瑣的運算。歷史 上很多哲學家也是數學家,或對數學有深入研究。例如古希臘哲學家泰勒斯(Thales)、畢達哥拉斯 (Pythagoras)和柏拉圖(Plato)都曾對幾何學作出貢獻,至今在數學上仍有「畢達哥拉斯定理」、「柏拉圖立 體」(Platonic Solids)等名稱。百科全書式人物亞里士多德(Aristotle)的貢獻則主要是在邏輯學方面。他所 創立的邏輯系統在以後兩千多年一直在西方被奉為正統的邏輯系統,直至19世紀出現數理邏輯(Mathematical Logic)才有所改變。中古和近代的哲學家笛卡爾(Descartes)和萊布尼茲(Leibniz)也同時是數學家。前者對創 立解析幾何學有莫大貢獻,後者則在創立微積分方面與牛頓齊名。在當代,哲學更與數學緊密結合,這不僅表 現在20世紀出現了數學哲學三大派別(邏輯主義、形式主義和直覺主義),而且還表現為當代分析哲學非常重視 邏輯學(尤其是數理邏輯)。不少分析哲學家如弗雷格(Frege)、羅素(Russell)、卡爾納普(Carnap)都曾對數理 邏輯作出重大貢獻。

由此可見,自古以來數學似乎是社會上少數天才的專利。在今天數學發展到如似高深複雜、分枝數目如此龐大 的程度,任何人如欲在數學上有任何建樹,真是少一點刻苦、少一點智慧也難以成事。可是時代畢竟改變了, 在今天由於教育普及,很多人都有接受教育的機會,而數學作為基礎學科,自然成為所有學生在早期學習階段 的必修科,基本的運算、分析圖表和推理的能力已成為現代社會對一般公民的基本要求。而且由於數學的應用 日益廣泛,很多在過去無須使用數學的地方也開始使用數學,例如一向與理科沾不上邊的經濟學、管理學、財 務學,乃至語言學,也日益「數學化」,很多社會科學學科也大量應用統計學方法。因此可以說,在今天社會 上學數學的人所佔的比例較古代大大提高了(這就是我為何作為一個文科生在畢業後竟有機會轉讀數學,並且 後來成為公開大學數學科導師的原因)。

在今天數學不再是社會上少數人的專利,數學社群(Mathematics Community)擴大了。在過去,數學社群只包 含少數數學家及其學生。但隨著數學教育普及,今天社會上出現了一批業餘數學愛好者(註1)。這些業餘數學 愛好者不一定有很高的數學水平,也不一定曾在大學接受正式的數學訓練,但他們對數學甚感興趣,甚至其中 有些人會嘗試破解一些著名的數學難題(註2)。雖然這些人也許畢生也不會在數學方面有甚麼重大成就,但他 們仍然能在各自的崗位上作出應有的貢獻。例如,有些人可以成為中、小學數學教師,培育下一代數學人才。 有些人可以通過數學謎題或遊戲啟發其他人對數學的興趣和領悟力。有些人更可在某些初等數學領域中發掘一 些前人未發現的問題,進行個人的研究,為建設數學大廈略盡綿力。

即使最終沒有甚麼貢獻,但在追求數學學問的過程中,他們已不同程度地從數學的學習中得益。這種得益可以 是對某些數學知識的認識、推理能力的提高、對數學美的感受、對數學規律的頓悟(乃至哲學頓悟)等等,可以 說是自得其樂。

註1:其實在古代也出現過一些業餘數學愛好者,例如提出著名的「費爾馬最後定理」(Fermat's Last Theorem)的費爾馬(Fermat)本身是一名律師。不過這些業餘數學愛好者的數學造諧很高,根本可稱得上是數 學家。

註2:例如在中國去年舉行國際數學家大會期間,便有很多「民間數學家」自稱破解了世界知名的「哥德巴赫 猜想」(Goldbach's Conjecture)。

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從我開始報讀公開進修學院的數學課程至今已有十多年。在這十多年學數生涯中,我找到了當初讀數所要找的 東西,經歷了不少苦與樂,也領悟了一些道理。以下文章總結了我的一些個人心得和感受。由於本人的數學水 平不高,對某些問題的看法可能不很成熟,甚至有錯誤,還望各位高人指正。

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