在點算的奧秘：整數分割問題中，筆者指出「整數分割」問題可以有兩類限制條件：(1) 對各部分大小的限制條件；(2) 對部分個數的限制條件。在上兩節，筆者分別介紹了如何用「母函數」方法來解決帶有這兩類限制條件的「整數分割」問題。現在的問題是，如果一個「整數分割」問題同時帶有以上兩類限制條件(例如規定共有4個部分，並且各部分不小於1和不大於3)，它的「母函數」應如何表達？
根據筆者在點算的奧秘：費雷爾斯圖中的介紹，對於含有第(2)類限制條件的「整數分割」問題，我們的解題方法是利用「費雷爾斯圖」把原來要求的「分割」方案轉化為它的「共軛」方案，從而把第(2)類限制條件轉化為第(1)類限制條件。可是當某一「整數分割」問題同時帶有以上兩類限制條件時，上述方法便失效。舉例說，設我們的問題是要把8分割為4部分，並且各部分不小於1和不大於3。利用上述方法，我們固然可以把原有的第(2)類限制條件(即規定所求「分割」方案須包含4部分)轉化為第(1)類限制條件(即規定所求「分割」方案的「共軛」方案的最大部分為4)。可是，對於原有的第(1)類限制條件，我們卻無法處理，因為當我們把某「分割」方案轉化為其「共軛」方案後，原來的「分割」方案各部分大小的上、下限並不等於其「共軛」方案各部分大小的上、下限。
造成以上困難的原因是我們以往所接觸的「母函數」都是「一元母函數」(Univariate Generating Function)，即只有一組「不定項」(Indeterminate)及其「指數」的「母函數」。在「點算組合學」上，「不定項」相當於一般數學式子中的「變項」(Variable)。例如，在以下的「普通母函數」
中，x就是「不定項」。「點算組合學」把這個x稱做「不定項」而不稱做「變項」，是因為這個x不同於一般算式中的「變項」，它實際上只是一個「佔位符號」(Place-Holder)，其作用只是純粹用來連接「系數」ar和「指數」r，而沒有任何計算意義(註1)。跟「不定項」不同，「母函數」中的「指數」則有重要意義，它代表「點算組合學」問題的一個「參數」(Parameter)。舉例說，假如上式(1)代表某「組合」問題，那麼r通常代表被抽出來的物件的數目，例如a7便是抽取7個物件出來的各種「組合」方案總數。
在前面各節，當我們用「母函數」代表某「點算組合學」問題時，有關「母函數」都只有一個「參數」，因而都表現為「一元母函數」。可是對於同時帶有上述兩類限制條件的「整數分割」問題，我們需要使用兩個「參數」，把有關問題表達為「二元母函數」(Bivariate Generating Function)。在這兩個「參數」中，一個體現部分的個數，另一個則體現各部分的大小。在以下例題中，我們將使用「二元母函數」解答有關問題。
例題1：現要把8分割為4部分，並且各部分不小於1和不大於3，問有多少種不同分割法？
答1：我們可以把這個問題重新表述為以下問題：
請注意，如果略去上句中的「並且相加等於8」，餘下的部分便相當於：從1、2和3這3類數字中可重覆地抽4個出來，問有多少種不同抽法(註2)？這其實是一個與本題相關的「組合」問題，因此我們首先考慮這個相關「組合」問題。應用筆者在點算的奧秘：普通母函數中介紹過的方法，可以把上述相關「組合」問題表達為以下「一元母函數」：
以上「一元母函數」的展開式中y4項的「系數」就是從上述3類數字中可重覆地抽4個出來的「組合」方案總數，也就是把4個不小於1且不大於3的整數組合在一起的各種「組合」方案的總數。
請注意以上「一元母函數」中的三個「括弧」的內容完全相同，它只告訴我們共有3類數字，而沒有告訴我們這些數字是甚麼，因此不可能用上式來求出「把4個不小於1且不大於3的整數組合在一起，並且相加等於8」的方案總數。換句話說，上式欠缺了各數字相加之和的信息。為了把此一信息加入「母函數」中，我們須對上式的三個「括弧」作出修改，使它們能體現所代表的數字。具體地說，我們分別用xy、x2y和x3y代替上式中三個「括弧」中的y，使第一、第二和第三個「括弧」能分別體現它們所代表的3個數字1、2、3。經修改後，上式變為
上式就是我們要求的「二元母函數」，它包含兩個「不定項」x和y，它們的「指數」就是這個「母函數」的兩個「參數」。把上式展開後，x的「指數」就代表各部分相加之和，而y的「指數」則代表部分個數。由於本題規定應有4個部分，並且各部分相加之和為8，本題答案就是上式展開式中x8y4項的「系數」。以下我們憑觀察找出所求的「系數」。請注意由於我們所求的項x8y4包含兩個「指數」，在計算時我們必須同時考慮這兩個數字，這就是「二元母函數」與「一元母函數」的差異所在。
根據觀察，當上式三個「括弧」分別取以下的項時，相乘便會得到x8y4：1, (x2y)4, 1; xy, (x2y)2, x3y; (xy)2, 1, (x3y)2。由於共有3組這樣的項，故本題答案為3。□
把上例的「母函數」加以推廣，便可以用來解決一般的同時帶有上述兩類限制條件的「整數分割」問題。設我們要把整數r分割為n個部分，其中規定各部分不小於m和不大於M，那麼相關的「點算型二元母函數」就是
上式展開式中xryn項的「系數」就是我們要求的答案。對於「列舉型整數分割問題」，我們可以把代表整數1、2 ... 的N1、N2 ... 等加入上式中，從而得到以下的「列舉型二元母函數」
同樣，上式展開式中xryn項的「系數」提供了相關的「列舉型整數分割問題」的解答。
例題2：現要把8分割為4個部分，並且各部分不小於1和不大於3，試列出各種分割法。
答2：本題是例題1的延續。如前所述，只需把N1、N2和N3加入上面的算式(2)，便可得到本題的「列舉型二元母函數」：
本題答案就是上式展開式中x8y4項的「系數」。由於我們已有例題1的答案，易知所求「系數」為：
上式的各項代表8的某個「分割」方案。例如，N24便代表2+2+2+2，其餘照此類推。□
本節介紹的「二元母函數」雖然是為了解決同時帶有上述兩類限制條件的「整數分割」問題而提出的，但也可用來解決只帶上述其中一類限制條件或不加任何限制條件的「整數分割」問題。換句話說，現在我們有兩種方法來解決前兩節介紹的「整數分割」問題。以下我們用本節介紹的「二元母函數」來重新解決前兩節的某些例題，比較兩種方法的異同。
例題3：現要從3類沒有固定編號的物件中抽取8個出來，並規定必須從每類物件中至少抽一個出來。試列出所有不同抽法。
答3：本題就是點算的奧秘：費雷爾斯圖中的例題2。根據該題的解答，本題實際等同於：求把8分割成3個部分的所有「分割」方案。由然本題沒有對各部分的大小作出限制，因此在理論上，本題的「二元母函數」應是一個無窮乘積；但在實際上，我們只需考慮這個無窮乘積中的有限個項。以下就是本題的「列舉型二元母函數」：
本題答案就是上式展開式中x8y3項的「系數」。根據觀察(或者使用電腦軟件)，這個「系數」是
上式的5項代表本題的5個解。例如，N2N32便代表「從其中一類物件中抽2個出來，並從其餘兩類物件中各抽3個出來」，其餘照此類推。請注意本題答案跟上述網頁例題2的解答完全一致，而且我們可以直接從上述「系數」中的各項得到我們要求的答案，而無須把它們轉換為其「共軛」方案。
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例題4：現要把10分割為若干個不大於8的偶數之和，並且規定最少要有1個2和最多只可有3個2。試列出所有「分割」方案。
答4：本題就是點算的奧秘：整數分割問題中的例題3。由於本題規定各部分為不大於8的偶數，並且對2的出現次數作出限制，本題的「列舉型二元母函數」為：
請注意上式跟上述網頁答3中的「母函數」非常相似。事實上，只要把上式中的所有y略去，上式便與上述網頁答3中的「母函數」完全一樣。由此可見，前面兩節介紹的「母函數」其實是本節介紹的「二元母函數」的特例(註3)。由於本題沒有規定要把10分割成多少個部分，我們可以把上式中的y當作「常數」(Constant)處理。本題答案可以從上式展開式中x10項的「系數」得到：
以上「系數」的每一項由兩部分相乘而成：Ni項和yj項，前者代表我們要求的「分割」方案，後者的指數j則代表該方案所含的部分個數，例如最後一項中的N23N4便代表「分割」方案2+2+2+4，y4則告訴我們這個「分割」方案包含4個部分。請注意以上答案不僅提供了符合本題規定的4個「分割」方案，而且還告訴我們這些方案在部分個數上的分佈，即有1個「分割」方案包含2個部分，2個「分割」方案包含3個部分和1個「分割」方案包含4個部分。□
上題的解答亦給予我們一個啟示：當「整數分割」問題沒有對某一「參數」作出規定時，我們可以把「二元母函數」中代表該「參數」的「不定項」當作「常數」處理。 例如，以上例題沒有對「部分個數」作出規定，因此我們在展開上述「二元母函數」時，把y當作「常數」處理。以下我們看一個須把x當作「常數」處理的例子。
例題5：從2、4、6這3個數字中可重覆地抽3個出來相加，可構成哪些整數？
答5：由於本題只考慮3個數字，所以本題的「二元母函數」由3個「括弧」組成：
由於本題沒有規定要抽出來的3個數字相加之和是多少，我們可以把上式中的x當作「常數」 處理。本題答案可以從上式展開式中y3項的「系數」得到：
為方便以下討論，筆者把以上「系數」中各項按x的冪次歸類並按遞增序排列。以上答案顯示，用上述3個數字可構成7個整數：6、8、10、12、14、16、18。上式還顯示各個整數符合本題規定條件的「分割」方案，例如10便既可分割為2+4+4，又可分割為2+2+6。□
以上幾個例題顯示，前面兩節介紹的「整數分割」問題都可以用「二元母函數」解決，而且「二元母函數」還可以解決前面兩節介紹的「一元母函數」所不能解決的問題。那麼「一元母函數」是否有其價值？筆者認為，雖然「一元母函數」的解題能力只是「二元母函數」的的解題能力的子集，但當我們要解決的問題只含有一個「參數」時，利用「一元母函數」來解題一般會較為簡單直接，因此「一元母函數」仍是有價值的。
在結束本節前，筆者想解釋一下，為何直至現在才介紹「二元母函數」，而在以往介紹「組合」問題和「排列」問題的「母函數」方法時，卻只使用「一元母函數」？答案是某些「整數分割」問題包含兩個「參數」：部分個數和各部分相加之和，因而需要使用「二元母函數」；而「組合」和「排列」問題卻一般只包含一個「參數」，因而只需使用「一元母函數」便足夠了。請注意，是「組合」和「排列」問題的表述方法限制了它們只有一個「參數」，例如典型的「組合」問題一般採取以下形式：
在上述問題中，由於明確道出了物件類別的名稱(A、B、C)，它限制了物件類別的數目必須是3，不能變化，因此只有r (即被抽出來的物件數目)才可能是上述問題的「參數」。
當然我們總能構造含有兩個「參數」的「組合」和「排列」問題。
例題6：試求以下「組合」問題的「二元母函數」，並用它來求n = 3，r = 5時的值：
答6：在上述問題中，n和r都是可變化的，因此本題含有兩個參數，現在讓我們推導本題的「二元母函數」。根據點算的奧秘：普通母函數，當上述問題中的n等於一個確定的值k時，相關的「一元母函數」為
當k的值變化時，上式便會隨之而變化。現在只要我們把上式乘以yk，並對k求和，便得到要求的「二元母函數」：
上式展開式中xryn項的「系數」就是上述「組合」問題的答案。現在讓我們求x5y3項的「系數」。容易看到，所求答案就是[y / (1 − x)]3中x5y3項的「系數」，亦即(1 − x)−3中x5項的「系數」。根據點算的奧秘：普通母函數中的公式(10)，這個數正是
C(3 + 5 − 1, 5)正是以前介紹過的從3類物件中可重覆地抽5個出來的抽法總數的計算公式。□
類似地，對於以下「排列」問題：
我們也可推導相應的「二元母函數」如下：
上式展開式中xryn / r!項的「系數」就是上述「排列」問題的答案。
註1：在「點算組合學」上，我們從來不會把數字代入「不定項」x中。