點算的奧秘:乘法原理和加法原理


這裡首先介紹「點算組合學」中兩個最基本的原理-「乘法原理」(Multiplication Principle)和「加法原理」 (Addition Principle),這兩個原理告訴我們在點算時何時應運用四則運算中的乘法和加法。

「乘法原理」說的是,假如在點算某類事物的個數時,我們可以把點算過程分解成若干個「各自獨立 」的程序,各個程序無先後之分,我們便可以把各個程序的點算結果相乘,所得結果就是我們要求的答案。這 裡所謂「各自獨立」,是指某一程序的點算結果既不依賴於,也不影響其他程序的點算結果。而所謂程序「無 先後之分」,則是指各個程序的不同排列次序並不構成相異的事物。正由於程序「無先後之分」,這裡所說的 「程序」只是概念上的劃分,並無時間上的先後次序。在某些情況下,各個點算「程序」可以是同時發生的。 以下例題可清楚說明此一原理的運用。

例題1:假設某甲在某茶餐廳選套餐吃,套餐由餐湯、主菜和餐飲三部分組成。其中餐湯有羅宋湯、 忌廉湯和花生雞腳湯三種選擇,主菜有揚州炒飯、星洲炒米、雜扒飯和餐蛋飯四種選擇,餐飲則有奶茶、咖啡 、檸檬水、檸檬茶、阿華田和好立克六種選擇,而每種飲品又可選擇是熱飲或冷飲。問某甲可以作出多少種選 擇?

答1:我們可以把選擇套餐分解為選擇餐湯、主菜和餐飲這三個程序,而對餐飲的選擇又可再分解為 選擇熱飲還是冷飲的程序。請注意這幾種選擇是「各自獨立」的,例如無論你是選擇喝甚麼湯,都不會減損你 對主菜和餐飲的選擇數目。而且本題的選擇程序無先後之分,即我們只關心某甲選甚麼吃,而不關心他在點菜 時是先選餐湯,還是先選主菜。因此我們可以運用「乘法原理」求得答案為3 × 4 × 6 × 2 = 144種選擇。□

請注意這裡所指的「各自獨立」是就數目而言的。在某些情況下,前一程序的選擇結果的確會影響下一程序可 供選擇事物的種類,但只要不影響下一程序可供選擇事物的數目,「乘法原理」便仍然是適用 的。試看以下例題。

例題2:現有A、B、C、D、E、F六個人組成一個委員會,須從這六個人中選出一位主席、一位文書和 一位司庫。假設每一職位都須由一人出任,而且沒有人可同時兼任兩個職位,問共有多少種選法?

答2:我們可以把選主席、文書和司庫視為三個程序(至於先選哪個職位則無關重要)。跟例題1不同, 在本題中,前一程序的選擇結果的確會影響下一程序的選擇種類。例如如果選了A做主席,能出任文書的便只有 B、C、D、E、F;但如果選了B做主席,能出任文書的便只有A、C、D、E、F。不過,雖然可供選擇的種類 有變,但可供選擇的數目卻不變,即不論選了誰做主席,都剩下五個人可出任文書,因此本題的點 算程序符合「各自獨立」的定義。基於相同原理,當選定主席和文書(不管是誰)後,便剩下四個人可出任司庫 。因此可以運用「乘法原理」求得答案為6 × 5 × 4 = 120種選法。□

接著讓我介紹「加法原理」。「加法原理」說的是,假如在點算某類事物的個數時,可分為若干種情 況,在不同情況下點算結果各不相同,而且這些情況「互斥」(Mutually Exclusive)且「窮盡一切可能性」 (Collectively Exhaustive),那麼我們便可以把各個情況的點算結果相加,所得結果就是我們要求的答案。這 裡的兩個條件-「互斥」和「窮盡一切可能性」,要求我們所劃分出來的不同「情況」不能同時成立,也不能 有任何遺漏。在解題時,常須綜合運用「加法原理」和「乘法原理」。請看以下例題。

例題3:用1、2、3、4、5這五個數字可構造多少個五位奇數?

答3:由於只有以奇數數字結尾的整數才是奇數,本題可分為三個情況考慮:以1、3或5作為最末一位 的數字。先考慮以1作為最末一位數字的情況,即形如xxxx1的五位整數。由於這個數必然是奇數,1之前的四個 x的每一個都可以填入1、2、3、4、5中的任何一個數字,所以我們可以運用「乘法原理」確定這樣的五位整數 共有5 × 5 × 5 × 5 = 625個。至於以3或5作為最末一位數字的情況,亦完全適用上述的推 理,因此形如xxxx3和xxxx5的五位整數也各有625個。由於上述三種情況滿足「互斥」和「窮盡一切可能性」的 條件,最後我們可以運用「加法原理」求得答案為625 + 625 + 625 = 1875個五位奇數。□

最後,筆者想指出,在解有關點算的問題時,我們必須靈活變通。有時同一個問題可從不同角度考慮,得到相 同的答案。有時某一問題若僅從某一角度出發,似乎非常複雜,或甚至無法求解;但若換另一個角度思考,卻 變得非常容易。在以後的介紹中,讀者將會看到很多這樣的例子。以下筆者只舉出一個簡單的例子。

例題4:承接例題2,若E必須出任其中一個職位,問共有多少種選法?

答4:本題可以從兩個角度解題。由於共有三個職位而E必須出任其中一個職位,我們可以分三種情況 考慮問題:E出任主席、文書或司庫。先考慮E出任主席的情況。由於已確定由E出任主席,現在問題變成從五個 人中選出兩個出任餘下職位的問題。運用「乘法原理」,共有5 × 4 = 20種選法。至於E出任文書或司庫 的情況,亦完全適用上述的推理,所以也各有20種選法。最後,我們可以運用「加法原理」求得答案為20 + 20 + 20 = 60種選法。

從另一角度出發,我們可以把這個問題分為三個「各自獨立」的程序。第一個程序是為E選擇一個職位。由於共 有三個職位,所以有3種選法。解決了第一個程序,接下來的第二個程序就是從餘下的五個人中選出一個出任餘 下的其中一個職位,共有5種選法。接下來的第三個程序就是從餘下的四個人中選出一個出任最後一個職位,共 有4種選法。最後,運用「乘法原理」求得答案為3 × 5 × 4 = 60種選法,跟前述的答案吻合。□

請注意在上段討論中,第一個程序的性質跟第二和第三個程序的性質是不相同的。前者是「為人選職位」,後 者則是「為職位選人」。這是因為根據題設,我們須先為E選一個職位。但當解決了E的職位問題後,如果我們 繼續考慮「為人選職位」的問題,情況就會很複雜,因為剩下的人數比剩下的職位數多,最終會有三個人沒有 職位,但這三個人的身份並不確定,可能性很多(須用到下節才介紹的「組合公式」)。反之,如果我們轉而考 慮「為職位選人」的問題,情況就會簡單得多。由此可見,在解題時,我們不能老是循一個既定的角度考慮問 題,而必須靈活變通,因應問題的性質而選取較簡單的解題方法。


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